Презентація "Комбінації многогранників і кулі"

Комбінації многогранників і кулі.

Мета. Ознайомити учнів з комбінаціями многогранників і куль; Розвивати в учнів просторову уяву, логічне мислення;Виховувати математичну культуру за допомогою інформаційних технологій

І. Куля і призма. Означення. Куля, вписана в призму – куля, яка дотикається до кожної грані призми. У цьому випадку призму називають описаною навколо кулі. Призма ABCDA1 B1 C1 D1описана навколо кулі.

Властивості: У призму можна вписати кулю тоді і тільки тоді, коли в перпендикулярний переріз призми можна вписати коло, і діаметр цього кола дорівнює висоті призми. Радіус кулі, радіус кола, вписаного в перпендикулярний переріз, і висота призми пов’язані співвідношенням: Радіус вписаної кулі: , де - площа перпендикулярного перерізу, - периметр перпендикулярного перерізу. , де V - об’єм піраміди, S - площа повної поверхні піраміди.

Означення. Куля, описана навколо призми, — куля , на поверхні якої лежать усі вершини призми. У цьому випадку призму називають вписаною в кулю. Призма АВСА1 В1 С1вписана в кулю. ОА = ОВ = ОС = ОА1 = ОВ1 = ОС1.

Властивості: Навколо призми можна описати кулю тоді і тільки тоді, коли вона пряма і навколо її основи можна описати коло. Радіус В кулі, радіус r кола, описаного навколо основи призми, та висота Н призми по­в'язані співвідношенням: Якщо О, і О, — центри кіл, описаних навколо основ призми, а О — центр описаної ку­лі, то О — середина відрізка О1 О2. Радіус В кулі, описаної навколо куба зі стороною а,

Задача. У кулю з радіусом R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою бічною гранню кут α. Діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною основи кут β. Визначити виміри паралелепіпеда.

Розв’язання. Центром кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда, є точка перетину його діагоналей – точка О. Враховуючи, що в прямокутному паралелепіпеді C1 D1 (AA1 D1 D), одержимо, що AD1 - проекція АC1 на площину AA1 D1 D. Отже, за умовою, C1 AD = α. Якщо AA1 D1 D – менша бічна грань, то AD – менша сторона основи (відповідно АВ – більша). Тоді, за умовою, CАВ = β. З прямокутного трикутника А C1 D 1: C1 D1= АC1 ∙ ∙ sin α = 2 R·sin α. Но АВ = C1 D1= 2 R·sin α. Тоді з прямокутного трикутника АВС: СВ = АВ∙tgβ = 2 Rsin α·tgβ. Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Отже, . Звідси. ВВ1= = 2 R = =2 R . Відповідь: 2 Rsinα; 2 Rsinα tgβ; 2 R .

ІІ. Куля і піраміда. Означення: Куля, вписана в піраміду, — куля, яка дотикається до кожної грані піраміди. При цьому піраміду називають описаною навколо кулі. Піраміда SABC описана навколо кулі.

Властивості: Центр кулі, вписаної в піраміду, лежить в точці перетину бісекторних площин двогранних кутів при ребрах піраміди. Якщо в основу піраміди можна вписати коло, а основа висоти піраміди є центром цього кола, то в піраміду можна вписати кулю. У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю.

Означення: Куля, описана навколо піраміди, — куля, на поверхні якої лежать усі вершини піраміди. У цьому випадку піраміду називають вписаною в кулю. Піраміда SABC вписана в кулю.

Властивості: Центр кулі, описаної навколо довільної піраміди, лежить на прямій, яка перпендикулярна площині основи і проходить через центр кола, описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною, перпендикулярною бічному ребру і яка проходить через середину цього ребра. Для того, щоб навколо піраміди можна було описати кулю, необхідно і достатньо, щоб навколо основи піраміди можна було описати коло. Навколо будь-якої правильної піраміди можна описати кулю.