У презентації "Методика розв'язання задач на піраміду" розглянуто способи оформлення розв'язків задач на обчислення об'ємів і площ повехонь пірамід.
SABCDOKHОбгрунтування умови задачі SABCD — правильна чотирикутна піраміда,в основі якої лежить квадрат ABCD, точка O, точка перетину діагоналей квадрата є його центром. Зобразимо SO(ABC), SKAB. SO ― перпендикуляр, SK ― похила, OK ― її проекція на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри OKAB. За ознакою перпендикулярності прямої і площини AB(OSK). Отже, кут OKS є лінійним кутом двогранного утвореного бічною гранню і площиною основи і за умовою OKS=. AB(OSK), AB(ABS). Тому, за ознакою перпендикулярності площин (KSO)(ABS). У площині OKS зобразимо OHKS. Оскільки (KSO)(ABS)= KS, OHKS, то OH(ABS), тобто довжина OH є відстанню від точки O до площини ABS і за умовою OH=m.
SACBOMNОбгрунтування умови задачі SABC — дана піраміда, ABC — основа, AC=CB, AB=a, ACB=. Зобразимо SO(ABC). Оскільки S(ABS), (SAB)(ABC), то SO(ABS) і OAB. Зобразимо SMAC і SNBC. SO ― перпендикуляр, SM і SN― похилі, OM і ON ― відповідно їх проекції на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри OMAC і ONBC За ознакою перпендикулярності прямої і площини AC(OSM) і BC(OSN). Отже, кути OMS і ONS є лінійним кутами двогранних кутів утворених бічними гранями ACS і BCS і площиною основи і за умовою OMS = ONS =.
SACBOMNПерша допоміжна задача. SУ трикутників OMS і ONS MOS =NOS=90 , OMS =ONS. OS ― спільна сторона. За катетом і гострим кутом OMS =ONS. Тому, OM=ON. Оскільки OMAC і ONBC, то точка O рівновіддалена від сторін кута ACB,тобто належить його бісектрисі. Так як трикутник ACB рівнобедрений з основою AB, то OC є його медіана і висота. Отже, AO=𝟏𝟐𝑨𝑩=𝒂𝟐, ∠𝑨𝑪𝑶=𝟏𝟐∠𝑨𝑪𝑩=𝜶𝟐.
ABCSOMNKОбгрунтування умови задачі SABC — дана піраміда, ABC — основа, ACB=90, AC=12 см. CB=5 см. Зобразимо SO(ABC) за умовою SO=𝟐𝟏 см. Зобразимо SMAC, SNAB, SKBC. SO ― перпендикуляр, SM, SN, SK ― похилі, OM, ON, OK ― відповідно їх проекції на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри OMAC, ONAB, OKBC. За ознакою перпендикулярності прямої і площини AC(OSM), AB(OSN), BC(OSK). Отже, кути OMS, ONS, OKS є лінійним кутами двогранних кутів утворених бічними гранями ACS, ABS, ACS і площиною основи і за умовою OMS = ONS = OKS .
ABCSOMNKОбгрунтування умови задачі Прямокутні трикутники OMS, ONS, OKS рівні за спільним катетом OS і рівними гострими кутами. Тому OM=ON=OK. Оскільки OMAC, ONAB, OKBC, то точка O рівновіддалена від сторін трикутника ABC, а тому є центром вписаного в нього кола, OK ― радіус цього кола.
Перша допоміжна задача𝑨𝑩― 𝑲𝑶 ― У ∆ABC ACB=90, AC=12 см, BC=𝟓 см. Знайдемо AB: A𝑩=𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐 ,. A𝑩=𝟏𝟐𝟐+𝟓𝟐 =13 (см). Як відомо, радіус вписаного кола в прямокутний трикутник можна визначити за формулою:𝒓=𝒂+𝒃−𝒄𝟐 , де a, b ― катети трикутника, c ― його гіпотенуза. Тому, OK=𝑨𝑪+𝑩𝑪−𝑨𝑩𝟐, OK=𝟏𝟐+𝟓−𝟏𝟑𝟐=2 (см). KCBMANO