Презентація "Перпендикулярні площини"

Перпендикулярні площинис. Геометрія 10 кл.

α∩β=с, α  β, а⸦α, а  с, b⸦β, b  c. Отже, a∩b =т. К, тому прямі a і b визначають площину γ . Пряма с  γ.1.α∩β=с, α  β, а⸦α, а  с, b⸦β, bc.(a;b)=A=90˚. Отже, a∩b =т. A, тому прямі a і b визначають площину γ. Пряма с  γ.2. 𝑎1𝑎, 𝑎1⸦α, 𝑏1𝑏,𝑎1⸦α, 𝑏1⸦β,𝑎1c, 𝑏1 c, (𝑎1;𝑏1)= 𝐴1=90˚. Отже, 𝑎1∩𝑏1 =т.𝐴1, тому прямі 𝑎1і𝑏1 визначають площину 𝛾1. Пряма с 𝛾1. А отже, A= 𝐴1=90˚. 

Задача 1. Площини α і β перпендикулярні і перетинаються по прямій с; т. А не належить жодній з площин. Відстань від т. А до площини α дорівнює 5 см, а до площини β - 2см. Знайти відстань від т. А до прямої с.  Розв’язанняcαβABCDα  β, α∩β=c, (α;β)=90˚; т. А α, т. А β. АВ- відстань від т. А до площини α, АВ  α, АВ=5 см; АС- відстань від т. А до площини β, АС  β, АС=2см. Знайдемо відстань від т. А до прямої с. 2. З т. В та т. С проведемо перпендикуляри на пряму с. АВDC - прямокутник. АВ=СD=5 см, AC=BD=2см. AD – діагональ прямокутника АВDC. ∆ACD=∆ABD –прямокутні. З ∆ ACD(С=90˚): AD=𝐴𝐶2+𝐷𝐶2, AD=(5 )2+22 =5+4=3см. Відповідь: 3см. 

Задачі для самостійної роботи Задача 1. Точка А знаходиться на відстані 6см і 8см від двох перпендикулярних площин. Знайдіть відстань від цієї точки до лінії перетину площин. Задача 2. Точка А знаходиться на однаковій відстані від двох перпендикулярних площині на відстані 22 см до лінії перетину площин. Знайдіть відстань від точки А до даних площин. Задача 3. Площини α і β перпендикулярні і перетинаються по прямій с, т. А не належить жодній з площин. Відстань від т. А до лінії перетину площини α і β дорівнює 519  см, а до площини β -17 см. Знайти відстань від т. А до площини α. Задача 4. Площини α і β перпендикулярні і перетинаються по прямій с, т. А не належить жодній з площин. Відстань від т. А до лінії перетину площини α і β дорівнює 25см, а до площини α -20 см. Знайти відстань від т . А до площини β. 

Задача 2. Кінці відрізка, довжина якого 16см, належать двом взаємно перпендикулярним площинам. Відстань від кінців відрізка до прямої перетину площин дорівнюють 8см та 82см. Знайдіть кути, які утворює відрізок зі своїми проекціями на дані площини. 1. α  β, α∩β=c, (α;β)=90˚; т. Ає α, т. Вє β. АВ =16см.2. Відстань від т. Аєα, до лінії перетину площин – це перпендикуляр АН, АН  β, а відстань від т. Вєβ, до лінії перетину площин – це перпендикуляр ВР, ВР  α. Відповідно, НВ- проекція відрізка АВ на площину β, а РА – проекція відрізка ВА на площину α. Отже, потрібно знайти АВН та ВАР. 3. АН  НВ, ВР  РА, та як АН  β, ВР  α за побудовою. Отже, ∆АНВ – прямокутний: АВ – гіпотенуза, АВ=16см, АН – протилежний катет АВН . АН=8см. Sin(АВН)=АНАВ=816=12. АВН =30˚. 4. ∆ВРА – прямокутний: АВ – гіпотенуза, АВ=16см, ВР- протилежний катет ВАР. ВР= 82см. Sin (ВАР)=ВРАВ=8216=22. ВАР=45˚. Відповідь: 30˚,45˚ Розв‘язанняαβАВНРс

Задачі для самостійної роботи ( домашньої роботи)Задача 1. Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24см, належать двом перпендикулярним площинам. Відстані від кінців відрізка до лінії перетину даних площин відповідно дорівнюють 12см і 122см. Обчислити кути, утворені відрізком з цими площинами. Задача 2. Із кінців відрізка, що належать двом перпендикулярним площинам, до лінії перетину даних площин проведено перпендикуляри, що дорівнюють 42см і 4см. Відстань між основами перпендикулярів дорівнює 4см. Обчисліть кути, утворені відрізком з цими площинами. Задача 3. Із кінців відрізка,що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину даних площин проведено перпендикуляри, відстань між основами яких дорівнює 3см. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють 32см і 33см. Обчисліть кути , утворені відрізком з даними площинами. Задача 4. Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 6см, належать двом взаємно перпендикулярним площинам. Проекція відрізка на одну із площин дорівнює 33см, а відстань від його кінця до другої площини - 32см. Обчисліть кути, утворені відрізком з даними площинами. Задача 5. Відрізок довжиною 25см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площин дорівнюють 15см і 16см. Знайдіть проекції відрізка на кожну із площин. Задача 6. Відрізок довжиною 25см опирається кінкями на дві взаємно перпендикулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють 369см і 20см. Знайдіть відстань від кінців відрізка до даних площин. 

