Презентація "Перетворення графіків функцій"

Перетворення графіків функцій. Підготувала вчитель математики Карпенко Юлія Віталіївна

За підручником:

1. Побудова графіка функції 𝒚=𝒇𝒙±𝒏,де 𝒏>𝟎 Приклад 1. Побудувати в одній системі координат графіки функцій у =𝒙,  𝒚=𝒙 –𝟐  та  у=𝒙+ 𝟑. Розв'язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної з даних функцій для кількох значень аргументу: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}014916у =𝑥01234у =𝑥−2-2-1012у =𝑥+334567{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}01491601234-2-101234567xy

Графік функції 𝑦=𝑥 –2 можна побудувати шляхом перенесення кожної точки графіка функції 𝑦=𝑥 вздовж осі у на 2 одиниці вниз, а графік функції у=𝑥+3  шляхом перенесення кожної точки графіка функції у=𝑥 вздовж осі у на 3 одиниці вгору. Зверніть увагу на малюнок. 

Отже, для побудови графіка функції у=𝒇(𝒙)+𝒏, де n > 0, достатньо графік функції 𝐲=𝒇(х) перенести вздовж осі y на n одиниць угору; для побудови графіка функції у = f(x) – n, де n> 0, достатньо графік функції y = f(х) перенести вздовж осі у на n одиниць униз. Зауваження. Замість перенесення графіка функції вгору (униз), можна перенести вісь х на ту саму відстань в протилежному напрямку.

2. Побудова графіка функції 𝒚=𝒇(𝒙±𝒎),де 𝒎>𝟎 Приклад 2. Побудувати в одній системі координат графіки функцій 𝒚=𝒙𝟐 𝒊  𝒚=𝒙−𝟐𝟐 Розв'язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної з даних функцій для кількох значень аргументу: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}-3-2-101234у =𝑥294101491у =𝑥−222516941014{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}-3-2-101234941014912516941014xy

Для кожного 𝑥=𝑥0 значення функції 𝑦=𝑥−22 дорівнює значенню функції 𝑦=𝑥2  для 𝑥=𝑥0−2. У таблиці цю відповідність показано стрілками для значень функцій 𝑦=𝑥−22 при х = -1; 0; 1; 2; 3; 4 та 𝑦=𝑥2відповідно при х = -3; -2; -1; 0; 1; 2. Отже, якщо всі точки графіка функції 𝑦=𝑥2 перенести вздовж осі х на 2 одиниці вправо, то отримаємо графік 𝑦=𝑥−22. Зверніть увагу на малюнок. 

Приклад 3. Побудувати в одній системі координат графіки функцій 𝒚=𝒙𝟐 𝒊  𝒚=𝒙+𝟏𝟐 Розв'язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної з даних функцій для кількох значень аргументу: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}-3-2-10123у =𝑥29410149у =𝑥+1241014916{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}-3-2-10123941014941014916xy

Міркуючи, як у прикладі 2, дійдемо висновку, що графік функції у = х + 12 можна отримати, перенісши графік функції у = х2 вздовж осі х на 1 одиницю вліво. 

Зауваження. Замість перенесення графіка функції вліво (вправо) можна перенести вісь у на ту саму відстань у протилежному напрямку. Отже, для побудови графіка функції 𝒚=𝒇(𝒙−𝒎),де 𝒎>𝟎, достатньо графік функції у = f(х) перенести вздовж осі х на 𝒎 одиниць вправо; для побудови графіка функції 𝒚=𝒇(𝒙+𝒎),де 𝒎>𝟎, достатньо графік функції y = f(х) перенести вздовж осі х на 𝒎 одиниць вліво. 

3. Побудова графіка функції 𝒚=−𝒇𝒙. Приклад 4. Побудувати в одній системі координат функцій у =𝑥 і у =−𝑥. Розв'язання. Складемо таблицю значень даних функцій для кількох значень аргументу: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}014916у =𝑥01234у =−𝑥0-1-2-3-4{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}014916012340-1-2-3-4xy

З таблиці бачимо, що значення функції  у =−𝑥 для одних і тих самих значень х протилежні відповідним значенням функції у =𝑥. Графіки цих функцій зображено на малюнку. Якщо провести відрізки, що сполучають точки графіків функцій у =𝑥 і у =−𝑥 для одного і того самого значення х (на мал.1 їх показано пунктиром для 𝑥=1, 𝑥=4 𝑖 𝑥=9), то вісь х для цих відрізків буде серединним перпендикуляром. У такому випадку кажуть, що графіки симетричні відносно осі х. 

