1 квітня о 15:00Вебінар: Викладання іноземної мови в умовах дистанційного та онлайн-навчання

Презентація на тему "Теорема Вієта"

Про матеріал
Презентація може використовуватися як методична література до уроків і для дистанційного навчання.
Зміст слайдів
Номер слайду 1

Пряма та обернена Теорема Вієта та їх застосування. Презентація для дистанційного навчання

Номер слайду 2

Франсуа Вієт. Франсуа Вієт (1540 – 1603) – французький математик, за фахом — юрист. У 1591 р. впровадив буквені позначення не лише для невідомих величин, але й для коефіцієнтів рівнянь, завдяки чому стало можливим виражати властивості рівнянь та їх корені загальними формулами. Серед своїх відкриттів сам Вієт особливо високо цінив установлення залежності між коренями і коефіцієнтами рівнянь.

Номер слайду 3

Вступ{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Рівняння. Коефіцієнти𝟑𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟐=𝟎a=3, b=5, c=-2𝟎,𝟓𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟏𝟐=𝟎a=0,5 b=-6 c=1/2𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟕=𝟎a=1, b=4, c=7{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Рівняння. Коефіцієнтиa=3, b=5, c=-2a=0,5 b=-6 c=1/2a=1, b=4, c=7 Дані квадратні рівняння ми розв’язували за допомогою дискримінанта: Але звернемо увагу на третє рівняння. Його коефіцієнт а =1. Таке квадратне рівняння називається ЗВЕДЕНИМ . Саме цих рівнянь буде стосуватися теорема Вієта.

Номер слайду 4

Приклади зведених рівнянь𝑥2−7𝑥+2=0 𝑥2−0,36𝑥+4=0𝑥2+47𝑥−0,5=0 𝑥2+𝑥+1=0 Будь яке повне квадратне рівняння можна зробити зведеним, поділивши його на коефіцієнт а. Наприклад: 2𝑥2−4𝑥+8=0 |   :2𝑥2−2𝑥+4=0 0,5𝑥2−1,5𝑥+7=0 |   :0.5𝑥2−3𝑥+14=0 −3𝑥2+9𝑥+1=0 |   :(−3)𝑥2−3𝑥−13=0 Отже, якщо у нас є зведене квадратне рівняння, то його можна розв’язувати за теоремою Вієта, без формул коренів і дискримінанта… Якщо рівняння не зведене, то його можна звести)))Переходимо до теореми))Коли перед 𝒙𝟐 стоїть знак – то це рівняння є зведеним ? 

Номер слайду 5

Теорема Вієта. Якщо x1 і x2 — корені зведеного квадратного рівняння x2 + bx + c = 0, то x1+ x2 = – b, x1x2 = c , тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Номер слайду 6

Приклад 1 Запишіть суму і добуток коренів (𝒙𝟏  𝒊 𝒙𝟐)    для даних рівнянь: 𝑥2−2,5x+1=0 𝑥1+𝑥2=2,5𝑥1∙𝑥2=1 𝑥2+3x+5=0 𝑥1+𝑥2=−3𝑥1∙𝑥2=5 𝑥2−7x−4=0 𝑥1+𝑥2=7𝑥1∙𝑥2=−4 𝑥2+23x−0,7=0 𝑥1+𝑥2=−23𝑥1∙𝑥2=−0,7  x1+ x2 = – b, x1x2 = c

Номер слайду 7

Знайдіть суму й добуток коренів рівняння  3x2 – 15x + 2 =0 Робимо його зведеним, поділивши його на 3:𝑥2−5𝑥+23=0 . За теоремою Вієта, якщо корені цього рівняння додоти, то має вийти -b, тобто 5, а коли помножити— с, тобто 23. Приклад 1_1

Номер слайду 8

Знайдіть коефіцієнти b і c рівняння x2  + bx + c = 0, якщо його коренями є числа –7 і 4. Приклад 2 Розв’язання:за теоремою Вієта: b = – (–7 + 4) = 3, c = –7 · 4 = – 28.

