Презентація "Квадратична функція та її графік"

Квадратична функція та її графік АЛГЕБРА 9 клас

Практичне застосування квадратичної функції Якщо, наприклад, x – сторона квадрата, а y – його площа, то y = x2. Якщо x – сторона куба, а y – його об'єм, то y = x3. На цьому уроці ми розглянемо функцію y = x2 і побудуємо її графік

Означення: Функція виду y=ax2 +bx+c, де х – аргумент і а ≠ 0 називається квадратичною, а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 у=ax2 Графіком квадратичної функції є парабола

Розміщення графіка функції 1.Необхідно знайти розміщення вершини параболи точку А(m;n); 2. Необхідно з'ясувати вгору чи вниз будуть направлені вітки параболи; 3. Необхідно знайти нулі функції, тобто де графік функції буде перетинатись з віссю абсцис 0х. 4. Необхідно з'ясувати де в Декартові системі координат квадратична функція буде набувати додатних (+) і від'ємних (-) значень.

Вершина параболи Для того, щоб знайти вершину параболи, необхідно скористатись наступними формулами Точка А(m;n) – вершина параболи y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) B(m;n) а<0 а>0

Вісь симетрії Так як квадратична функція парна функція, то її графік буде симетричний відносно осі симетрії. Вісь симетрії проходить через вершину параболи. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 А(m;n) Вісь симетрії параболи y = m а>0 а<0

Графік квадратичної функції – парабола, вітки якої направлені вгору, якщо а>0 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 і вниз, коли а<0 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 Направлення віток параболи а>0 а<0

Розташування віток параболи В залежності від абсолютної величини а – першого коефіцієнта, вітки параболи будуть пологими (01) відносно осі симетрії 0<а<1 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 а>1 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y = x2 y = 1/3*x2 y = x2 y = 2x2 y = 3x2 y = 4x2

Розташування віток параболи y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 -1<а<0 а<-1 y =- x2 y =- 1/3x2 y = -x2 y = -2x2 y = -3x2 y = -4x2

Зростання і спадання графіка функції В залежності від значення а – першого коефіцієнту, графік квадратичної функції може спочатку спадати, а потім зростати на всій області визначення D(x), або навпаки зростати, а потім спадати y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 а>0 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 а<0

Вершина параболи Але вершина параболи точка А(m;n) не завжди буде знаходитись в точці О(0;0): це буде залежати від розміщення графіка функції. Графік функції буде розміщуватись по різному і це залежить від багатьох факторів. y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) А(m;n) А(m;n) а>0 а<0 а>0

Нулі функції Щоб знайти точки перетину параболи з віссю 0х, необхідно прирівняти квадратний тричлен до 0(нуля), розв'язати квадратне рівняння і знайти його корені. ax2+bx+c=0 D=b2-4ac Якщо D>0 ,то ми будемо мати 2 дійсних різних корені х1= ; х2=

Графік функції буде розміщуватись так: y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 х1 х2 y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 х1 х2 графік функції двічі перетинає вісь 0х а>0 а<0

Якщо D=0, то ми матимемо 2 дійсних рівних корені х1,2= графік функції тільки в одній точці перетинає вісь 0х (дотикається до вісі 0х) і точка дотику буде в вершині параболи y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 А(m;n) y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 А(m;n) а>0 а<0

Якщо D<0, то дійсних коренів квадратний тричлен не матиме, корені будуть комплексні спряжені, графік функції не перетинає вісь 0х в жодній точці y х 0 2 1 -2 -1 1 2 3 4 y х 0 2 1 -2 -1 -1 -2 -3 а>0 а<0

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D якщо a>0 якщо D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х 0 х1 х2 + + - y х 0 y х 0 х1,2 + + + +

Квадратична функція набуває додатних і від'ємних значень в залежності від а та D якщо a<0 якщо D>0 якщо D=0 якщо D<0 y х 0 y х 0 y х 0 + - - - - - - х1 х2 х1,2

Розглянемо приклад Нехай нам задана функція y=x2+4x-5. Необхідно побудувати її графік. Знайдемо вершину параболи точку А(m;n); Знайдемо нулі функції (точки перетину з віссю 0х); Вгору чи вниз будуть напрямлені вітки параболи; Знайдемо вісь симетрії параболи; Знайдемо на яких проміжках функція зростає і спадає.

y х 0 1 -2 -9 -5 m = -2; n = -9 A( -2;-9) х1= -5 х2= -1 Вершина параболи Нулі функції Вісь симетрії у = -2 Функція спадає ↓ Функція зростає ↑ на проміжку (-∞;-2) на проміжку (-2;+∞) А(-2;-9) Вітки параболи напрямлені вгору так як a>0 y=x2+4x-5 + + -