Знаходження інтервалів монотонності функцій. Знайти область визначення функції. Дослідити функцію на парність. Дослідити функцію на періодичність. Знайти похідну даної функціїЗнайти критичні точки функції, т.б. точки, у яких її похідна у′(х)=0 дорівнює нулю або не існує. Ці точки розіб’ють область визначення на інтервали, у яких похідна зберігає знак. Визначити знак похідної у кожному з одержаних інтервалів. Для цього досить обчислити(хоча б визначити знак) значення похідної у одній з внутрішніх точок кожного інтервала. У інтервалах, де похідна додатна -функція зростає, у інтервалах, де похідна від’ємна - функція спадає. Приклад 1. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції: у=х3−18х. Розв’язання.2.у(-х)=(−х)3−18−х=−х3+ 18х=-(х3−18х )=-у(х). Отже, функція непарна. 3. Функція неперіодична. Знаходимо критичні точки: 3х2−18=0; 3(х2−6)=0. Звідси, х=± 6 . 1. Область визначення функції :(х3−18х )- многочлен. D(у) =R, (−∞;∞). 5. Визначаємо знак похідної. у′(-5)=3*25-18 =+у′(0)=3*0-18=-, у′(5)=+4. Знаходимо похідну функції: у′=(х3−18х)′=3х2-18. 6. Отже, похідна додатна на інтервалах ( −∞;-6) і (6; ∞), у=х3−18х – зростає на цих інтервалах. Похідна від’ємна на інтервалі (-6; 6),функція спадна на цьому інтервалі +-+х-6 6
Приклад 2. Доведіть, що функція f(x)=13𝑥3−12𝑥2+𝑥−5 є зростаючою. Розв’язання 1. Область визначення функції f(x)=13𝑥3−12𝑥2+𝑥−5 : D(f) =R =(−∞;∞), бо 13𝑥3−12𝑥2+𝑥−5 – многочлен. 2.f(-х)= 13(−𝑥)3−12−𝑥2+(−𝑥)−5=- 13𝑥3−12𝑥2−𝑥−5=−13𝑥3+12𝑥2+5. Функція f(x)=13𝑥3−12𝑥2+𝑥−5-загального виду. 3. Функція не періодична. 4. Знайдемо похідну даної функції: f ′(x)=(13𝑥3−12𝑥2+𝑥−5)′==(13𝑥3)′−(12𝑥2)′+𝑥′−5′=3*13𝑥2−2∗12𝑥1+1=𝑥2 - х+1. Знайдемо критичні точки , для цього f ′(x)= 0, т. б. 𝑥2 - х+1=0. Критичних точок функція на має. 𝑥2 - х+1=(х−12)2+34>0 при всіх значеннях х, тому f ′(x)>0 при всіх значеннях х. 5. Дана функція зростає по всій області визначення.ху
Приклад 3. Знайдіть проміжки монотонності функції f(x)=𝑥2−9𝑥+2. Розв’язання1. Область визначення функції: f(x)=𝑥2−3𝑥+2. х+2≠0, х ≠-2, х=-2 – вертикальна асимптота. D(f)=(-∞;−2)∪(-2; ∞). 1) Знайдемо нулі функції:f(x)= 0, 𝑥2−3𝑥+2=0, 𝑥2−3=0, х=±3. Отже, нулями функції є (-3;0) та (-3;0). х-22. f(-x)= (−𝑥)2−3(−𝑥)+2= 𝑥2−3−𝑥+2=−𝑥2−3𝑥−2 - функція загального виду, ні парна, ні непарна. Неперіодична. 3. Знайдемо похідну даної функції: f′(x)=(𝑥2−3𝑥+2)′=(𝑥2−3)′∗(х+2)−(𝑥2−3)(х+2)′(х+2)2=2х∗х+2−(𝑥2−3)(х+2)2=2𝑥2+4х−𝑥2+3(х+2)2=𝑥2+4х+3(х+2)2. Знайдемо критичні точки , для цього f ′(x)= 0, т. б. 𝑥2+4х+3(х+2)2=0, 𝑥2+4х+3=0, х1=-3, х2=-1, х ≠-2. + - - + х-3-2-14. Визначаємо знак похідної методом інтервалів: (-∞;−3), f′(−4)=+; -3ϵ (-∞;−2), то функція – зростає на (-∞;−3]; (-3;-2), f′(-2,5)=-; -3ϵ (-∞;−2), то функція – спадає на [-3;-2);(-2;-1), f′(-1,5)=- ; -1ϵ(-2; ∞), то функція – спадає на (-2;-1]; (-1; ∞), f′(2)= + ; -1ϵ(-2; ∞), то функція – зростає на [-1;+ ∞). xy5. Відповідь: функція зростає на (-∞;−3] і [-1;+ ∞) та функція спадає на [-3;-2) і (-2;-1].
