Презентація "Методика розв'язання задач на піраміду"

Вчитель математики. Музичанської ЗОШ І-ІІІ ступенів Здоренко Іван Петрович

„Все на світі боїться часу, а час боїться Пірамід”

У правильній чотрикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює . Визначте повну поверхню піраміди, якщо відстань від основи її висоти до бічної грані дорівнює m.

SABCDOKHSABCD — правильна чотирикутна піраміда, d(O,(ASB))=m, (𝑺𝑨𝑩𝑨𝑩𝑪 )= 𝐬повне Коротка умова задачі

SABCDOKHОбгрунтування умови задачі SABCD — правильна чотирикутна піраміда,в основі якої лежить квадрат ABCD, точка O, точка перетину діагоналей квадрата є його центром. Зобразимо SO(ABC), SKAB. SO ― перпендикуляр, SK ― похила, OK ― її проекція на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри OKAB. За ознакою перпендикулярності прямої і площини AB(OSK). Отже, кут OKS є лінійним кутом двогранного утвореного бічною гранню і площиною основи і за умовою  OKS=. AB(OSK), AB(ABS). Тому, за ознакою перпендикулярності площин (KSO)(ABS). У площині OKS зобразимо OHKS. Оскільки (KSO)(ABS)= KS, OHKS, то OH(ABS), тобто довжина OH є відстанню від точки O до площини ABS і за умовою OH=m.

SABCDOKHЗагальний розв’язок задачіТак як піраміда правильна, то 𝐬бічне=𝟏𝟐𝑷основи∙𝓵, де 𝑷основи=𝟒 ∙AD, 𝓵=SK. Тому,   𝐬бічне=𝟏𝟐∙𝟒∙𝑨𝑫∙𝑺𝑲==𝟐∙𝑨𝑫∙𝑺𝑲.𝐬основи= 𝑨𝑫𝟐. Отже,  𝑺повне=𝟐∙𝑨𝑫∙𝑺𝑲+𝑨𝑫𝟐 = =𝑨𝑫∙𝟐∙𝑺𝑲+𝑨𝑫. 𝐬повне =𝐬бічне+𝐬основи Розглянемо OSK

SOKУ ∆OSK S=90, 𝑶𝑲=𝒎𝒔𝒊𝒏𝜶. Знайдемо SK: S𝑲=𝑶𝑯cos∠𝑶𝑲𝑺;S𝑲=𝒎sin𝜶 cos𝜶=𝟐𝒎sin𝟐𝜶. HУ ∆OHK H=90, OH=m. Знайдемо OK:𝑶𝑲=𝑶𝑯𝒔𝒊𝒏∠𝑶𝑲𝑯; 𝑶𝑲=𝒎𝒔𝒊𝒏𝜶. mПерша допоміжна задача𝑶𝑲 ― S𝑲― 

SABCDOKHДруга допоміжна задача. Розглянемо DAB

DABOKУ ∆DAB A=90 , DAAB, OKAB, тому OK║AB. Оскільки точка O є серединою DB, за теоремою Фалеса точка K є серединою AB, то OK― середня лінія ∆DAB. Отже, за теоремою про середню лінію трикутника маємо: DA= 2 OK=𝟐𝒎𝒔𝒊𝒏𝜶 Друга допоміжна задача

Виконання обчислень 𝑺повне=𝑨𝑫∙𝟐∙𝑺𝑲+𝑨𝑫. 𝑺повне= 𝟐𝒎𝒔𝒊𝒏𝜶∙𝟐∙𝒎sin𝜶 cos𝜶+𝟐𝒎𝒔𝒊𝒏𝜶=𝟒𝒎𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝜶∙𝟏cos𝜶+𝟏. Відповідь: 4𝑚2𝑠𝑖𝑛2𝛼∙1𝑐𝑜𝑠𝛼+1. 

Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом  при вершині. Бічна грань, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші  нахилені до неї під кутом β. Визначте об’єм піраміди. 