Задача 3. Кінці відрізка АВ лежать у перпендикулярних площинах. АС і ВD – перпендикуляри, проведені до лінії перетину цих площин, АС=511см, ВD=24см,СD= 7см. Знайдіть довжину відрізка АВ. Розв’язання1.т. А єβ, т. В єα, α  β, α∩β=c, (α;β)=90˚; АСс, ВD с, АС=511см, ВD=24см,СD= 7см.  с. Знайдемо довжину відрізка АВ.2. Відстань від т. А є β, до лінії перетину площин – це перпендикуляр АС, АС α, АСс. Отже, CВ- проекція відрізка АВ на площину α. (СВ=Пр𝛼АВ). АС=511см. Відстань від т. В є α, до лінії перетину площин – це перпендикуляр ВD, ВD  β. ВD=24cм 3. З ∆СDB(D=90˚) за теоремою Піфагора знайдемо ВС: ВС2=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2, ВС=242+72=576+49=625=25(см). 4. Оскільки α  β і АСс, СD⸦c, тоді АССD, то АСВ=90˚. ∆АСВ –прямокутний. За теоремою Піфагора знайдемо АВ: АВ2=АС2+СВ2, АВ=(511)2+252=25∗11+625=275+625=900=30(см).  511 247?

αβАВНРУсно. Розв’язування задач за готовим малюнком. Задача 1. Дано: α  β, α∩β=c, (α;β)=90˚; т. Ає α, т. Вє β. НВ – проекція АВ на площину β, НВ=369см; РА – проекція ВА на площину α, РА=20см; НР- відстань між проекціями НР⸦с, НР=12см. Знайти: Довжину відрізка АВ. 369 2012?с. Задача 2. Дано: α  β, α∩β=а, (α;β)=90˚; т. Аєβ, т. В єα, АС- проекція АВ на площину β, АС=16см;ВН – проекція АВ на площину α, ВН =20см. СН- відстань між проекціями, СН⸦а, СН=12см. Знайти: АВ; ВС; АВН.аβαС?АН20?В1612?

аαβРА8см15см. НВЗадача 3. Дано: α  β, α∩β=а, γ∩α=b, γ∩ β=c, які b∥𝑎, 𝑐‖𝑎,AP- відстань між прямими a і b, AP=8см;BP-відстань між прямими с і a, ВР=15см. Знайдіть відстань між прямою a і площиною γ. Розв’язанняα  β, α∩β=а, γ∩α=b, γ∩ β=c, які b∥𝑎, 𝑐‖𝑎, отже, b∥с. AP- відстань між прямими a і b, звідси АР a, т. Рє а, AP=8см. BP-відстань між прямими с і a, тому ВР a, т. Р є а, ВР=15см. А отже, АРВ – лінійний кут двогранного кута утвореного α  β з ребром а. АРВ =90˚. ∆ АРВ – прямокутний, AP,ВР – катети, АВ –гіпотенуза, АВ, АВ⸦γ. РН АВ. Отже, РН γ.  bγc2. Розгл. ∆АРН(АРВ =90˚) AP=8см, ВР=15см, АВ2=АР2+ВР2(за теоремою Піфагора) АВ2=82+152; АВ2=64+225; АВ2=289; АВ=17(см) 3. ∆АНР – прямокутний, бо РН АВ(за умовою). ∆АРB ~∆АНР (А –спільний). Із подібності трикутників знайдемо НР: АРАВ=РНВР; НР=АР∗ВРАВ; НР=8∗1517=12017≈7,14(см). Відповідь: відстань від прямої а до площини γ дорівнює 7,14 см. APBH

Задачі для самостійної роботи ( домашньої роботи)Задача 1. Площини α і β перпендикулярні та перетинаються по прямій с. Площина γ перетинає площини α і β відповідно по прямим b і а, які паралельні прямій с. Відстань між прямими b і с дорівнює 9см, а між прямими а і с – 12см. Знайдіть відстань між прямою с і площиною γ. Задача 2. Площини α і β перпендикулярні та перетинаються по прямій с. Площина γ перетинає площини α і β відповідно по прямим b і а, які паралельні прямій с. Відстань між прямими b і а дорівнює 10см, а між прямими а і с –8см. Знайдіть відстань між прямою с і площиною γ. Задача 3. Площини α і β перпендикулярні та перетинаються по прямій m. Площина γ перетинає площини α і β відповідно по прямим n і p, які паралельні прямій m. Відстань між прямими m і n дорівнює 15см, а між прямими p і n –25см. Знайдіть відстань між прямою m і площиною γ.