1 квітня о 15:00Вебінар: Викладання іноземної мови в умовах дистанційного та онлайн-навчання

Конспект уроку на тему: " Раціональні рівняння "

Про матеріал
План - конспект уроку - систематизація знань про способи розв'язування дробово-раціональних рівнянь. Містить історичний та додатковий матеріал.
Перегляд файлу

 

8 клас.

 

Предмет: алгебра

Урок:  Розвязування типових вправ

 

 

Урок розробив вчитель вищої кваліфікаційної

категорії Мастицька Надія Володимирівна

 

 

 

 

 Навчально – виховний комплекс: загальноосвітня школа І – ІІІ ступенів -    

                                             гімназія №6 ВМР

 

 

 

Тема: Розв’язування раціональних рівнянь 


І. Актуалізація опорних знань.
 

Що ви знаєте про рівняння? 
 

 Рівняння- це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами.

 Розв’язати рівняння – це означає знайти всі його корені або показати, що їх немає.  Коренем рівняння називають те значення невідомого, при якому рівняння перетворюється на правильну рівність.

 Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. При цьому дістанемо рівняння, яке має такі самі корені, що й дане.

 Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те сааме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, яке має такі самі корені, що й дане.

Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають коренів.

Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінних.

 Рівняння називається раціональним, якщо його ліва і права частини-раціональні вирази.  Раціональне рівняння називається дробовим, якщо його права або ліва частини-дробові вирази.

 

Тест «Перевір себе»

1. Рівність, що містить змінну, називається … 

А) нерівністю;

Б) виразом;

В) тотожністю;

Г) рівнянням.

2. Число, яке задовольняє рівняння, називається його … 

А) значенням;

Б) коренем;

В) змінною;

Г) областю визначення.

3. Розв'язати рівняння означає … 

А) спростити його;

Б) знайти область допустимих значень;

В) знайти всі його корені;

Г) знайти всі його корені, або довести що їх немає.

4. Вирази, що містять дії додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня, називають … 

А) раціональними;

Б) цілими;

В) буквеними;

Г) цілими раціональними виразами.

5. Значення змінних, при яких вираз має зміст, називають ... 

А) множиною значень;

Б) допустимими значеннями змінних;

В) розв'язком рівняння;

Г) розв’язком нерівності.

6. Укажіть допустимі значення змінної у виразі  

А) усі числа, крім -1; 2;

Б) усі числа, крім 5;

В) усі числа, крім 2; -3;

Г) усі числа, крім -1; 5.

7. Рівняння, ліва і права частини яких є раціональними виразами, називають… 

А) дробовими;

Б) раціональними;

В) цілими раціональними;

Г) лінійними.

8. Щоб дріб дорівнював нулю, необхідно, щоб … 

А) знаменник і чисельник дорівнювали нулю;

Б) знаменник дорівнював нулю, а чисельник не дорівнював нулю;

В) чисельник і знаменник не дорівнювали нулю;

Г) чисельник дорівнював нулю, а знаменник не дорівнював нулю.


ІІ. Презентація трьох способів розв'язування дробово – раціональних рівнянь.

 

  1. Розв'язати рівняння

Використання умови рівності дробу нулю: дріб  дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли а = 0 і b ≠ 0.

Алгоритм:

за допомогою тотожних перетворень звести рівняння до виду= 0;

прирівняти чисельник а до нуля і розв’язати утворене ціле рівняння;

виключити з його коренів ті, при яких знаменник дробу b дорівнює нулю.

 

Розв'язання.

 Дріб дорівнюватиме нулю, якщо  чисельник х2-9 буде дорівнювати нулю, а знаменник х+3, при цьому значенні змінної, буде відмінний від нуля.

Отже, х2-9 = 0; х2 = 9;  х = 3 або х = -3.

Але, при х =-3 знаменник х+3 = -3+3 = 0. Тому х =-3 не є коренем вихідного рівняння.

При х=3 знаменник х+3 = 3+3 = 6≠0. Отже, х=3 – єдиний корінь даного рівняння.

Відповідь. х=3.


2. Розв'язати рівняння

 

Використання основної властивості пропорції: якщо=(де b≠0, d≠0), то ad = bc.

Алгоритм:

за допомогою тотожних перетворень звести рівняння до виду= ;

використовуючи основну властивість пропорції, дістати ціле рівняння ad = bc, та розв’язати його;

      виключити з його коренів ті, при яких знаменники b або d дорівнюють   нулю.

