Презентація "Початки теорії ймовірностей. Урок 4, 5,6."

05.08.20181 Урок № 4 Тема уроку: Операції над подіями. Мета уроку: Познайомити учнів з операціями над подіями: подія, протилежна даній,сума подій,добуток подій. Вчити виражати складену подію через суму і добуток простих подій.

05.08.20182 Обчислювати ймовірність подій, будуючи кожний раз множину елементарних подій і підраховуючи число подій, що сприяють цій події , інколи важко. Тому для обчислення ймовірностей користуються правилами , які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій обчислювати ймовірності інших подій , які утворюються з них за допомогою деяких операцій.

05.08.20183 Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або обох подій одночасно. Позначення : С=А+В або С=АUВГрафічно суму подій можна зобразити як об’єднання множин : Сума(об’єднання ) двох Сума ( об’єднання ) двох сумісних подій А і В. несумісних подій А і В. АВАВ

05.08.20184 Подія Ā називається протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді , коли подія А не відбувається. Читається “ не А”. Графічно: Події А і Ā утворюють повну групу несумісних подій U. Для будь – якої події А мають місце рівності : А+U=U ; А+Ā=U ;А+А=А ; А+Ø=А . ААU

05.08.20185 Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні обох подій А і В під час одиничного випробування. Позначення: С=АВ С=А·В С=А ВГрафічне зображення добутка двох подій – перетин двох множин: Для будь-якої події А і повної групи несумісних подій U мають місце рівності : А · А = А А · Ø = Ø А · Ā = Ø А · U = А АВС

05.08.20186 Складеною подією називається така подія, поява якої залежить від появи інших , простих подій. У теорії ймовірностей розрізняють прості і складені події. Наприклад, під час кидання двох монет подія А – “випав хоча б один герб” – складена , бо вона складається з таких подій: А1 – “випав герб тільки на першій монеті”;А2 – “випав герб тільки на другій монеті”;А3 – “випав герб на обох монетах ”,тобто А = А1·А2 + А1·А2 + А3

05.08.20187 Приклади.1. Якщо подія А - “влучення в ціль з першого пострілу”, подія В - “влучення в ціль з другого пострілу ”, то подія С=А+В - “влучення в ціль”.2. Якщо подія А – “попадання в ціль при пострілі”, то подія Ā – “промах при пострілі”.3. Якщо подія А – “перший стрілець влучив у ціль”, подія В – “ другий стрілець влучив у ціль”, тоді подія С = А · В - “в ціль влучили обидва учасники”.

05.08.20188 Запитання для повторення: Яку подію називають протилежною даній?Що таке сума подій?Дайте означення добутку подій. Яка подія називається складеною?Приведіть приклад складеної події.

05.08.20189 Урок № 5 Тема уроку: Теорема про додавання ймовірностей несумісних подій. Мета уроку: Вивчення теореми про додавання ймовірностейнесумісних подій та формуванняумінь учнів знаходитиймовірність подій,використовуючи теорему.

05.08.201810 Теорема. Ймовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій: Якщо А В = Ø, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Доведення. Нехай у результаті випробувань відбувається n елементарних подій, m з яких сприяють події А. Тоді Р(А)= Якщо k подій з n подій сприяють події В , то Р(В)= Оскільки події А і В – несумісні, то не має подій, які б одночасно сприяли і події А, і події В, тому події А+В сприяє m+k подій. Отже, Теорема справедлива і для суми скінченої кількості попарно несумісних подій. АВmkn

05.08.201811 Розв’язання Нехай подія – “поява не чорної кульки”, -“поява чорної кульки”, - “поява червоної кульки”, - “поява зеленої кульки”, - “поява синьої кульки”. Тоді причому - несумісні, , , . За теоремою ймовірності суми несумісних подій дістанемо: Приклад1. В урні лежать 2 чорних, 3 червоних, 9 зелених, 6 синіх кульок. З неї навмання виймають одну кульку. Яка ймовірність того, що вона не чорна?

05.08.201812 Наслідок1. Сума ймовірностей подій ,які утворюють повну групу і попарно несумісні, дорівнює одиниці: Доведення Оскільки =U, де U- вірогідна подія і за умовою дані події несумісні, то для них можна застосовувати теорему додавання ймовірностей

05.08.201813 Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1: Доведення. Оскільки протилежні події несумісні і утворюють повну групу подій: Тоді

05.08.201814 Приклад 2. В коробці є 20 деталей, із яких 15 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоч би одна стандартна. Розв’язання Подія A – “серед вибраних деталей є хоча б одна стандартна”, подія Ā –”всі вибрані деталі нестандартні.” Згідно з наслідком 2 маємо: P(A)+P(Ā)=1, звідси P(A)=1-P(Ā). Знайдемо P(Ā). Загальне число способів, якими можна вибрати 3 деталі із 20 деталей, дорівнює . Число нестандартних деталей 20-15=5, із цього числа деталей можна способами вибрати 3 нестандартних деталі. Отже Р(Ā)=Шукана ймовірність P(A)=1-P(Ā)=1- = .

05.08.201815 Запитання для повторення: Сформуйте теорему про додавання ймовірностей двох несумісних подій. Чому дорівнює сума ймовірностей подій, які утворюють повну групу і попарно несумісні?Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій?

05.08.201816 Урок № 6 Тема уроку: Незалежність подій. Ймовірність добутку двох незалежних подій. Мета уроку:ознайомити учнів з поняттям незалежних подій та вивести формулу для обчислення ймовірності добутку двох незалежних подій. Формування умінь застосовувати теорему до розв’язування задач.

05.08.201817 Дві події називають незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася друга подія чи ні. Приклад1. Монета кидається двічі. Ймовірність появигерба в першому випробуванні не залежить відпояви чи непояви герба в другому випробуванні. Всвою чергу, ймовірність появи герба в другомувипробуванні не залежить від результатівпершого випробування. Отже, події А – “ появагерба в першому випробуванні” і В – “появагерба в другому випробуванні” – незалежні.

05.08.201818 Теорема. Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто Р(А*В)=Р(А)*Р(В)Доведення. Нехай n – число елементарних подій, які яксприяють, так і не сприяють події А, зобразимо їхточками. Нехай подій сприяють події А . Нехай - число елементарних подій, якісприяють, так і не сприяють події В. Серед нихподій, що сприяють події В. Число n * m - число подій, коли може появитися подія А*В, число - кількість подій, які сприяють події А*В. Оскільки

05.08.201819 Задача 2. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Ймовірності влучень в мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть ймовірність того, що обидва мисливці влучать у ціль. Розв’язання. Подія А – “перший мисливець влучив у ціль”, Р(А)=0,7. Подія В – “другий мисливець влучив у ціль”, Р(В)=0,8. Подія С=А*В – “обидва мисливці влучили у ціль”, тоді Р(С)=Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56

05.08.201820 Запитання для повторення: Які події називаються незалежними?Чому дорівнює ймовірність добутку двох незалежних подій ?