Презентація на тему "Теорема Вієта"

Пряма та обернена Теорема Вієта та їх застосування. Презентація для дистанційного навчання

Франсуа Вієт. Франсуа Вієт (1540 – 1603) – французький математик, за фахом — юрист. У 1591 р. впровадив буквені позначення не лише для невідомих величин, але й для коефіцієнтів рівнянь, завдяки чому стало можливим виражати властивості рівнянь та їх корені загальними формулами. Серед своїх відкриттів сам Вієт особливо високо цінив установлення залежності між коренями і коефіцієнтами рівнянь.

Вступ{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Рівняння. Коефіцієнти𝟑𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟐=𝟎a=3, b=5, c=-2𝟎,𝟓𝒙𝟐−𝟔𝒙+𝟏𝟐=𝟎a=0,5 b=-6 c=1/2𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟕=𝟎a=1, b=4, c=7{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Рівняння. Коефіцієнтиa=3, b=5, c=-2a=0,5 b=-6 c=1/2a=1, b=4, c=7 Дані квадратні рівняння ми розв’язували за допомогою дискримінанта: Але звернемо увагу на третє рівняння. Його коефіцієнт а =1. Таке квадратне рівняння називається ЗВЕДЕНИМ . Саме цих рівнянь буде стосуватися теорема Вієта.

Приклади зведених рівнянь𝑥2−7𝑥+2=0 𝑥2−0,36𝑥+4=0𝑥2+47𝑥−0,5=0 𝑥2+𝑥+1=0 Будь яке повне квадратне рівняння можна зробити зведеним, поділивши його на коефіцієнт а. Наприклад: 2𝑥2−4𝑥+8=0 |   :2𝑥2−2𝑥+4=0 0,5𝑥2−1,5𝑥+7=0 |   :0.5𝑥2−3𝑥+14=0 −3𝑥2+9𝑥+1=0 |   :(−3)𝑥2−3𝑥−13=0 Отже, якщо у нас є зведене квадратне рівняння, то його можна розв’язувати за теоремою Вієта, без формул коренів і дискримінанта… Якщо рівняння не зведене, то його можна звести)))Переходимо до теореми))Коли перед 𝒙𝟐 стоїть знак – то це рівняння є зведеним ? 

Теорема Вієта. Якщо x1 і x2 — корені зведеного квадратного рівняння x2 + bx + c = 0, то x1+ x2 = – b, x1x2 = c , тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Приклад 1 Запишіть суму і добуток коренів (𝒙𝟏  𝒊 𝒙𝟐)    для даних рівнянь: 𝑥2−2,5x+1=0 𝑥1+𝑥2=2,5𝑥1∙𝑥2=1 𝑥2+3x+5=0 𝑥1+𝑥2=−3𝑥1∙𝑥2=5 𝑥2−7x−4=0 𝑥1+𝑥2=7𝑥1∙𝑥2=−4 𝑥2+23x−0,7=0 𝑥1+𝑥2=−23𝑥1∙𝑥2=−0,7  x1+ x2 = – b, x1x2 = c

Знайдіть суму й добуток коренів рівняння  3x2 – 15x + 2 =0 Робимо його зведеним, поділивши його на 3:𝑥2−5𝑥+23=0 . За теоремою Вієта, якщо корені цього рівняння додоти, то має вийти -b, тобто 5, а коли помножити— с, тобто 23. Приклад 1_1

Знайдіть коефіцієнти b і c рівняння x2  + bx + c = 0, якщо його коренями є числа –7 і 4. Приклад 2 Розв’язання:за теоремою Вієта: b = – (–7 + 4) = 3, c = –7 · 4 = – 28.