Розв'язання.

Зведемо рівняння до виду
 

За основною властивістю пропорції маємо:

(х – 2)(х – 8) = (х + 4)(х + 4) при умові, що х + 4 ≠ 0 і  х – 8 ≠ 0.

Розв'яжемо утворене ціле рівняння:

х2-8х-2х+16 = х 2+8х+16;  -10х-8х = 0; -18х = 0;   х = 0.

Перевіримо умови х+4 ≠ 0 та х-8 ≠ 0. Якщо х = 0, то х+4 = 0+4 = 4 ≠ 0; Якщо х = 0, то х-8 = 0-8 = -8 ≠ 0.

Отже х = 0 – корінь даного рівняння.

Відповідь. х = 0.

 

 

3.Розв'язати рівняння

 

Метод множення обох частин рівняння на спільний знаменник дробів.

Алгоритм:

розкласти на множники знаменники дробів, якщо це можливо;

знайти найменший спільний знаменник дробів, що входять у рівняння;

помножити обидві частини рівняння на цей спільний знаменник;

розв’язати утворене ціле рівняння;

виключити з його коренів ті, при яких спільний знаменник дробів перетворюється на нуль.

Розв'язання.

Розкладемо на множники знаменники дробів:

 

Спільним знаменником усіх дробів є (х-1)(х+1). Помножимо обидві частини рівняння на цей вираз, за умови, що (х-1)(х+1)≠0. Маємо:

;

Після скорочення, розв'яжемо утворене ціле рівняння.

2 = х(х-1) – х(х+1);  2 = х2-х-х2-х;  -2х = 2;  х = -1.

Але, якщо х = -1, спільний знаменник (х-1)(х+1) = (-1-1)(-1+1) = 0. Тому число -1 не є коренем даного рівняння.

Відповідь. Рівняння немає коренів.

 

 

 
Проаналізувавши алгоритми, можна зазначити таке:

  • розглянуті способи – алгоритми розв’язання дробових рівнянь відрізняються лише способом переходу до цілого рівняння, серед коренів якого можуть бути корені даного дробового рівняння;
  • загальні положення розв’язання дробових рівнянь є незмінними: перейшовши до цілого рівняння та розв’язавши це ціле рівняння, слід перевірити, чи не перетворюють корені цілого рівняння знаменники дробів на нуль.

.ІІІ. Самостійна робота (індивідуальний контроль)



Розв’яжіть рівняння: ( де n – порядковий номер учня в списку класного журналу)

  1. = 1;
  2. ;
  3. =  2x+n.

 

Відповідь: 1) – N; 2) – 3N; 3) – 2. 
Відповідь до тесту «Перевір себе»: А; Б; Г; А; Б; В; Б; Г.


ІV. Домашнє завдання.

 

Обери відповідний алгоритм та розв'яжи.

 

  1. =0

 

іб 6/(x-6 )дорівнює нулю?

IMG 0088.jpg

Самоконтроль: 
 
2. Презентаціятрьохспособіврозв'язуваннядробово – раціональнихрівнянь 
Покажи мені – і я запам’ятаю. 
Дай менідіяти самому – і я навчуся. 
Китайськамудрість

Розв'язатирівняння x/(x-4)-16/(x^2-4x)=0 
Використанняумовирівностідробу нулю: дріб a/b дорівнює нулю тоді і тількитоді, коли а=0 і b≠0.

  • за допомогоютотожнихперетвореньзвестирівняння до виду a/b=0;
  • прирівнятичисельник а до нуля і розв’язатиутворенецілерівняння;
  • виключити з йогокоренівті, при якихзнаменникдробу b дорівнює нулю.

Національнийісторико-архітектурнийзаповідник «Кам’янець»

Камянец.jpg

Розв'язатирівняння (3x-5)/(x-1)=(3x-7)/(x-2) 
Використанняосновноївластивостіпропорції: якщо a/b=c/d (де b≠0, d≠0), то ad = bc.

  1. за допомогоютотожнихперетвореньзвестирівняння до виду a/b=c/d;
  2. використовуючиосновнувластивістьпропорції,дістатицілерівнянняad = bc, та розв’язатийого;
  3. виключити з йогокоренівті, при якихзнаменники b або d дорівнюють нулю.

