Презентація "Економіка та лінійні нерівності"

Економіка та лінійні нерівностіДо питання практичного застосування математичних знань.

Задача: Виготовити n видів продукції. Отримати максимальний прибуток. Маємо m видів ресурсів. Кількість кожного ресурсу b1, b2,…, bm. Витрати кожного (і) ресурсу на виготовлення одиниці кожного (j) виду продукції аij. Прибуток від реалізації j вида продукції Сj.i=1,2,…,mj=1,2,…,n

Створюємо функцію цілі: отримання максимального прибутку: Zmax = C1 X1 + C2 X2 + ... +Cn. Xn. Врахуємо обмеження за наявними ресурсами:a11x1 + a12x2 + … + a1nxn < b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn < b2………………………………………am1x1 + am2x2 + … + amnxn < bm X1 > 0, X2 > 0, …, Xn > 0 Витрати кожного виду ресурсів мають не перевищувати наявних запасів

Математична модель задачі(функція цілі та система нерівностей)Zmax = C1 X1 + C2 X2 + … + Cn. Xna11x1 + a12x2 + … + a1nxn < b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn < b2………………………………………am1x1 + am2x2 + … + amnxn < bm X1 > 0, X2 > 0, …, Xn > 0

Деяка фірма виготовляє столи та шафи. Прибуток від одного столу 120грн. від однієї шафи - 150грн. Фірма має запаси деревини трьох видів. Витрати кожного виду деревини на виробництво столу та шафи наведені в таблиці.

{02869 B10-1 A02-4 C14-98 F5-9 B6 DA9 D9453 B}Види деревини. Витрати на одиницю, м3 Ресурси, м3стілшафаІ0,150,3060 м3ІІ0,200,1040 м3ІІІ0,050,2550 м3 Прибуток120150

Математична модель задачіХ1 – кількість столів, якінеобхідно виготовити. Х2 – кількість шаф. Zmax = 120 Х1 + 150 Х20,15 Х1 + 0,30 Х2 < 60,0,20 Х1 + 0,10 Х2 < 40,0,05 Х1 + 0,25 Х2 < 50. X1 > 0, X2 > 0

Розв’язок0,15 Х1 + 0,30 Х2 = 60 або Х1 + 2 Х2 = 4000,20 Х1 + 0,10 Х2 = 40 або 2 Х1 + Х2 = 4000,05 Х1 + 0,25 Х2 = 50 звідси Х1 + 5 Х2 = 1000 Систему нерівностей замінили на систему рівнянь, які формують на площині трикутник розв'язків.

Будуємо графік кожного рівняння. Отримали прямі АВ, АК, СД. Ці прямі утворюють трикутник розв'язків. Будуємо графік прямої - функції цілі - та переміщуємо цю пряму паралельно. Знаходимо найвище положення у трикутнику розв'язків. Точка Р (перетин прямих АК та СД) відповідає максимальному прибутку.

0,20 Х1 + 0,10 Х2 = 400,05 Х1 + 0,25 Х2 = 50 Відповідь. Х1 = 111 Х2 = 177 столів шаф. Прибуток 120 х 111 + 150 х 177 = 39870 грн.