Презентація "Розв'язання задач на циліндр та конус"

Розв’язання задач на циліндр та конус. Викладач математикивищої категорії Єгорова І. А.

Перевірка домашнього завдання. Що таке циліндр?Назвіть основні елементи циліндру. Які перерізи може мати циліндр?Що таке конус?Назвіть основні елементи конусу. Які перерізи може мати конус?

Домашня задача 1. Твірна конусу 15мм, а його діаметр 18мм. Знайти висоту конуса. Даний конус, AS - твірна, AB - діаметр, SO – висота, AS = 15 мм, AB = 18 мм. Знайдемо: SO. Проведемо твірну SВ. Отримаємо Рівнобедрений трикутник SАВ. Тоді SO є висотою цього трикутника, проведеної до його основи, а отже і є його медіаною та бісектрисою. Тоді АО = 12 АВ = 12 ∙ 18 = 9 (мм) . У ∆ SАО (˪ О = 900) за теоремою Піфагора знайдемо SO: SO = AS2− АО2 = 152 − 92 = 12 (мм)Відповідь: 12 мм 

Домашня задача 2. Купа щебню має конічну форму . Твірна купи дорівнює 3м і нахилена до площини основи під кутом 300 Знайти площу осьового перерізу купи щебню. Даний конус, AS - твірна, AB - діаметр, SO – висота, AS = 3 м, ˪ SАВ = 300 . ∆ SАВ – осьовий переріз. Знайдемо: 𝑆∆ SАВ. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони – твірні, а основа – діаметр конуса. 𝑆∆ SАВ = 12 SO ∙ АВ. SO знайдемо в прямокутному ∆ SАО (SO – висота): SO – це катет, який лежить проти кута 300 . Тому SO = 12 SА = 12 ∙ 3 = 1,5 (м). АО знайдемо в цьому ∆ за т. Піфагора: АО = AS2− SО2 = 32 − 1,52 = 32 −(32)2 = 9−94 = 274 = 332 (м), АВ = 2∙332 = 33 (м), 𝑆∆ SАВ = 12 ∙ 32 ∙33= 934 (м2). Відповідь: 934 м2 

Задача 1 Висота циліндра дорівнює 5 см, а діаметр основи – 24 см. Знайдіть відстань від центра однієї основи циліндра до точки кола другої основи. О1 Даний циліндр, 0 О1- висота, 0 О1 = 5 см, АВ – діаметр, АВ = 24 см, О1 В - відстань від центра однієї основи циліндра до точки кола другої основи. Знайдемо О1 В. А О Розглянемо 0 О1 В: ˪О = 900, ОВ = r = 12 АВ = 12 ∙ 24 = 12 (см) В За теоремою Піфагора знайдемо О1 В : О1 В = 0 О12+ ОВ2 = 52 +  122 = 13 (см). Відповідь: 13 см.  

Задача 2 Знайдіть радіус основи та висоту конуса, якщо його твірна дорівнює 18 см. А осьовий переріз конуса є правильним трикутником. Даний конус, SA – твірна конуса, SA = 18 см, SAB – осьовий переріз, SAB – правильний трикутник, SО – висота, АО – радіус основи. Знайдемо SО і АО. Оскільки SAB – правильний трикутник, то SA = SВ = АВ = 18 см, АО = 12 АВ = 12 ∙ 18 = 9 (см). SAО – прямокутний (SО – висота конуса). За теоремою Піфагора SО =SA2− АО2 = 182− 92 =  18 −9 ( 18+9)= = 9∙27  = 3 ∙ 33 = 9 3 (см)Відповідь: 9 см, 9 3 см.  

Задача 3 Радіус основи конуса дорівнює 15 см, а відстань від центра основи до твірної конуса – 12 см. Знайдіть твірну та висоту конуса. Даний конус, ОА – радіус основи, ОА = 15 см, SA – твірна, ОМ ┴ SA, ОМ = 12 см, SО – висота. Знайдемо SA і SО. Розглянемо ∆ SОА: ˪ О = 900, ОМ – висота даного трикутника, яка проведена до гіпотенузи. ∆ МОА – прямокутний, знайдемо МА за теоремою Піфагора: S МА = ОА2 − ОМ2 = 152 − 122 = 9 (см). ∆ SОА ~ ∆ МОА по спільному гострому куту. М Звідси маємо: 𝑆ООМ = 𝑆АОА = ОАМА; 𝑆О12 = 𝑆А15 = 159 = 53 = k;О А SО = 12 ∙153 = 20 (см), SА = 15 ∙53 = 25 (см). S Відповідь: 25 см, 20 см. O O A M A 

Задача 4 Паралельно осі циліндра, радіус основи якого дорівнює 10 см, а висота – 12 см, проведено переріз, що є квадратом. Знайдіть відстань від осі циліндра до площини перерізу.  В1 Даний циліндр, ОО1 - висота, ОО1= 12 см, ОА – радіус основи, ОА = 10 см, АВВ1 А1- переріз, який є квадратом, (АВВ1 А1)‖ ОО1. ОК - відстань від осі циліндра до площини перерізу, отже ОК┴(АВВ1 А1), тобто ОК┴АВ. Знайдемо ОК. АВ = АА1 = ОО1= 12 см (АВВ1 А1- квадрат, (АВВ1 А1)‖ ОО1 і АА1- твірна)Розглянемо ∆ АОВ: ОА= ОВ = r = 10 см, ОК – висота рівнобедреного трикутника, яка проведена до його основи, а отже є його бісектрисою та медіаною. Тобто, АК = КВ. АК = 12 АВ = 12 · 12 = 6 (см). За теоремою Піфагора в ∆ АОК знайдемо ОК: ОК = АО2−АК2 = =102−62 = 8 (см)Відповідь: 8 см 

Самостійна робота. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 128 см2. Знайдіть висоту циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 4 см. (3 б.)Радіус основи конуса дорівнює 2 см, а його осьовий переріз – рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайдіть висоту конуса та його твірну. (4 б.)Площа основи циліндра дорівнює 49𝜋см2, а кут між діагоналлю осьового перерізу та твірною циліндра дорівнює 300. Знайдіть висоту циліндра. (4 б.)Знайдіть площу осьового перерізу конуса, який утворився в результаті обертання прямокутного трикутника з гіпотенузою 17 см і катетом 15 см навколо другого катета. (5 б.)