Києво-Печерська Лавра

Лавра.jpg

Розв'язатирівняння (x^2+17)/(x^2-1)= (x-2)/(x+1)+5/(x-1) 
Метод множенняобохчастинрівняння на спільнийзнаменник дробів

  1. розкласти на множникизнаменники дробів, якщоцеможливо;
  2. знайтинайменшийспільнийзнаменник дробів, щовходять у рівняння;
  3. помножитиобидвічастинирівняння на цейспільнийзнаменник;
  4. розв’язатиутворенецілерівняння;
  5. виключити з йогокоренівті, при якихспільнийзнаменник дробів перетворюється на нуль.


Державнийісторико-архітектурнийзаповідник "Хотинськафортеця"

Хотин.jpg

Вчитель. 
Проаналізувавшиалгоритми, можназазначититаке:

  • розглянутіспособи – алгоритмирозв’язаннядробовихрівняньвідрізняютьсялише способом переходу до цілогорівняння, середкоренівякогоможуть бути кореніподаного дробового рівняння;
  • загальніположеннярозв’язаннядробовихрівнянь є незмінними: перейшовши до цілогорівняння (яке є наслідкомподаногорівняння) та розв’язавшицецілерівняння, слідврахувати ОДЗ поданого дробового рівнянняабоперевірити, чи не перетворюютькореніцілогорівняннязнаменникрівняння на нуль.

Корекційнавправа (розвитокуваги) 
Розв'язатирівнянняусно: 1) (x-3)/x=0; 2) (x+2)/(x-1)=0; 3) x/(x-8)=0; 4) (x+6)(x-1)/(1-x)=0; 5) (|x|-5)/(x-5)=0. 
Національнийдендрологічний парк «Софіївка»

Софиевка.jpg

Запам'ятай!

  • перед розв’язуваннямдробово – раціональнихрівняньпотрібновизначити вид рівняння, а вжепотімвибиративідповіднийспосібрівносильнихперетворень;
  • вибравшипевний алгоритм перетворень дробового рівняння, слідчіткодотримуватитількицього алгоритму, не перескакувати на інший;
  • рівняннявважаютьрозв’язаним, якщовиконано всю послідовністьдій, передбачену алгоритмом.

V. Удосконаленнявмінь і навичок V.1. Розв'язуванняраціональнихрівнянь

Найкращийспосібвивчитищо – небудь – цевідкрити самому.  Д. Пойа

Колективне і коментованерозв'язуваннявправіззапропонованогоперелікурівнянь, ученьмає право вибору, але завдання подано по рівняхскладності і оцінюєтьсявідповідноюкількістюбалів 
Середній.jpg 

СофіяКиївська

София.jpg

Дост.jpg

Херсонес Таврійський

Херсонес.jpg

V.1. Розв'язуваннязадач за допомогоюрівнянь 

Розв'язування задач є найхарактернішим і специфічнимрізновидомвільногомислення. В. Джеймс


1) Катер проходить 160 км за течієюрічки за той час, що й 140 км протитечії. Знайтивласнушвидкістькатера, якщошвидкістьтечіїрічкидорівнює 2км/год. 
2)Додатково. Знаменникдробу на 4 більшийвідйогочисельника. Якщо до чисельникадробудодати 11, а відзнаменникавідняти 1, то вийдедріб, оберненийданому. Знайтицейдріб.

Національнийзаповідник-острів «Хортиця»

Хортица.jpg

VІ. Застосуваннязнань, уміньі навичок.

Самостійна робота (індивідуальнийконтроль) 

Через рівняння, теореми я будь – якірозв’язувавпроблеми. Джеффі Чосер



Розв’яжітьрівняння: ( де N – порядковий номер учня в списку класного журналу)

  1. (3x+2N)/x=1;
  2. 1/(x+N)=2/(x-N);
  3. (2x^2-4-N)/(x+1)=2x+N.


Відповідь: 1) – N; 2) – 3N; 3) – 2. 
VІ. Підсумок уроку.

Більшістьжиттєвих задач розв’язуються як алгебраїчнірівняння, звезеннямїх до найпростішого виду. (Л. Толстой)


Оцінюванняучнів 
Учнямпропонуєтьсявисловитисящодопідсумкууроку 
VІІ. Домашнєзавдання.

Чеснозробленамаленька робота – шлях довеликої перемоги


Повт. §8, запитання 1-3 ст.47 

 

docx
До підручника
Алгебра 8 клас (Істер О. С.)
До уроку
Розділ 1. Раціональні вирази
Додано
16 березня
Переглядів
28
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку