Презентація "Початки теорії ймовірностей. Урок 7,8."

11.08.20181 Урок № 7 Тема уроку: Ймовірність здійснення принаймі однієї з незалежних подій. Мета уроку: Формувати уміння учнів знаходити ймовірність здійснення принаймі однієї з незалежних подій.

11.08.20182 Теорема. Якщо події , , ... , - незалежні, то ймовірність здійснення принаймі однієї з них може бути виражена через ймовірність цих подій за формулою. Доведення. Позначимо через А подію, яка полягає в здійсненні хоч би однієї з подій , ,..., . Події А і , , ..., (жодна з подій не наступила) протилежні , отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1 : Звідси, користуючись теоремою про ймовірність добутку незалежних подій , одержимо:

11.08.20183 Наслідок. Якщо події , ,..., мають однакову ймовірність p, то ймовірність здійснення принаймі однієї із них Приклад 1 . В типографії є 4 типографських машини. Для кожної машини ймовірність того , що вона працює в даний момент, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того , що в даний момент працює хоча б одна машина. Рішення: Нехай подія А – “ працює в даний момент хоча б одна машина” , тоді за наслідком з теореми :

11.08.20184 Приклад 2 . Ймовірність попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат відповідно дорівнюють 0,8 ; 0,7 і 0,9. Знайдіть ймовірність хоч би одного влучення при одному залпі з усіх гармат. Ймовірність влучення в ціль кожною із гармат не залежить від результатів стрільб з других гармат, тому події -” влучення першою гарматою”, -“ влучення другою гарматою”, -” влучення третьою гарматою” незалежні. Якщо А - “хоч би одне влучення” , то

11.08.20185 Запитання для повторення: Яку подію називають протилежною даній?Що таке сума подій?Дайте означення добутку подій. Яка подія називається складеною?Приведіть приклад складеної події.

11.08.20186 Урок № 8 Тема уроку: Умовна ймовірність. Мета уроку: Познайомити учнів з умовноюймовірністю, вчити учнівоцінювати ймовірності подій зурахуванням додаткових умов.

11.08.20187 Дві події називають залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи чи непояви другої події. Розглянемо приклад. В ящику 100 деталей: 80стандартних і 20 нестандартних. Навмання берутьодну деталь, не повертаючи її назад. Якщо появиласьстандартна деталь( подія А), то ймовірність появистандартної деталі при другому випробуванні (подія В) ; якщо ж у першому випробуванні вийнято нестандартну деталь, то ймовірність . Отже, ймовірність появи події В залежить від появи чи непояви події А. Події А і В – залежні.

11.08.20188 Введемо позначення: Нехай к – кількість усіх елементарних подій, якісприяють події А; n – кількість усіх елементарних подій деякоговипробування; m – кількість елементарних подій, які сприяють події В; r – кількість елементарних подій, які сприяють події А*В і . Число, яке виражає ймовірність події В за умови, що подія А вже відбулася, називається умовною ймовірністю події В відносно події А і позначається Р(В/А) або РА(В)

11.08.20189 Доведення. Якщо подія А відбулася, то це означає, що відбулася одна з елементарних подій, які сприяють події А. При цьому події В сприяють r i тільки r подій, які сприяють події А*В. Тому ,звідси, Теорема. Ймовірність добутку залежних подій дорівнюєдобутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірністьдругої події, якщо перша вже відбулася.

11.08.201810 Розв’язання. Подія А – “перша взята кулька біла”, . Ймовірність того, що друга із кульок буде червоною (подія В), знайдена при умові, що перша – біла , тобтоумовна ймовірність дорівнює . Шукана ймовірність по теоремі множення ймовірностей залежних подій дорівнює Задача1. В урні 3 білих і 7 червоних кульок. Навмання виймають одну кульку, а потім другу. Знайти ймовірність другої події, якщо перша вже відбулася.

11.08.201811 Запитання для повторення: Яку подію називають протилежною даній?Що таке сума подій?Дайте означення добутку подій. Яка подія називається складеною?Приведіть приклад складеної події.