Презентація " Многогранні кути. Тригранний кут."

Тригранний і многогранний кути11 класгеометрія

Фігура, що складається з усіх променів, які виходять із точки S і перетинають довільний многокутник, називають многогранним кутом. Промені SA, SB, SC, SK,…, називають ребрами многогранного кута, плоскі кути ASB, BSC, KSA,…, називають гранями многогранного кута, а точку S — вершиною многогранного кута. Залежно від кількості граней розрізняють тригранні, чотиригранні, …, n-гранні кути. Кутовими елементами многогранного кута є його плоскі кути (

Тригранний кут та його властивості Теоретичні відомостіРозглянемо три промені SA, SB, SC, що виходять з однієї точки S і не лежать в одній площині. Тригранним кутом SABC називається фігура, утворена трьома плоскими кутами ASB, BSC і ASC. Ці кути називаюся гранями тригранного кута, а їхні сторони – ребрами. Спільна вершина S плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Властивості1. Величина кожного плоского кута тригранного кута менша від суми величин двох інших його плоских кутів.< + β; < β + ; β < + 2. Сума величин усіх плоских кутів тригранного кута менша від 360о. + β + < 360о. Розглянемо тригранний кут SABC, позначимо його ребра SA, SB, SC відповідно через a, b, c і відповідні їм двогранні кути CSAB, ASBC, BSCA — через ∠ A, ∠ B, ∠C відповідно, а протилежні плоскі кути CSB, ASC, ASB — через ∠α, ∠β, ∠γ відповідно.

3.  У тригранному куті проти рівних плоских кутів лежать рівні двогранні кути, і навпаки.4.  Якщо всі плоскі кути тригранного кута є рівними, то рівні й усі його двогранні кути, і навпаки.5.  Сума двогранних кутів тригранного кута більша ніж 180°.6.  Якщо всі двогранні кути тригранного кута гострі, то й усі плоскі кути тригранного кута також гострі.

Задача. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 120о і 130о. У яких межах лежить величина третього плоского кута? Розв’язання. Позначимо величину третього плоского кута через х. Запишемо властивості, які задовольняють плоскі кути тригранного кута:х < 120о + 130о120о< 130о + х130о< 120о + хх + 120о + 130о< 360о. Тодіх <250ох > – 10ох > 10ох < 110о. Отже, 10о< х < 110о.

Перша теорема косинусів для тригранного кута. Якщо , β, – плоскі кути тригранного кута, ACOB – його двогранний кут, протилежний ,то cos = coscosβ + sinsinβcos. ACOB. Наслідок. Якщо один із двогранних кутів тригранного кута прямий, то косинус протилежного плоского кута дорівнює добутку косинусів двох інших його плоских кутів. Якщо кут АСОВ= 90о, то cos = coscosβ.- ще одне позначення двогранного кута АСОВ

Задача. У тригранного кута два плоских кути по 45о, двогранний кут між ними – прямий. Знайдіть третій плоский кут. Розв’язання. Якщо двогранний кут = 90о, то cos = coscosβ = cos45ocos 45o = . Отже,  = 60о.

Друга теорема косинусів для тригранного кута. Якщо , β,  – плоскі кути тригранного кута,– його двогранні кути, протилежні відповідно , β, , то cos= –coscos+ sinsincos.

Теорема синусів для тригранного кута. Для тригранного кута відношення синуса двогранного кута до синуса протилежного йому плоского кута є величиною сталою.

Домашнє завдання. Вивчити теоритичну частину в презентації. Виконати письмові вправи:1. Чи існує тригранний кут із плоскими кутами:1) 100о, 130о, 20о;2) 30о, 45о, 60о;3) 100о, 140о, 120о?2. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60о і 80о. У яких межах лежить величина третього плоского кута?Фото роботи у зошиті приєднати до Гугл класу та здати.