Презентація "Методика розв’язування рівнянь в курсі алгебри основної школи"

Розв’язування рівнянь в курсі алгебри основної школи

„ Мені доводилось ділити свій час між політикою і рівнянням. Проте рівняння, на мій погляд набагато важливіші, тому що політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно ” А. Ейнштейн Одним з основних видів математичних моделей, що розглядаються в шкільному курсі математики, є рівняння. Вивчення починається з найпростішого випадку одного рівняння першого степеня з одним невідомим, а потім поглиблюється в двох напрямах: 1) Розглядаються системи двох і трьох рівнянь першого степеня з двома і трьома невідомими 2) Вивчається одне квадратне рівняння з одним невідомим і деякі окремі типи рівнянь, що легко зводяться до квадратних

Рівняння виду де і - сталі коефіцієнти, називається лінійним рівнянням відносно невідомого . (1) Очевидно, рівняння (1) еквівалентне рівнянню (2)

Нехай . Тоді рівняння (2), а отже і рівняння (1) екві- валентні рівнянню яке має один розв’язок. 2) Нехай . Тоді рівняння (2) має вигляд Це рівняння справджується при будь-якому значенні , оскільки при довільному значенні обидві його частини дорівнюють 0 Тому рівняння (2), а отже і рівняння (1) мають безліч розв’яз- ків. Розв’язком є довільне число.

3) Нехай . Тоді рівняння (2) має вигляд Це рівняння , а також і рівняння (1) не мають розв’язків, оскіль-ки при кожному значенні ліва його частина дорівнює нулеві, а права не дорівнює. Отже при рівняння (1) має єдиний розв’язок при ─ нескінченну множину розв’язків і при не має розв’язків. наочний приклад розв’язування лінійного рівняння ─

Рівняння виду де , і - сталі коефіцієнти, при чому , називається квадратним рівнянням відносно невідомого . (1)

Якщо коефіцієнти і відмінні від нуля, то квадратне рів-няння (1) називається повним. Якщо принаймні один з коефі-цієнтів або дорівнює нулю, то рівняння (1) називається неповним. Можливі три види неповних квадратних рівнянь: Далі ми розглянемо кожен з цих видів окремо. при при при

Перетворюючи ліву частину, маємо: і Це рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь: звідки знаходимо два корені рівняння: і

Маємо: звідки:

Маємо: звідки: тобто:

Кожне квадратне рівняння за допомогою заміни невідомого можна звести до квадратного рівняння виду: Справді, у рівнянні (1) зробимо заміну невідомого. Нехай де ─ нове невідоме, а ─ деяке стале число. Дістанемо: або після відповідних перетворень:

Виберемо тепер так, щоб тобто візьмемо Тоді заміна невідомого зводить рівняння (1) до неповного рівняння

З цього рівняння визначаються значення , а далі і значення Отже, для розв’язування квадратних рівнянь досить вміти розв’язувати неповні рівняння типу . Проте про-цес розв’язування квадратного рівняння можна спростити, якщо встановити формулу, яка визначає корені квадратного рівняння через його коефіцієнти.

Дякую за увагу