Презентація"Нерівності"

Проект на тему «НЕРІВНОСТІ»Підготували учні 9 класу: Ревура Андрій,Гардаш Ігор. Керівник проекту. Витичак Ірина Ігорівна

Анотація проекту. Проектна технологія – одна з інноваційних технологій навчання і виховання, яка забезпечує формування основних компетенцій учня «Проектна діяльність набуває особистої значущості, оскільки в процесі володіння нею проявляється вміння враховувати і долати перешкоди для досягнення цілей проекту, формується стійка підпорядкованість мотивів, при цьому активна самодіяльність у навчальному процесі сприяє творчому і соціальному встановленню особистості. Ступінь задоволення, отриманого під час досягнення поставленої мети, впливає на поведінку людини у схожих ситуаціях у майбутньому. Цей проект призначений для системного узагальнення знань і вмінь учнів із теми «Нерівності», урізноманітнення форм роботи на уроці.

Мета: Узагальнити й систематизувати знання та вміння учнів із теми “Нерівності”;Розглянути виникнення та використання нерівностей на різних етапах розвитку математики;Розширити відомості про нерівності, розглянувши їх застосування в алгебрі та геометрії;Розглянути прикладні задачі, що зводяться до розв`язування нерівностей;Формувати вміння використовувати відомі факти для вирішення нових пізнавально-практичних завдань або життєвих ситуацій;Сприяти формування в учнів комунікативних навичок;Формувати розвиток аналітичного, критичного, творчого й проектного мислення;Виховувати вміння працювати в групі, навички співпраці;Виховувати в учнів старанність, наполегливість, повагу.

Завдання проекту: Прищепити учням вміння користуватися дослідницькими прийомами збирання інформації, висування гіпотез, уміння робити висновки;Залучити учнів до режиму самостійної роботи,опрацювання різних джерел інформації з метою оволодіння новими знаннями;Формувати в учнів вміння використовувати нерівності і їх властивості під час розв`язування вправ і задач.

Очікувані результати: Під час проекту учні зможуть закріпити й поглибити свої знання з теми “Нерівності”, і так підготуватись до ДПА (ЗНО);Зможуть застосувати свої знання з математики на практиці;Навчаться шукати, збирати, обробляти інформацію, планувати свою діяльність;Удосконалять уміння презентувати результати досліджень різними способами;Навчаться виступати перед аудиторією;Навчаться коротко, стисло, чітко, зручно представляти результати своєї роботи;Зможуть реалізувати свої дизайнерські вміння;Удосконалять навички роботи в групі,уміння узгоджувати свою діяльність з іншими.

Тип проекту: Довготривалий, груповий, дослідницький, пізнавальний.

Теми для досліджень: Група 1 “Рекламні агенти”. Тема дослідження”Для чого нам нерівності?”Група 2 “Історики”. Тема дослідження “Історія виникнення нерівностей”Група 3”Математики”. Тема дослідження ”Нерівності. Розв`язування нерівностей”Група 4”Науковці”. Тема дослідження “Іменні нерівності”Група 5”Олімпійський резерв”. Тема дослідження ”Розв`язування олімпіадних задач”Група 6 “Практики”. Тема дослідження “Розв`язування прикладних задач”

Уміє розв’язувати задачі той, хто їх розв’язує. Д. Пойя. Безперервне навчання – це мінімальна вимога для досягнення успіху в будь - якій справі. Денніс Уейтлі

Рекламні агенти. За означенням вважається, що (), якщо різницяє додатним (від’ємним) числом. Тому для доведення нерівностіна заданій множині значень зміннихдостатньо розглянути різницюі показати, що вона додатна при заданих значеннях змінних. Аналогічні міркування можна застосовувати для доведення нерівностей виду.

Рекламні агенти. У математиці часто доводиться порівнювати числа. Це роблять за такими правилами:1) Число а більше від числа b, якщо різниця a – b є додатним числом; записують — a > b.2) Число а менше від числа b, якщо різниця a – b є від’ємним числом; записують — a > b.3) Число а дорівнює числу b, якщо різниця a – b дорівнює нулю; записують a = b. При цьому для довільних дійсних чисел а і b виконується тільки одне з цих трьох співвідношень, бо різниця може бути або додатною, або від’ємною, або дорівнювати нулю

Рекламні агенти. Якщо числа не рівні, то результат порівняння чисел записують за допомогою числових нерівностей. При цьому використовують знаки нерівностей:·         > ― «більше»;·        < ― «менше»;·        ≤ — «менше або дорівнює»;·        ≥ — «більше або дорівнює». Два вирази, поєднані знаком нерівності, утворюють нерівність. Нерівність — одне з основних понять математики. Вираз ліворуч від знака нерівності називається лівою частиною нерівності, а вираз праворуч від знака нерівності — правою частиною нерівності. Якщо при підстановці деякого числа замість змінної нерівність зі змінною перетворюється на правильну числову нерівність, то говорять, що це число задовольняє дану нерівність. Якщо при підстановці деякого числа замість змінної нерівність зі змінною перетворюється на неправильну числову нерівність, то говорять, що це число не задовольняє дану нерівність.

Рекламні агенти. Щоб порівняти два числа, необхідно знайти різницю цих чисел. Якщо різниця буде додатною, то більшим є зменшуване; якщо різниця буде від’ємною, то більшим буде від’ємник; якщо різниця дорівнює нулю, то числа рівні.

Історики. Поняття «більше» і «менше» поряд із поняттям рівності виникли у зв’язку з переліком предметів і необхідністю порівнювати різні величини. Поняттям «нерівність» користувалися давні греки. Архімед (3 сторіччя до н. е.), обчислюючи довжину кола, встановив, що «Периметр будь-якого кола дорівнює потроєному діаметру з надлишком, який менший за сьому частину діаметра, але більший ніж десять сімдесят перших»

Історики. Архімед, давньогрецький математик, фізик, механік та інженер із Сіракуз. Народився в 287 році до н. е.., помер - 212 році до н. е.. Зробив безліч відкриттів в геометрії. Заклав основи механіки, гідростатики. Праці Архімеда з астрономії, геометрії, механіки великі й численні. І найяскравіший діамант в короні його відкриттів - закон поводження тіл у рідині, закон про виштовхувальну силу. Адже саме тоді, коли відкрилась йому у ванні ця велика істина, і закричав він: «Еврика!», і побіг, як дійшло до нас у переказах, голий вулицями Сіракуз, щоб перевірити, записати своє відкриття.

ІсторикиІншими словами, Архімед встановив межі числа 3 < π< 3 Ряд нерівностей наводить в своєму відомому трактаті «Начала» Евклід. Евклід ( др. – греч. Εὐκλείδης , Ок. 300 р. до н. е..) - давньогрецький математик. Світову популярність здобув завдяки твору з основ математики «Начала»

Історики. Томас Гарріот (1560 рік-1621 рік)-англійський астроном,математик,етнограф і перекладач в інших джерелах може згадуватись як Харріот або Гарріот. Гарріот удосконалив алгебраїчну символіку, у тому числі придумав загальноприйняті значки для операцій порівняння: «>» (більше) і «<» (менше). Вважається, що саме він вперше привіз картоплю до Великобританії та Ірландії

Історики. Спочатку риска була вище знака нерівності, а не під ним, як зараз. Загального поширення ці символи набули після підтримки французького математика П’єра Бугера (1734), який надав їм сучасного вигляду. П'єр Буге́р (фр. Pierre Bouguér, * 16 лютого 1698, Ле-Круазік — †15 серпня1758, Париж) французький фізик і астроном засновник фотометрії. Відомий працями з теорії корабля,геодезії, гідрографії та інших галузей знань. Розробив методи вимірювання сили світла. Встановив закон ослаблення світла.

Історики. Огюстен Луї Коші (1789-1857)Відомий французький математик. Він написав понад 800 праць з теорії чисел, алгебри, математичного аналізу і т.д. Були періоди, коли Коші щотижня подавав до Паризької Академії наук нову математичну працю. Нерівності та системи нерівностей широко використовуються як в теоретичних дослідженнях, так і при розв’язуванні важливих практичних задач

Математики Лінійними називаються нерівності ліва і права частина яких представляє собою лінійні функції щодо невідомої величини. До них відносяться, наприклад, нерівності: 5>4 – 6x 9-x < x + 5. Лінійні нерівності — це нерівностиі виду: ax +b>0 або ax + b<0ax +b≤0 або ax + b≫0 де a і b – деякі задані числа; x — невідома змінна.

Математики. Означення. Число а>b, якщо різниця a-b>0; число aа, або а<а – хибні висловлення.2. Властивість антисиметричності: якщо а>b, то b<а.3. Властивість транзитивності: якщо а>b, b>c, то а>c.4. Властивість монотонності додавання: якщо а>b, то a+m>b+m.5. Властивість монотонності множення: якщо а>b, c>0, то ac>bc;Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються; зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків. Математики

Математики     Розглянемо нерівність ax>b.1. Якщо а>0, то . Наприклад: 3х>6, х>2.2. Якщо а<0, то . Наприклад: -2х>4, х<-2.3. Якщо а=0, b<0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R. Наприклад: 0х>-5, .4. Якщо а=0, b>0, то нерівність розв’язків не має. Наприклад: 0х>5 не має розв’язків.    Розглянемо нерівність ax0, то . Наприклад: .2. Якщо а<0, то . Наприклад: .3. Якщо а=0, b<0, то нерівність розв’язків не має. Наприклад: 0х<-5 розв’язків не має.4. Якщо а=0, b>0, то розв’язком нерівності є множина всіх дійсних чисел R. Наприклад: нерівність 0х<5, .

Математики Основні властивості нерівностей зі змінними : 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу будь-який доданок з протилежним знаком, то отримаємо нерівність, рівносильну даній Наприклад, перенісши у нерівності 2х+4>0 доданок 4 з протилежним знаком у праву частину, отримаємо 2x>-4, яка рівносильна даній.2. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній Наприклад, помноживши обидві частини нерівності 2х+4>0 на число 5, отримаємо 10x+20>0, яка рівносильна даній

Математики3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній Наприклад, помноживши обидві частини нерівності 2х+4>0 на число -5 і помінявши знак нерівності на протилежний , отримаємо -10x-20

Математики. Система нерівностей складається з декількох нерівностей з однією змінною. Ці нерівності об'єднуються фігурною дужкою (так само, як і рівняння в системах рівнянь). Завдання полягає в тому, щоб знайти всі спільні розв'язки заданих нерівностей. Значення змінної, при якому кожна з нерівностей системи стає вірною числовою нерівністю, називають розв'язком системи нерівностей. Множина всіх розв'язків системи нерівностей є спільним розв'язком (найчастіше — просто розв'язком системи нерівностей.) {2x−1>33x−2<11 означає, що нерівності 2x−1>3 і 3x−2<11 утворюють систему нерівностей. Розв'язати систему нерівностей — це значить знайти всі її розв'язки.

НауковціДоказ нерівності Коші07.07.2015 Нерівність Коші було доведено французьким математиком Огюстом Коші в першій половині XIX століття. У скороченому вигляді нерівність Коші стверджує, що середнє арифметичне невід’ємних чисел не менше їх середнього геометричного. У повному варіанті в нерівність Коші також включаються середнє гармонійне і середнє квадратичне. Середнє арифметичне – це сума заданої кількості чисел, поділена на кількість чисел:(X1 + x2 + x3 + … + xn) / n. Середнє геометричне знаходиться як добування кореня в ступеня кількості чисел, де подкоренное вираз – це добуток цих чисел:n√ (x1 * x2 * x3 * … * xn)Таким чином, нерівність Коші стверджує, що(X1 + x2 + x3 + … + xn) / n ≥ n√ (x1 * x2 * x3 * … * xn)Для його докази спростимо вирази, уявивши, що знаходимо середнє арифметичне і середнє геометричне тільки двох чисел: a і b. Доказ нерівності для двох позитивних чисел буде вірно і для безлічі позитивних чисел.(A + b) / 2 ≥ √ab