SACBOMNКоротка умова задачі 𝑽піраміди SABC — дана піраміда, ABC — основа, AC=CB, AB=a, ACB=, (𝑺𝑨𝑪𝑨𝑩𝑪 )= (𝑺𝑩𝑪𝑨𝑩𝑪 )=,(SAB)(ABC). 

SACBOMNОбгрунтування умови задачі SABC — дана піраміда, ABC — основа, AC=CB, AB=a, ACB=. Зобразимо SO(ABC). Оскільки S(ABS), (SAB)(ABC), то SO(ABS) і OAB. Зобразимо SMAC і SNBC. SO ― перпендикуляр, SM і SN― похилі, OM і ON ― відповідно їх проекції на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри OMAC і ONBC За ознакою перпендикулярності прямої і площини AC(OSM) і BC(OSN). Отже, кути OMS і ONS є лінійним кутами двогранних кутів утворених бічними гранями ACS і BCS і площиною основи і за умовою  OMS = ONS =.

SACBOMNЗагальний розв’язок задачі𝑉піраміди=13 𝑆основи∙𝐻,де 𝑆основи= 𝑆∆𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐𝑨𝑩∙𝑪𝑶.𝐻=SO. Звідси, 𝑉піраміди=1𝟔𝑨𝑩∙𝑪𝑶∙SO. Знайдемо 𝑪𝑶 і SO. 

SACBOMNПерша допоміжна задача. SУ трикутників OMS і ONS MOS =NOS=90 , OMS =ONS. OS ― спільна сторона. За катетом і гострим кутом OMS =ONS. Тому, OM=ON. Оскільки OMAC і ONBC, то точка O рівновіддалена від сторін кута ACB,тобто належить його бісектрисі. Так як трикутник ACB рівнобедрений з основою AB, то OC є його медіана і висота. Отже, AO=𝟏𝟐𝑨𝑩=𝒂𝟐,  ∠𝑨𝑪𝑶=𝟏𝟐∠𝑨𝑪𝑩=𝜶𝟐.  

SACBOMNДруга допоміжна задача. Розглянемо AOC

AOCM𝑶𝑪 ― 𝑶M ― 𝒂𝟐 𝜶𝟐 У ∆OAC AOC=90, ACO=𝜶𝟐, AO=𝒂𝟐. Знайдемо OC: OC=𝑨𝑶tgACO; OC=𝒂2tg𝛼2 . У ∆OAM AMO=90, OAM=90- ACO= 𝟗𝟎°−𝜶𝟐, AO=𝒂𝟐. Знайдемо OM: OM=𝑨𝑶sin∠𝑶𝑨𝑴;OM=𝒂𝟐sin𝟗𝟎°−𝜶𝟐=𝒂𝟐cos𝜶𝟐. Друга допоміжна задача

SACBOMNТретя допоміжна задача. OMSРозглянемо SOM

Третя допоміжна задача. SOM𝒂𝟐cos𝜶𝟐 𝑺𝑶 ― У ∆OSM SOM=90, SMO=, OM=𝒂𝟐cos𝜶𝟐. Знайдемо SO: SO=𝑴𝑶tg∠𝑶𝑴𝑺; SO=𝒂𝟐cos𝜶𝟐𝒕𝒈β. 

Виконання обчислень 𝑉піраміди=1𝟔𝑨𝑩∙𝑪𝑶∙SO  𝑉піраміди=1𝟔𝒂∙𝒂2tg𝛼2 ∙𝒂𝟐cos𝜶𝟐𝒕𝒈β=𝑎3cos𝜶𝟐𝒕𝒈β 24tg𝛼2 . Відповідь: 𝑎3cos𝜶𝟐𝒕𝒈β 24tg𝛼2  

Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетами 12 см і 5 см. Кожна бічна грань нахилена до основи піраміди під однаковим кутом. Висота піраміди дорівнює 𝟐𝟏 см. Знайдіть бічну поверхню піраміди. 