Номер слайду 9

Приклади розв’язування зведених квадратних рівнянь за Т. Вієта𝑥2−5𝑥+6=0 Рівняння є зведеним, тому можемо використати теорему Вієта:𝑥1+𝑥2=5𝑥1∙𝑥2=6 Тепер нам потрібно придумати такі 2 числа, щоб при додаванні = 5, а при множенні =6.𝑥1=2𝑥2=3 І справді ці числа нам підходять)))Тому коренями даного рівняння є 2 і 3 А спробуємо розв’язати це рівняння за допомогою дискримінанта: 𝐷=(−5)2−4∙1∙6=25−24=1;             𝐷=1 𝑥1=5+12∙1=3 𝑥2=5−12∙1=2 Як бачимо результати розв’язування є однаковими. Але теорема Вієта потребує менших зусиль при обчисленнях))) Тому вона в даному випадку є доречнішою. Але нагадую ще раз: т. Вієта застосовується лише до зведених квадратних рівнянь!

Номер слайду 10

Приклади розв’язування зведених квадратних рівнянь за Т. Вієта𝑥2−2𝑥−3=0 Рівняння є зведеним, тому можемо використати теорему Вієта:𝑥1+𝑥2=2𝑥1∙𝑥2=−3 Тепер нам потрібно придумати такі два числа, щоб при додаванні = 2, а при множенні =-3.𝑥1=−1𝑥2=3 Коренями даного рівняння є -1 і 3 𝑥2+0,5𝑥−5=0 Рівняння є зведеним, тому можемо використати теорему Вієта:𝑥1+𝑥2=−0,5𝑥1∙𝑥2=−5 Тепер нам потрібно придумати такі два числа, щоб при додаванні = -0,5, а при множенні =-5.𝑥1=−2,5𝑥2=2 Коренями даного рівняння є -2,5 і 2 

Номер слайду 11

Приклади розв’язування зведених квадратних рівнянь за Т. Вієта𝑥2+4𝑥+4=0 Рівняння стало зведеним, тому можемо використати теорему Вієта: Тепер нам потрібно придумати такі два числа, щоб при додаванні = -4, а при множенні =4.𝑥1=−2𝑥2=−2 −12𝑥2−2𝑥−2=0  | ∙(−2) Це рівняння можна розв’язати за дискримінантом, а можна зробити його зведеним, домноживши на -2 і розв’язати за теоремою Вієта𝑥1+𝑥2=−4𝑥1∙𝑥2=4 Ми отримали два однакові корені, тому відповідь буде така: Відповідь: 𝑥=−2 

Номер слайду 12

Оформлення в зошиті𝑥2+7𝑥+10=0 𝑥1+𝑥2=−7𝑥1∙𝑥2=10 Відповідь: -5, -2. 𝑥1=−5𝑥2=−2 3𝑥2−15𝑥+18=0 |:3 𝑥1+𝑥2=5𝑥1∙𝑥2=6 Відповідь: 2, 3. 𝑥1=2𝑥2=3 𝑥2−5𝑥+6=0  Інколи Вам не буде вдаватися за теоремою Вієта розв’язати зведене квадратне рівняння. Причиною цього можуть бути дробові числа або взагалі відсутність розв’язку рівняння. Коли у Вас виникне така ситуація, то варто перевірити дискримінант цього рівняння, або ж навіть розв’язати за дискримінантом його.

Номер слайду 13

Отже, зведені квадратні рівняння можна розв’язувати методом підбору чисел за правилом теореми Вієта

Номер слайду 14

Приклад 4 Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами , корені якого дорівнюють 4 і −𝟓𝟕. Розв’язання.1)Нехай x1 = 4 і x2 =−57 Тоді −𝑏=x1 + x2 = 4+−57=237 c=𝑥1∙𝑥2=4∙−57=207 Отже, дане рывняння мало би мати такий вигляд: 𝒙𝟐−𝟐𝟑𝟕𝒙+𝟐𝟎𝟕=𝟎 Помноживши обидві частини цього рівняння на 7, отримуємо квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами: 7x2 – 23x – 20 = 0. 

Номер слайду 15

Отже, така проста теорема Вієта корисна не тільки для зведених квадратних рівнянь, а й може допомогти у розв’язуванні більш складних рівнянь та систем. Можливе розв’язання різних прикладів, а спосіб розв’язання спільний. Алгоритм розв’язування квадратних рівнянь простий:число або вираз розкласти на два спільних півмножники так щоб їх сума дорівнювала іншому заданому числу. Теорема знайшла застосування в спрощенні радикалів, розв'язуванні ірраціональних рівнянь, доведеннях, розв'язках систем рівнянь тощо. Висновки

Номер слайду 16

pptx
До підручника
Алгебра 8 клас (Істер О. С.)
До уроку
Розділ 3. Квадратні рівняння
Додано
15 березня
Переглядів
234
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку