Презентація "Найбільше і найменше значення функції на проміжку".

Найбільше і найменше значення функції на проміжку10 клас

Найбільшим значенням цієї функції на заданому проміжку буде f(-2)=4, а найменшим – f(0)=0. Це записують так: 𝑚𝑎𝑥𝑓𝑥=−2;1𝑓−2=4; 𝑚𝑖𝑛𝑓𝑥−2;1=𝑓0=0. Бачимо, що на заданому проміжку функція має точку мінімуму: х𝑚𝑖𝑛=0, але не має точок максимуму. Від найбільшого та найменшого значень функції, неперервної на проміжку, залежить і множина значень Е(f) на цьому проміжку. Так , множиною значень функції f(x)=𝑥2, заданої на проміжку хϵ−2;1, є множина Е(f)=[0;4] Отже, якщо m-найменше значення неперервної на проміжку [a;b] функції y=f(x), а М – найбільше значення, то множиною значень функції y=f(x) на проміжку [a;b] буде множина[m;M].

Мал.1. Якщо на проміжку [a;b] функція має екстремуми, це не означає, що найбільшого або найменшого значення функція досягає в саме в точках екстремуму. Мал.1. На відрізку [a;d] найменшого і найбільшого значень функція набуває на кінцях проміжку [a;d], хоча має на цьому проміжку точки максимуму і мінімуму. Мал.2. На проміжку [b;d] найменшого значення функція досягає в точці мінімум. Мал.2. х1х2

Мал.3 Мал.3. На проміжку [b;c]- функція набуває найбільшого значення в точці максимуму. Мал.4. Функція має дві точки мінімуму на проміжку [a;b], але вони не є найменшими значеннями на цьому проміжку. Мал.4. х1х2х1х2х3х4

Найбільше і найменше значення на відрізку та їх знаходження. Для функцій неперервних на замкненому проміжку має місце теорема Вейєрштраса: якщо функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b], то вона досягає на ньому найбільшого значення М і найменшого значення m.Інакше кажучи, на відрізку[a;b] знайдуться такі точки х1 та х2, що значення f(x1) і f(x2) будуть відповідно найбільшими і найменшими з усіх значень функції y=f(x) на цьому відрізку. Для знаходження найбільшого значення на відрізку достатньо знайти критичні точки, що лежать усередині відрізка;обчислити значення функції у цих критичних точках та на кінцях відрізка;з усіх отриманих значень функції вибрати найбільше і найменше.

Розв’язування вправ. Приклад 24.1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції на вказаному проміжку:f([)= 3𝑥2−𝑥3 , [-1;3]. Розв’язання.1. Знайдемо похідну функції. Маємо: f′(x)=(3𝑥2−𝑥3)′=3*2x-3𝑥2=6x-3𝑥2. 2. Знайдемо критичні точки функції. Для цього прирівняємо похідну до нуля. Маємо:6x-3𝑥2=0; 3х(2-х)=0. Звідси х1=0; х2=2. 3. Бачимо, що 0ϵ[-1;3] та 2ϵ [-1;3]. 4. Знайдемо значення функції на кінцях проміжка та в точках, що належать цьому проміжку.f(-1)=3-(-1)=4; f(3)=3*9-27=0; f(0)=0; f(2)=3*4-8=4. Отже, 𝑚𝑎𝑥𝑓𝑥=−1;3f(-1)=f(2)=4; 𝑚𝑖𝑛𝑓𝑥−1;3= f(0)=f(3)=0 -13х02

Самостійна робота.1234567123456788[-1;4][-2;2][-2;2][-2;2][-2;2][-2;2][-2;2][-2;2][-2;2]Знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку: