Презентація "Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомогою першої та другої похідної"

Екстремум функції. Дослідження функції на екстремум за допомогою першої та другої похідної

Означення 3. Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – екстремумами функції, її максимумом і мінімумом.

Необхідна умова Якщо функція y = f(x) диференційована в точці х0 і має в цій точці екстремум, то f '(х0)=0. Достатня умова Нехай функція y = f(x) неперервна в деякому околі точки х0, диференційована в цьому околі, за винятком, можливо самої точки х0.

Тоді: Якщо в точці х0 похідна змінює знак з “+” на “–”, то х0 – точка локального максимуму. Якщо в точці х0 похідна змінює свій знак з “-” на “+” , то х0 – точка локального мінімуму; Якщо f `(х) не змінює знак в околі точки х0, то функція в точці х0 не має локального екстремуму.

Схема дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної Знайти область визначення. Знайти f '(x). Знайти критичні точки функції. Визначити знак похідної в околі кожної критичної точки. Вказати точки максимуму і мінімуму. Обчислити екстремуми - значення функції в цих точках.

Дослідження на екстремум за допомогою другої похідної

Схема дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної Знайти область визначення. Знайти першу похідну. Знайти критичні точки функції. Знайти другу похідну. Обчислити другу похідну в кожній критичній точці. Вказати точки екстремуму. Обчислити екстремуми – значення функції в точках екстремуму.