Презентація "Елементи комбінаторики"

Элементы комбинаторики. Учитель математики Одесской Оош№110 Берзинь Л. В

Что такое комбинаторика?Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов

Сферы применения комбинаторики- химия (анализ возможных связей между химическими элементами);- экономика (анализ вариантов купли-продажи акций);-азартные игры (подсчет частоты выигрышей);- криптография (разработка методов шифрования);- доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки);- военное дело (расположение подразделений).

Основные понятия комбинаторики. Размещения Сочетания. Перестановки

Перестановки

Определение 1 Установленный в конечном множестве порядок расположения его элементов называют перестановкой. Число перестановок обозначают. Рn =n!

n! факториал. Произведение натуральных чисел от 1 до данного натурального n называется факториалом числа n. n!=1· 2· 3· … · n

Пример 1

Задача 1 Сколькими способами можно переставить местами 3 фрукта, которые лежат на столе?Например: яблоко / груша / банан яблоко / груша / банан яблоко / банан / груша груша / яблоко / банан груша / банан / яблокобанан / яблоко / грушабанан / груша / яблоко. ИТОГО 6 комбинаций

Сочетание. Всякий неупорядоченный набор имеющий m элементов, взятых из наперед заданных n элементов без повторений, будем называть сочетанием из n по m.

Задача 2 Сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Пример 2 Сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, Формальный расчет

Задача 2 Сколькими способами можно выбрать б) два фрукта, все возможные сочетания двух фруктов: яблоко и груша; яблоко и банан; груша и банан.

Задача 2-в. Сколькими способами можно выбрать в) три фрукта, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Задача 2-г. Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт?

Размещения. Всякий упорядоченный набор имеющий m элементов, взятых из наперед заданных n элементов без повторений, будем называть размещением из n по m. А𝑛𝑚=𝑛!𝑛−𝑚! 

Задача 3 Сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?Это можно сделать 3 способами:яблоко и груша;яблоко и банан;груша и банан. Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;либо наоборот – груша достанется Даше, а  яблоко – Наташе