Приклад 1. Знайти проміжки монотонного зростання і спадання та екстремуми функції у=х𝟒−𝟒х+𝟓. Знайти область визначення функції. Знайти похідну даної функціїЗнайти критичні точки функції, т.б. точки, у яких її похідна у′(х)=0 дорівнює нулю або не існує. Ці точки розіб’ють область визначення на інтервали, у яких похідна зберігає знак. Визначити знак похідної у кожному з одержаних інтервалів. Для цього досить обчислити(хоча б визначити знак) значення похідної у одній з внутрішніх точок кожного інтервала.6. У інтервалах, де похідна додатна -функція зростає, у інтервалах, де похідна від’ємна - функція спадає 7. Зліва направо похідна змінює знак з “+” на “-”, функція має максимум, зліва на право похідна змінює знак з “-” на “+”, функція має мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то у цій точці функція не має екстремуму.8. Обчислити екстремальні значення функції, це значить знайти значення функції у критичних точках, де вона має екстремум. 1. Область визначення функції: D(y)=R, бо х𝟒−𝟒х+𝟓-многочлен. 2. Знаходимо похідну даної функції: у′(х)=(х4−4х+5)′=4х𝟑−4. 3. Знайдемо критичні точки,т.б. точки, у яких її похідна у′(х)=0 або не існує. 4х𝟑−4=0; 4(х𝟑−1)=0; (х-1)(х2+х+1)=0; маємо х-1=0; х=1; х2+х+1)≠0 для всіх значень х з області визначення 4. Критична точка є х=1, яка розбиває числову вісь на два проміжки: −∞;1 та (1; ∞) 5. Визначити знак похідної у кожному з одержаних інтервалів.у′(0)=-4<0, бо 0ϵ−∞;1. Функція у=х4−4х+5 –спадає на проміжку −∞;1;у′(2)=4*8-4=28>0, бо 2 ϵ(1; ∞)Функція у=х4−4х+5 –зростає на проміжку (1; ∞). х1-+6. При переході через критичну точку х=1, похідна змінює свій знак з «-» на «+». Отже, функція і цій точці досягає мінімуму.у𝑚𝑖𝑛1=14−4∗1+5=1-4+5=2.
Приклад 2. Знайти проміжки монотонного зростання і спадання та екстремуми функції у=х3х2+4 1. Область визначення функції: D(y)=R, бо х2+4≠0 при всіх значеннях х. 2. Знаходимо похідну даної функції: у′(х)=(х3х2+4)′=(х3)′∗х2+4−х3∗(х2+4)′(х2+4)2=3х2∗х2+4−х3∗2х(х2+4)2=3х4+12х2−2х4(х2+4)2= =х4+12х2(х2+4)2. 3. Знайдемо критичні точки, т.б. точки, у яких її похідна у′(х)=0 або не існує. х4+12х2(х2+4)2=0; х4+12х2=0, а х2+4≠0; х2* (х2+12)=0. Маємо : х=0 – єдина критична точка, х2+12 ≠0. 4. Критична точка є х=0, яка розбиває числову вісь на два проміжки: −∞;0 та (0; ∞) х05. Визначити знак похідної у кожному з одержаних інтервалів. у′(-1)=13>0, бо (-1)ϵ−∞;0. Функція у=х3х2+4–зростає на проміжку −∞;0; у′(2)=16+48=64>0, бо 2 ϵ(2; ∞). Отже, функція у=х3х2+4 -зростає на проміжку (0; ∞). 6. Функція точок екстремуму немає.ух++
xy. Приклад 3. Знайти проміжки монотонного зростання і спадання та екстремуми функції у=х𝟒-2х𝟐+3. Розв’язання1. Область визначення функції : D(y)=R, бо функція многочлен.2. Знайдемо похідну функції. : у′(х)= (х𝟒−𝟐х𝟐+𝟑)´=4х𝟑−𝟒х. 3. Знайдемо критичні точки, т.б. точки, у яких її похідна у′(х)=0 або не існує. Розв’яжемо рівняння: 4х𝟑−𝟒х=0; 4х*(х𝟐-1)=0. Маємо: х1=0 х2=-1, х3=1. 4. Критичні точки -х1=0, х2=-1,х3=1, які розбиває числову вісь на проміжки:−∞;−1, (-1;0), (0;1),(1; ∞). 1х0-15. Визначити знак похідної у кожному з одержаних інтервалів: у′(-2)=4*(-8)-4*(-2)=-32+8=«-»; у′(-0,5)= 4*(-0,125)+4*0,5=«+»; у′(0,5)=4*0,125-4*0,5=«-»;у′(2)=4*8-4*2=«+»-+-+minmaxmin6. Функція у=х𝟒-2х𝟐+3 спадає на кожному з проміжків−∞;−1; (0;1). Функція у=х𝟒-2х𝟐+3 зростає на кожному з проміжків (-1;0);(1; ∞). 7. Похідна при переході через критичну точку х=-1 та х=1 змінює свій знак з «-» на «+», отже, х𝑚𝑖𝑛=−1 та х𝑚𝑖𝑛=1. Похідна при переході через критичну точку х=0 змінює свій знак з «+» на «-», отже, х𝑚𝑎𝑥=0. 8. Отже, 𝑦𝑚𝑎𝑥0=3; 𝑦𝑚𝑖𝑛−1=2; 𝑦𝑚𝑖𝑛1=2.