Презентація "Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь"

Розв’язування задач за допомогою квадратного рівняння. Підготувала вчитель математики Одеського ліцею №84 Одеської міської ради. Шикунова Світлана Василівна

Мета уроку:повторити, систематизувати і узагальнити знання з теми«Розв’язування задач за допомогою квадратного рівняння», удосконалити вміння розв'язувати задачі на знаходження невідомих величин за допомогою квадратного рівняння.

Пригадаємо         

 Теорема Вієта (для повного рівняння)   Пригадаємо

Пригадаємо

Пригадаємо

- Геометричні задачі; - Задачі на рух;- Задачі на спільну роботу; - Задачі на знаходження чисел. Основні види задач, математичними моделями яких є квадратне рівняння:

Приклад 1. Площа клумби прямокутної форми дорівнює 32 м². Довжина клумби на 4 м більше ширини. Знайти розміри клумби. Працюємо разом. Задача геометричного змісту Розв’язання Нехай ширина клумби дорівнює х м, тоді довжина дорівнює (х + 4) м. Площа клумби за умовою 32 м²,складаємо рівняння: (х + 4)∙х = 32; х² + 4х = 32; х² + 4х – 32 = 0; Розв’язуємо отримане рівняння: За теоремою Вієта:  𝑥1+𝑥2=−𝟒, 𝑥1·𝑥2=−32; 𝑥1=𝟒,  𝑥2=−𝟖;  Корінь х = -8 не задовольняє умову задачі. Отже, ширина 4 м, а довжина 4 + 4 = 8 м. Відповідь: 4 м і 8 м

Задачі на рух

𝑠=𝑣𝑡 - закон руху𝑠- відстань, 𝑣- швидкість, 𝑡- час. Тому маємо: Для знаходження швидкості: 𝒗=𝒔𝒕 Для знаходження часу: 𝒕=𝒔𝒗  

Приклад 2. З одного міста до іншого, відстань між якими 560 км, виїхали одночасно вантажівка і легковик. Легковик прибув до місця призначення на одну годину швидше, тому що його швидкість на 10 км/год більше за швидкість вантажівки. Знайдіть швидкість кожної машини. Розглянемо задачу на рух по дорозі

Розв’язуємо отримане рівняння:560𝑥+10−560𝑥+1=0; 560х−560𝑥+10+𝑥(𝑥+10)𝑥𝑥+10=0; 560х−560х −5600+х2+10хх(х+10)=0; х2+10х−5600х(х+10)=0  х2+10х−5600=0,х≠0, х≠−10 х² + 10х - 5600 = 0, За теоремою Вієта: 𝑥1+𝑥2=−10, 𝑥1·𝑥2=−5600; 𝑥1=𝟕𝟎,  𝑥2=−𝟖𝟎 Аналізуємо отримані результати: Корінь х = -80 не задовольняє умову задачіОтже, шукана швидкість вантажівки 70 км/год, тоді швидкість легковика – 80 км/год. Відповідь: 70 км/год, 80 км/год

Пригадаємо рух по воді

Приклад 3. Човен, власна швидкість якого18 км/год, проплив 40 км за течією і 16 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії, якщо вона менша 4 км/год. Розв’язання Створюємо математичну модель задачі у вигляді таблиці: За формулою знаходження часу маємо: 4018+х год - час за течією; 1618−х год - час проти течії;Складаємо рівняння:𝟒𝟎𝟏𝟖+х + 𝟏𝟔𝟏𝟖−х = 3 

Розв’язуємо отримане рівняння:4018+х + 1618−х - 3 = 0;4018−𝑥+16(18+𝑥) −3(18+х)(18−х)(18+х)(18−𝑥)=0; 720−40𝑥+288+16𝑥−972+3𝑥2(18+х)(18−𝑥) =0; 3х2−24х+36(18+х)(18−х)=0;3x² −24x +36 = 0,𝑥≠18,  х≠−18; 3x² -24x +36 = 0 | : 3 x² - 8x + 12 = 0 За теоремою Вієта:  𝑥1+𝑥2=8, 𝑥1·𝑥2=12;    𝑥1 = 2 , 𝑥2 = 6 ; Аналізуємо отримані результати: Корінь х = 6 не задовольняє умову задачі, бо сказано, що швидкість течії менша за 4 км/год. Отже, шукана швидкість течії 2 км/год. Відповідь: 2 км/год.

Задачі на спільну роботу A=pt, A – обсяг роботи, p-продуктивність праці, t-час роботи. Тому маємо: Для знаходження продуктивності праці:  𝑝=𝐴𝑡Для знаходження часу роботи: t=𝐴𝑝 Якщо в умові задачі, не вказано обсяг роботи, то його приймають за 1

Приклад 4. Через 2 труби резервуар можна заповнити за 4 хв. Через першу трубу цей резервуар може заповниться на 6 хв швидше, ніж через другу. За скільки хвилин заповниться цей резервуар, якщо працює одна перша труба? Розв’язання Нехай час заповнення через першу трубу – х хв. Тоді, час заповнення через другу трубу – (х+6) хв. Обсяг роботи – 1 Отже: 𝑝1=1𝑥 , 𝑝2=1𝑥+6 Обсяг роботи І труби за 4 хв - 4𝑥 Обсяг роботи ІІ труби - 4𝑥+6 Складаємо рівняння:     4𝑥+4𝑥+6=1 

Розв’язуємо отримане рівняння:4𝑥+4𝑥+6−1=0; 4𝑥+6+4𝑥−𝑥(𝑥+6)𝑥𝑥+6=0; 4х+24+4𝑥−𝑥2−6х𝑥𝑥+6=0; −𝑥2+2х+24𝑥𝑥+6=0; 𝑥2−2х−24𝑥𝑥+6=0; 𝑥2−2𝑥−24=0,𝑥≠0,  х≠−6; х² - 2х – 24 = 0 За теоремою Вієта: 𝑥1+𝑥2=2, 𝑥1·𝑥2=−24; 𝒙𝟏=𝟔,  𝒙𝟐=−𝟒  Аналізуємо отримані результати: Корінь х = -4 не задовольняє умову задачі. Отже, шуканий час 6 хвилин. Відповідь: 6 хвилин.

- Розв’язання яких задач розглянули на уроці?- Що є математичною моделлю до задач на рух?- Яку особливість помітили при розв’язанні задач на рух по воді?- Навіщо треба аналізувати розв’язки прикладної задачі?- Чи завжди всі отримані розв’язки є шуканими? Підсумок уроку

Скануй QR-код. Тренуйся самостійно. Домашнє завдання3) Розв’язати задачу: Моторний човен проплив 8 км за течією річки й повернувся назад, витративши на весь шлях 54 хв. Знайдіть швидкість течії річки, якщо власна швидкість човна становить 18км/год.2) Розв’язати задачу: Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ – 13 см. Знайдіть сторони прямокутника.1) Переглянути відеоурок