Презентація "Розв'язання задач на кулю"

Розв’язання геометричних задач на кулю, сферу. Підготувала: викладач математики вищої категорії Ірина Єгорова

Повторення:1) Що таке циліндр?2) Які перерізи може мати циліндр?3) Що таке конус?4) Які перерізи може мати конус?5) Що таке куля? Сфера?6) Які перерізи може мати куля?

Аналіз самостійної роботи1. Рисунок, перерізи, 2. Оформлення умови.3. Пояснення розв’язку.

Задача: Дано сферу радіуса 6 см і площину 𝛼. Якою має бути відстань від центра сфери до площини 𝛼, щоб:1) сфера та площина не мали спільних точок;2) сфера та площина мали одну спільну точку;3) перерізом сфери та площини було коло;4) перерізом сфери та площини було коло найбільшої можливої довжини? 

Задача: Сфера перетинається площиною, відстань від якої до центра сфери дорівнює 6 см. Довжина лінії перетину сфери з площиною дорівнює 16π см. Знайдіть радіус сфери. Дана сфера з центром в точці О, площина α, яка перетинає сферу по колу з центром в точці О1, ОО1= 6 см, Lкола перетину= 16π см, ОА = 𝑅 сфери. Знайдемо ОА. Lкола перетину= 2π 𝑅, отже 2π 𝑅 = 16π, 𝑅 = 8 (см). О1 В = 8 см. ОВ = ОА = 𝑅 сфери. Розглянемо ∆ОО1 В: ОО1= 6 см, О1 В = 8 см, ˪ОО1 В = 900. За теоремою Піфагора маємо ОВ = ОО12+ О1 В2 = 62+82 = 10 (см). Отже ОА = 10 см. Відповідь: радіус сфери дорівнює 8 см.  

Задача: Через кінець діаметра кулі радіуса R проведено площину, яка утворює із цим діаметром кут α, α≠900. Знайдіть площу утвореного перерізу кулі.   Нехай площина утворила з кулею переріз – коло з центром в точці О1. При чому кут ОАО1=α, α≠900. АВ – діаметр перерізу, ОА і ОВ – радіуси кулі, ОА = ОВ = R. ОО1 - відстань між центрами кулі і перерізу. Розглянемо ∆ АОВ: АО=ОВ, отже ∆ - рівнобедрений, тоді ˪ОАВ = ˪АВО = α. ОО1- висота цього трикутника, АО1= ВО1 = r (радіус перерізу). За означенням cos в ∆АОО1 знайдемо АО1: АО1= АО cos𝛼 = Rcos𝛼. Тоді 𝑆перерізу = 𝜋𝑟2 = 𝜋𝑅2𝑐𝑜𝑠2𝛼. Відповідь: 𝜋𝑅2𝑐𝑜𝑠2𝛼 

задача. На поверхні кулі позначено точки А, В і С такі, що АВ = ВС = 15 см, ˪АВС = 1200. Знайдіть відстань від центра кулі до площини АВС, якщо радіус кулі дорівнює 17 см. Отже, в ∆ OО1 D OD=17 см, О1 D= 15 см. За теоремою Піфагора знайдемо ОО1: ОО1= OD2− О1 D2 = 172−152 = 289−225= 64 = 8 (см)  Дана куля з центром в т. О та радіусом OD=R =17см, точки А, В, С належать кулі. АВ = ВС = 15 см, ˪АВС =1200. Через ці точки проведено переріз, яким є коло з центром в т. О1 і радіусом r = О1 D = О1 С. OО1 - шукана відстань. За умовою задачі ми бачимо, що ∆ АВС лежить в колі з центром в т. О1. Застосуємо для цього ∆ теорему sin: 𝐴𝐵sin˪𝐶 = 𝐵𝐶sin˪𝐴 = 𝐴𝐶sin˪𝐵 = 2r, ˪В =1200, а ∆ АВС– рівнобедрений, отже ˪А = ˪С = (1800 - 1200):2= 300. Тоді, 𝐴𝐵sin˪𝐶 = 2r. Звідси маємо: r = 𝐴𝐵2sin˪𝐶 = 152sin300 = 15 (см) 

Самостійна робота1. Точки С і D лежать на сфері із центром О, діаметр якої дорівнює 8 см. Знайдіть відрізок СD, якщо трикутник СОD є прямокутним.2. Діаметр сфери дорівнює 20 см. А відстань від її центра до площини α дорівнює 12 см. Чи мають дана сфера та площина α спільні точки. (Обов’язково надати пояснення, виконати рисунок).3. Вершини трикутника зі сторонами 1 см, 3 см і 2 см лежать на сфері. Знайдіть радіус сфери, якщо відстань від її центра до площини цього трикутника дорівнює 43 см.