Презентація "Геометричний зміст визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур"

Геометричний зміст визначеного інтеграла. Обчислення площ плоских фігур

Геометричний зміст визначеного інтеграла. З геометричної точки зору 𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 дорівнює площі криволінійної трапеції, що обмежена лініями x=a, x=b, відрізком [a; b] та графіком неперервної й невід’ємної на цьому відрізку функції y=f(x). 

1)2)

3)

Якщо фігура обмежена лініями 𝑥=𝜑𝑦, 𝜑(𝑦)≥0 x=0, y=c, y=d то площ фігури обчислюється за формулою:𝑆=𝑐𝑑𝜑𝑦𝑑𝑦 

5) Якщо 𝜑𝑦≤0, то𝑆=𝑐𝑑𝜑𝑦𝑑𝑦 

Приклади обчислення площ плоских фігур. Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмежену лініями y=sinx, y=0, 𝑥=𝜋4, 𝑥=𝜋2 . Зобразимо фігуру, площу якої потрібно обчислити.

Дана фігура являє собою криволінійну трапецію, тому її площа обчислюється за формулою: 𝑆=𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 Відповідь.  22 кв.од. 𝑆=𝜋4𝜋2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥𝜋4𝜋2 = −(𝑐𝑜𝑠𝜋2 −𝑐𝑜𝑠𝜋4) = 𝑐𝑜𝑠𝜋4 −𝑐𝑜𝑠𝜋2 = 22 - 0 = 22 (кв. од.) 

Приклад 2. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої лініями у=х2−2х+2, у=0, х=−1, х=2. 

Відповідь 6 кв.од. S = −12(𝑥2−2𝑥+2)𝑑𝑥 = (𝑥33−𝑥2+2𝑥)−12= (83 - 4+4) – (−13 - 1 – 2)=83+13+3=6 (кв.од.) 

Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у=х+3, у=х2+1. 

Знайдемо абсциси точок перетину графіків, які будуть межами інтегрування. Для цього розв’яжемо рівняння: Фігура обмежена графіками двох функцій, тому застосуємо формулу 𝑆=𝑎𝑏𝑓𝑥−𝑔𝑥𝑑𝑥. х2+1=х−3х2−х−2=0 х1=2,    х2=-1 

Відповідно до формули 𝑓𝑥=𝑥+3, 𝑔𝑥=𝑥2+1, 𝑎=−1, 𝑏=2.  Відповідь. 4,5 кв.од.