Презентація "Квадратний тричлен"

Робота вчителя математикиІванової І. В. Квадратний тричлен та розкладання квадратного тричлена на множники

Квадратним тричленом називають многочлен виду ax2+bx+c, де х – змінна та a, b, c - деякі відомі числа, причому a≠0. Наприклад, 2x2-6x-8, 5x2+x, 4x2-5, -6x2 Ліва частина квадратного рівняння також є квадратним тричленом.аx2+bx+c=0

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення квадратного тричлена дорівнює нулю Щоб знайти корені квадратного тричлена ax2+bx+c, треба розв’язати рівняння ax2+bx+c=0

Приклад 2 Дано квадратний тричлен 5x2-3x-8. Чи є число «-1» коренем цього квадратного тричлена. Розглянемо квадратний тричлен. Якщо «-1» є коренем цього тричлена, тоді після підстановки його значення замість змінної, вираз буде дорівнювати нулю. Дійсно  5∙−12−3∙(−1)−8=5+3-8=0. Висновок: «-1» є коренем квадратного тричлена.  Приклад 1 Знайдіть корені квадратного тричлена 2x2-3x+1. Розглянемо рівняння 2x2-3x+1=0. 𝐷=(−3)2−4∙2∙1=1. 𝑥1=3+14=1, 𝑥2=3−14=12; Відповідь: даний тричлен має два корені «1» та «12» 

Якщо 𝑥1  і  𝑥2 - корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, тоді можна записати рівність𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎∙(𝑥−𝑥1)∙(𝑥−𝑥2) Якщо існують корені квадратного тричлена, то його можна розкласти на лінійні множники. Теорема про розкладання квадратного тричлена на множники:

Приклад 3 Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1) x2-14x-32; 2) -x2+17x-30 ;3) x2-2x+8; 4) 3 x2-12x+12. Знайдемо корені кожного тричлена, для цього потрібно розв’язати квадратне рівняння.1) Розглянемо перше рівняння x2-14x-32=0. 𝐷=(−14)2−4∙1∙−32=324;  𝑥1=14+182=16;     𝑥2=14−182=−2; Отже:   𝑥2−14𝑥−32=𝑥−16𝑥+2. 

3) Розглянемо третє рівняння x2-2x+8=0. 𝐷=(−2)2−4∙1∙8=−28; Отже: квадратне рівняння не має коренів, тому квадратний тричлен   𝑥2−2𝑥+8 розкласти на множники не можливо. 4) Розглянемо четверте рівняння 3x2-12x+12=0. 𝐷=(−12)2−4∙3∙12=0; 𝑥1=𝑥2=126=2 Отже: 3𝑥2−12𝑥+12=3𝑥−2𝑥−2=3(𝑥−2)2. 2) Розглянемо друге рівняння -x2+17x-30=0. 𝐷=(17)2−4∙(−1)∙−30=169;  𝑥1=−17+13−2=2;     𝑥2=−17−13−2=15; Отже: −𝑥2+17𝑥−30=−𝑥−2𝑥−15. 

Приклад 4 Скоротити дріб 6𝑎2−𝑎−19𝑎2−1.  Розкладемо на множники квадратний тричлен, який є чисельником даного дробу. Розв’яжемо рівняння 6a2-a-1=0. 𝐷=(−1)2−4∙6∙−1=25;  𝑎1=1+512=12;     𝑎2=1−512=−13; Отже: 6𝑎2−𝑎−1=6∙𝑎−12∙𝑎+13=2∙𝑎−12∙3∙𝑎+13=(2𝑎−1)(3𝑎+1). Тоді отримуємо 6𝑎2−𝑎−19𝑎2−1=(2𝑎−1)(3𝑎+1)(3𝑎−1)(3𝑎+1)=2𝑎−13𝑎−1 

При якому значенні параметру m розклад на множники квадратного тричлена 2x2+9x+m містить множник (x+5). Приклад 5 Оскільки розклад на множники даного тричлена має містити множник (х+5), то один із коренів цього тричлена дорівнює «-5». Тоді маємо:2∙(−5)2+9∙−5+𝑚=0. 50-45+m=0; 5+m=0; m=-5 Відповідь: при значенні m=-5 квадратний тричлен 2𝑥2+9𝑥−5 буде містити один з множників вираз (х+5). 

𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒂∙(𝒙−𝒎)𝟐+𝒏 Під час розв’язування деяких задач, пов'язаних з квадратним тричленом 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+c, буває зручно подати його у вигляді 𝒂∙𝒙−𝒎𝟐+𝒏 , де m та n - деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена з квадратного тричлена. 

Приклад 6 Винесемо за дужки перший, тобто старший коефіцієнт множник «2»:        2𝑥2+16𝑥−7=2∙𝑥2+8𝑥−72. Скориставшись формулою «квадрат двочлена» 𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎±𝑏)2, наступним чином перетворимо вираз у дужках, вважаючи, що перший доданок у дужках – це квадрат першого одночлену, а другий доданок - подвоєний добуток:2∙𝑥2+8𝑥−72=2∙𝑥2+2∙𝑥∙4+42−42−72==2∙𝑥+42−16−3,5=2𝑥+42−19,5==2(𝑥+4)2−38. Виділіть з квадратного тричлена 2𝑥2+16𝑥−7     квадрат двочлена. 

Приклад 7 Виділимо з тричлена квадрат двочлена:−4𝑥2+24𝑥−20=−4∙𝑥2−6𝑥+5==−4∙𝑥2−2∙𝑥∙3+32−32+5=−4∙𝑥−32−9+5==−4∙𝑥−32−4=−4∙𝑥−32+16. При якому значенні х квадратний тричлен −4𝑥2+24𝑥−20     набуває найбільшого значення. Вираз −4∙𝑥−32 при будь якому значенні х набуває недодатного значення, тобто    −4∙𝑥−32≤0, причому дорівнює нулю цей вираз при х=3. Тому при х=3 значення даного в умові тричлена дорівнює «16» і є для нього найбільшим         −4∙3−32+16=16. Отже, квадратний тричлен −4𝑥2+24𝑥−20набуває найбільшого значення «16», якщо х=3.