НауковціНерівність трикутника – це теорема в якій стверджується, що в трикутнику кожна сторона менше суми двох інших. У трикутника вершини ніколи не лежать на одній прямій. Тому цю теорему можна сформулювати по-іншому: якщо три крапки не лежать на одній прямій, то відстань між будь-якими двома з них менше, ніж сума інших двох відстаней. Якщо дано трикутник ABC, то, застосовуючи по відношенню до нього теорему про нерівність трикутника, можна записати: AB

НауковціПроведемо висоту до сторони AC цього трикутника. Вона буде проведена з точки B в якусь точку D, що лежить на боці AC. Вийде два прямокутних трикутника: ΔABD і ΔBCD. У ΔABD сторона AB – гіпотенуза, а AD – катет. У ΔBCD сторона BC – гіпотенуза, а CD – катет. Гіпотенуза завжди більше катета. Значить сума двох гіпотенуз завжди буде більше суми двох катетів: AB + BC> AD + CDАле відрізки AD і CD становлять відрізок AC, а це означає, що. AB + BC> AC або. AC

Практики У математиці задачі відіграють важливу роль. Iсторiя свідчить, що математика як наука виникла iз задач i розвивається в основному для розв'язування задач. Задачі стимулювали не лише виникнення, а й подальший розвиток математичної науки. Основну роль, звичайно, відігравали задачі, поставлені життям. Вони насамперед примушували вчених розробляти нові алгоритми, виявляти нові закономірності, створювати нові методи дослідження. Згадаймо, наприклад, історію виникнення диференціального та інтегрального числення. Ще на початку ХVІІI ст. математики зіткнулися з багатьма задачами на дослідження різних процесів, на знаходження площ криволiнiйних фігур, об’ємів тіл тощо. Ці задачі цікавили багатьох, вони послужили стимулом i вiдправним пунктом для створення диференціального та інтегрального числення. Так само задачі про азартні ігри привели до тeopiї ймовірностей. Задача на оптимальне завантаження верстатів привела до створення лінійного програмування i т. ін. I тепер математика розвивається в основному через розв'язування задач.

Олімпійський резерв1. В коробці лежать 4 червоних і 2 зелених кульки. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося : а) одна червона кулька; б) одна зелена кулька; в) одна червона і одна зелена кулька; г) дві кульки одного кольору.2. В коробці лежать 100 різнокольорових кульок: 28 червоних, 20 зелених,12 жовтих, 20 синіх, 10 білих і 10 чорних. Яке найменше число кульок необхідно витягнути, щоб серед них виявилося 15 кульок одного кольору?3. В одному районі 7 шкіл. На район виділили 20 комп’ютерів. Довести, що при будь-якому розподілі їх між школами знайдуться дві, які отримають однакову кількість комп’ютерів (можливо, жодного).4. 34 пасажири їдуть в автобусі, який зупиняється на 9 зупинках, і ніякі нові пасажири на жодній з них не входять. Доведіть, що на двох зупинках вийде однакова кількість пасажирів.5. Якій мінімальній кількості школярів можна роздати 200 цукерок, щоб серед них при будь-якому розподілі знайшлися двоє, які отримають однакову кількість цукерок (можливо, жодної).6. 100 книг розподілили між деякими учнями. При якій мінімальній кількості учнів це можливо зробити таким чином, що всі вони отримають різну кількість книг?7. Довести, що серед будь-яких 9 натуральних чисел знайдуться два таких числа, які при діленні на 8 дають однакові остачі.8. Довести, що серед будь-яких n+1 натуральних чисел знайдуться два таких числа, різниця яких ділиться на n.9. Чи дійсно, що серед будь-яких семи натуральних чисел знайдуться три, сума яких ділиться на три?10. Доведіть, що серед будь-яких трьох цілих чисел можна знайти два, сума яких парна.

Математика — цариця всіх наук. її улюблениця — істина, її вбрання — простота і ясність. Палац цієї володарки оточено тернистими заростями, і, щоб досягти його, кожному доводиться пробиратися крізь хащі. Випадковий мандрівник не виявить у палаці нічого привабливого. Краса його відкривається лише розуму, що любить істину і загартований в боротьбі з труднощами, і такому, який свідчить про незвичайну схильність людини до заплутаних, але невичерпних і піднесених розумових насолод. Ян. Снядецький