Приклади розв’язування зведених квадратних рівнянь за Т. Вієта𝑥2−5𝑥+6=0 Рівняння є зведеним, тому можемо використати теорему Вієта:𝑥1+𝑥2=5𝑥1∙𝑥2=6 Тепер нам потрібно придумати такі 2 числа, щоб при додаванні = 5, а при множенні =6.𝑥1=2𝑥2=3 І справді ці числа нам підходять)))Тому коренями даного рівняння є 2 і 3 А спробуємо розв’язати це рівняння за допомогою дискримінанта: 𝐷=(−5)2−4∙1∙6=25−24=1;             𝐷=1 𝑥1=5+12∙1=3 𝑥2=5−12∙1=2 Як бачимо результати розв’язування є однаковими. Але теорема Вієта потребує менших зусиль при обчисленнях))) Тому вона в даному випадку є доречнішою. Але нагадую ще раз: т. Вієта застосовується лише до зведених квадратних рівнянь!

Приклади розв’язування зведених квадратних рівнянь за Т. Вієта𝑥2−2𝑥−3=0 Рівняння є зведеним, тому можемо використати теорему Вієта:𝑥1+𝑥2=2𝑥1∙𝑥2=−3 Тепер нам потрібно придумати такі два числа, щоб при додаванні = 2, а при множенні =-3.𝑥1=−1𝑥2=3 Коренями даного рівняння є -1 і 3 𝑥2+0,5𝑥−5=0 Рівняння є зведеним, тому можемо використати теорему Вієта:𝑥1+𝑥2=−0,5𝑥1∙𝑥2=−5 Тепер нам потрібно придумати такі два числа, щоб при додаванні = -0,5, а при множенні =-5.𝑥1=−2,5𝑥2=2 Коренями даного рівняння є -2,5 і 2 

Приклади розв’язування зведених квадратних рівнянь за Т. Вієта𝑥2+4𝑥+4=0 Рівняння стало зведеним, тому можемо використати теорему Вієта: Тепер нам потрібно придумати такі два числа, щоб при додаванні = -4, а при множенні =4.𝑥1=−2𝑥2=−2 −12𝑥2−2𝑥−2=0  | ∙(−2) Це рівняння можна розв’язати за дискримінантом, а можна зробити його зведеним, домноживши на -2 і розв’язати за теоремою Вієта𝑥1+𝑥2=−4𝑥1∙𝑥2=4 Ми отримали два однакові корені, тому відповідь буде така: Відповідь: 𝑥=−2 

Оформлення в зошиті𝑥2+7𝑥+10=0 𝑥1+𝑥2=−7𝑥1∙𝑥2=10 Відповідь: -5, -2. 𝑥1=−5𝑥2=−2 3𝑥2−15𝑥+18=0 |:3 𝑥1+𝑥2=5𝑥1∙𝑥2=6 Відповідь: 2, 3. 𝑥1=2𝑥2=3 𝑥2−5𝑥+6=0  Інколи Вам не буде вдаватися за теоремою Вієта розв’язати зведене квадратне рівняння. Причиною цього можуть бути дробові числа або взагалі відсутність розв’язку рівняння. Коли у Вас виникне така ситуація, то варто перевірити дискримінант цього рівняння, або ж навіть розв’язати за дискримінантом його.

Отже, зведені квадратні рівняння можна розв’язувати методом підбору чисел за правилом теореми Вієта

Приклад 4 Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами , корені якого дорівнюють 4 і −𝟓𝟕. Розв’язання.1)Нехай x1 = 4 і x2 =−57 Тоді −𝑏=x1 + x2 = 4+−57=237 c=𝑥1∙𝑥2=4∙−57=207 Отже, дане рывняння мало би мати такий вигляд: 𝒙𝟐−𝟐𝟑𝟕𝒙+𝟐𝟎𝟕=𝟎 Помноживши обидві частини цього рівняння на 7, отримуємо квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами: 7x2 – 23x – 20 = 0. 

Отже, така проста теорема Вієта корисна не тільки для зведених квадратних рівнянь, а й може допомогти у розв’язуванні більш складних рівнянь та систем. Можливе розв’язання різних прикладів, а спосіб розв’язання спільний. Алгоритм розв’язування квадратних рівнянь простий:число або вираз розкласти на два спільних півмножники так щоб їх сума дорівнювала іншому заданому числу. Теорема знайшла застосування в спрощенні радикалів, розв'язуванні ірраціональних рівнянь, доведеннях, розв'язках систем рівнянь тощо. Висновки