Мета: сформувати уявлення учнів про комбінаторику, комбінаторні правила суми та добутку; показати широке коло застосування формул комбінаторики у навколишньому світі; розвивати уявлення про математичне моделювання як потужний інструмент розв’язування прикладних задач; виховувати упевненість у власних силах.
Приклад 1: У місті N є два університети- політехнічний і економічний, абітурієнту подобається три факультети в політехнічному і два – в економічному. Скільки можливостей має абітурієнт для вступу в університет?Розв'язання: Позначимо буквою А множину факультетів, які обрав абітурієнт в політехнічному університеті, а буквою В - в економічному. Тоді А = { m,n,k}, B = { p,s} . Оскільки ці множини не мають спільних елементів, то загалом абітурієнт має 3+2=5 можливостей вступати до університету. Виконаємо разом!
Правило суми поширюється і на більшу кількість множин. Приклад 2. Плануючи літній відпочинок, родина визначилася з місцями його проведення: в Одесі – 1, в Скадовську – 3, в Яремчі -2, у Затоці -2. Скільки можливостей відпочинку має родина?Розв'язання: Оскільки всі бази відпочинку різні, то для розв'язання задачі досить знайти суму елементів усіх множин, про які йдеться: 1+3+2+2=8. Отже родина може вибирати відпочинок з 8 можливих. Виконаємо разом!
Приклад 3. Від пункту А до пункту В ведуть 3 стежки, а від В до С - дві. Скількома маршрутами можна пройти від пункту А до пункту С?Розв'язання: Щоб пройти від пункту А до пункту В треба вибрати одну з трьох стежок: 1, 2 або 3. Після чого слід вибрати одну з двох інших стежок: 4 чи 5. Усього від пункту А до пункту В ведуть 6 маршрутів, бо 3·2=6. Усі ці маршрути можна позначити за допомогою пар: (1,4);(1,5); (2,4);(2,5); (3,4);(3,5). Виконаємо разом!14 3 25
Правило добутку поширюється і на впорядковані трійки, четвірки та будь-які інші впорядковані множини. Зокрема, якщо перший компонент упорядкованої трійки можна вибрати m способами, другий –n способами, третій – k спобами, то таку впорядковану трійку можна вибрати m·n·k способами. Виконаємо разом!
Приклад 5. Скільки різних поїздів можна скласти з 6 вагонів, якщо кожний з вагонів можна поставити на будь-якому місці?Розв'язання: Першим можна поставити будь-який із 6 вагонів. Другий вагон можна вибрати з решти 5 вагонів. Тому за правилом множення два перших вагонів можна вибрати 6·5 способами. Третій вагон можна вибрати з 4 вагонів, що залишилися. Тому три перших вагони можна вибрати 6·5·4 способами. Продовжуємо подібні міркування, приходимо до відповіді: усього можна скласти 6·5·4 ·3·2 ·1=720 різних поїздів. Виконаємо разом !
Розв’язання останньої задачі звелося до обчислення добутку всіх натуральних чисел від 1 до 6. У комбінаториці подібні добутки обчислюють часто. Добуток усіх натуральних чисел від 1 до n називають n-факторіалом і позначають п!Наприклад:5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120, 7! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 5040. Домовились вважати, що 1! = 1 і 0! = 1. Зверніть увагу !
791. Є дві цифри: 1 і 9. Скількома способами з цих цифр можна скласти: а) одноцифрове число; б) двоцифрове число, щоб цифри у числі не повторювались; в) двоцифрове число, якщо цифри у числі можуть повторюватися?792. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одного учня в шкільний комітет самоврядування?793. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати двох учнів у шкільний комітет самоврядування?794. У класі 11 хлопців і 10 дівчат. Скількома способами можна делегувати одну дівчину і одного хлопця в шкільний комітет самоврядування?Виконайте усно.
795. У магазині є три види печива і десять видів цукерок. Сергій хоче купити сестрі печиво чи цукерки. Скількома способами він може це зробити?796. Для завершення формування експедиції в Антарктиду додатково розглядалися заяви 10 претендентів на посаду лікаря, 5 претендентів на посаду повара і 3 претенденти на посаду техніка. Жоден кандидат не претендував одночасно на дві чи більше посад. Скількома способами можна заповнити одне вільне місце в експедиції?797. Скількома способами можна посадити чотирьох дітей на лавці?Виконайте письмово.
798. На вершину гори ведуть 4 стежки. Скількома маршрутами турист може піднятись на гору і спуститися з неї, обираючи для спуску і підйому різні стежки?799. Оленка має 2 спіднички і 3 вишиті блузки. Скільки різних наборів вбрання можна вибрати для виступу в хорі.800. Їдальня приготувала на сніданок 3 другі страви (А, В, С) і два напої (М, K). Скільки різних наборів із таких страв і напоїв можна вибрати на сніданок? Складіть відповідну діаграму-дерево.801. Скількома способами 5 осіб можуть утворити чергу до каси?Виконайте письмово.