Коротка умова задачі SABC — дана піраміда, ABC — основа, ACB= 90. AC=12 см,CB=5 см, SO(ABC), SO =𝟐𝟏 см, (𝑺𝑨𝑪𝑨𝑩𝑪 )= (𝑺𝑩𝑪𝑨𝑩𝑪 )= (𝑺𝑩𝑪𝑨𝑩𝑪 ). 𝐬бічне ABCSOMNK

ABCSOMNKОбгрунтування умови задачі SABC — дана піраміда, ABC — основа,  ACB=90, AC=12 см. CB=5 см. Зобразимо SO(ABC) за умовою SO=𝟐𝟏 см. Зобразимо SMAC, SNAB, SKBC. SO ― перпендикуляр, SM, SN, SK ― похилі, OM, ON, OK ― відповідно їх проекції на площину основи. За теоремою про три перпендикуляри OMAC, ONAB, OKBC. За ознакою перпендикулярності прямої і площини AC(OSM), AB(OSN), BC(OSK). Отже, кути OMS, ONS, OKS є лінійним кутами двогранних кутів утворених бічними гранями ACS, ABS, ACS і площиною основи і за умовою  OMS = ONS =  OKS .  

ABCSOMNKОбгрунтування умови задачі Прямокутні трикутники OMS, ONS, OKS рівні за спільним катетом OS і рівними гострими кутами. Тому OM=ON=OK. Оскільки OMAC, ONAB, OKBC, то точка O рівновіддалена від сторін трикутника ABC, а тому є центром вписаного в нього кола, OK ― радіус цього кола.

Загальний розв’язок задачіОскільки бічні грані піраміди утворюють з площиною основи рівні кути, то за наслідком з теореми про площу ортогональної проекції многокутника маємо: 𝑺основи=𝑺бічнеcos𝝋,де 𝝋=SKO, Звідки                                𝑺бічне= 𝑺основиcos∠𝑺𝑲𝑶 ACBSMNKO

Перша допоміжна задача. ACBSONMKРозглянемо ABC

Перша допоміжна задача𝑨𝑩― 𝑲𝑶 ― У ∆ABC ACB=90, AC=12 см, BC=𝟓 см. Знайдемо AB: A𝑩=𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑪𝟐 ,. A𝑩=𝟏𝟐𝟐+𝟓𝟐 =13 (см). Як відомо, радіус вписаного кола в прямокутний трикутник можна визначити за формулою:𝒓=𝒂+𝒃−𝒄𝟐 , де a, b ― катети трикутника, c ― його гіпотенуза. Тому, OK=𝑨𝑪+𝑩𝑪−𝑨𝑩𝟐, OK=𝟏𝟐+𝟓−𝟏𝟑𝟐=2 (см). KCBMANO

Друга допоміжна задача. ACBSONMKРозглянемо SOKSKO

Друга допоміжна задачаcos∠𝑺𝑲𝑶― 𝑺𝑲― У ∆SKO SOK=90, SO=𝟐𝟏 см, OK=2 см. Знайдемо SK і cos∠𝑺𝑲𝑶: SK=𝑺𝑶𝟐+𝑲𝑶𝟐 , SK=𝟐𝟏𝟐+𝟐𝟐 =5 (см).cos∠𝑺𝑲𝑶=𝑶𝑲𝑺𝑲, cos∠𝑺𝑲𝑶=𝟐𝟓  OKS

Виконання обчислень                               𝑺бічне= 𝑺основиcos∠𝑺𝑲𝑶 𝑺основи= 𝑺∆𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐𝑨𝑪∙𝑩𝑪. 𝑺основи=𝟏𝟐∙𝟏𝟐∙𝟓=𝟑𝟎 см𝟐.                                𝑺бічне= 𝟑𝟎𝟐𝟓=𝟕𝟓см𝟐. Відповідь: 75см𝟐