Точки А і А1, називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром до відрізка АА1. 

Отже, графіки функцій 𝒚=−𝒇𝒙 і 𝒚=𝒇𝒙симетричні відносно осі х. 

4. Побудова графіка функції 𝒚=𝒌𝒇𝒙, де 𝒌>𝟎, 𝒌≠𝟏 Приклад 5. Побудувати в одній системі координат графіки функцій 𝒚=𝒙 , 𝒚=𝟏𝟐𝒙 𝒊 𝒚=𝟐𝒙Розв'язання. Спочатку складемо таблицю значень кожної з даних функцій для кількох значень аргументу: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}-3-2-10123𝒚=𝒙3210149𝒚=𝟏𝟐𝒙32112012132𝒚=𝟐𝒙6420246{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}-3-2-1012332101491016420246xy

Для будь-якого значення х значення функції 𝒚=𝟏𝟐𝒙 удвічі менше від відповідного значення функції 𝒚=𝒙, а значення функції 𝒚=𝟐𝒙 удвічі більше за відповідне значення функції 𝒚=𝒙. Тому графік функції 𝒚=𝟏𝟐𝒙 можна отримати, стиснувши графік функції 𝒚=𝒙 у 2 рази до осі х (мал. 1), а графік функції 𝒚=𝟐𝒙- розтягнувши графік функції 𝒚=𝒙 у 2 рази від осі х (мал. 2).  мал. 1мал. 2

Отже, для побудови графіка функції 𝐲=𝒌𝒇(𝒙), де 𝒌> 𝟎, 𝒌 + 𝟏, достатньо графік функції 𝐲=𝒇(𝒙), розтягнути від осі х y k разів, якщо 𝒌> 𝟏, або стиснути його до осі х у 𝟏𝒌 разів, якщо 𝟎 <𝒌 < 𝟏. Виконуючи послідовно два і більше перетворень, можна будувати графіки функцій у = 𝑓𝑥 + 𝑚+𝑛,  𝑦 = —𝑘𝑓𝑥,  де 𝑘>0, та інших 

Приклад 6. Побудувати графік функції 𝑦=𝑥−2+3 Приклад 7. Побудувати графік функції 𝑦=−2𝑥 Скористаємось методами, які ми використовували раніше, маємо:

5. Побудова графіка функції 𝒚=𝒇𝒙. За означенням модуля числа маємо:𝑓𝑥=𝑓(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) > 0,−𝑓(𝑥), якщо 𝑓(𝑥) < 0. Отже, для тих значень х, при яких 𝑓𝑥≥ 0, відповідні значення функцій у=𝑓𝑥і у=|𝑓𝑥| між собою рівні, а тому для таких значень х графіки цих функцій збігаються. Для тих значень х, при яких 𝑓(𝑥) < 0, відповідні значення функцій у = 𝑓𝑥 𝑖 𝑦=|𝑓𝑥| є протилежними числами, тому для таких значень х графіки цих функцій є симетричними відносно осі х. 

Для побудови графіка функції 𝒚 =|𝒇(𝒙)| достатньо побудувати графік функції 𝐲=𝒇(𝒙) і ту його частину, яка лежить нижче осі х, симетрично відобразити відносно цієї осі. 

Приклад 8. Побудувати графік функції у = |0,5х – 2|. Розв'язання. Побудуємо графік функції у = |0,5х – 2|. Далі ту частину графіка, яка лежить нижче осi x, симетрично відображаємо відносно цієї осі. 

Побудуйте графіки функцій1)  𝑦=−𝑥2−12) 𝑦=−3+𝑥+523) 𝑦=4𝑥4) 𝑦=14|𝑥| 5) 𝑦=6𝑥 −1 6) 𝑦=−2𝑥27) 𝑦=0,25𝑥28) 𝑦=−𝑥−2 

Успіху у навчанні!