Презентація "Симетрія"

Вчитель математики Коновалова Світлана Іванівна Черкаська спеціалізована школа І-ІІІ ступенів №18 Геометрія 9 клас

Краса тісно пов'язана із симетрією… Г. Вейль

Симетрія в перекладі з грецької означає відповідність. Під симетрією прийнято розуміти властивість геометричної фігури, розташованої в просторі або на площині, що полягає в повторенні закономірно рівних її частин.

Що таке симетрія? Які точки називають симетричними? Симетрія-це відповідність у розташуванні частин чого-небудь по протилежних сторонах від точки, прямої або площини. Дві точки А і Е, та точки В і D називаються симетричними відносно точки С, якщо С є серединою відрізка АЕ та ВD відповідно.

Дві точки Х та Х’ площини називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О є серединою відрізка ХХ’. Можна дати і інше визначення: центральна симетрія з центром в точці O - це таке відображення площини, при якому будь-якій точці X зіставляється така точка X', що точка O є серединою відрізка XX'.

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називається центрально-симетричною, а точка О – центром симетрії.

Приклади центральної симетрії Найпростішими фігурами, що володіють центальною симетрією, є коло та паралелограм. Центром симетрії кола є центр кола, а центром симетрії паралелограма - точка перетину його діагоналей.

Властивості симетрії відносно точки перетворення симетрії відносно точки є переміщенням; пряма переходить у пряму, промінь у промінь; відрізок переходить у рівний йому відрізок; кут переходить у рівний йому кут.

Теорема Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.

Доведення. 1.При симетрія відносно точки О : Х → X’ і Y → Y’. 2. ΔХОY= ΔX’OY’ – за двома сторонами і кутом між ними. 3. З рівності трикутників випливає: ХY = Х’Y’. 4.Це означає, що симетрія відносно точки О є переміщенням. Y’ Х X’ O Y

О А В Пряма також володіє центральною симетрією, проте на відміну від кола та паралелограма, які мають тільки один центр симетрії (точка О на малюнку) у прямій їх нескінченно багато - будь-яка точка прямої є її центром симетрії.

Прикладом фігури, що не має центру симетрії, є трикутник.

Симетрія навколо нас

1. Трикутник АВС, у якого В=35є, при симетрії відносно точки переходить у трикутник А'В'С'. Чому дорівнює В'? А) 35є; Б) 70є; В) 140є; Г) 17,5є.

2. При симетрії відносно початку координат точка А(-2;4) переходить у точку А'(х';у'). Знайти координати точки А'. А) (4;-2); Б) (-2;-4); В) (2;-4); Г) (2;4).

3. Трикутник MNК, у якого МК=11см, К=60є, при симетрії відносно точки переходить у трикутник М'N'K'. Чому дорівнюють сторона М'K' та K'? А) 11см; 60є; Б) 22см; 60є; В) 60см; 22є; Г) 22см; 120є.

4. Вказати фігури, для яких точка О є центром симетрії.

5. Вказати правильні твердження: А) перетворення симетрії відносно точки не є рухом; Б) при симетрії відносно точки відрізок переходить у довільний відрізок; В) при симетрії відносно точки зберігаються кути між півпрямими; Г) при симетрії відносно точки не зберігається відстань між точками.

6. При симетрії відносно деякої точки відрізок АВ завдовжки 8см переходить у відрізок А'В'. Чому дорівнює довжина відрізка А'В' ? А) 8см; Б) 16см; В) 24см; Г) 4см.

Х X’ А а Нехай а — фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр XA на пряму а . На продовженні цього перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок AX’ = AX . Точка X’ називається симетричною точці X відносно прямої а.

Якщо точка X лежить на прямій а, то вона симетрична сама собі відносно прямої а. Очевидно, що точка, симетрична точці X', є точка X. Перетворення фігури F у фігуру F', при якому кожна точка X фігури F переходить у точку X', симетричну відносно даної прямої а, називається перетворенням симетрії відносно прямої а.

Фігури F і G називаються симетричними відносно прямої а. Якщо перетворення симетрії відносно прямої а переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямої а.

На рисунках наведені приклади осей симетрії фігур.

Теорема. Перетворення симетрії відносно прямої є переміщенням.

Доведення. Х X’ Y Y’ А В k Симетрія відносно прямої k переводить точки Х → X’, Y → Y’. Розглянемо загальний випадок, коли точки Х,Y не лежать на прямій, перпендикулярній до k.

3. Доведемо, що ХY = X'Y'. 4. k ∩ XX'=А, k ∩ YY' =В. 5. ∆АВХ = ∆АВХ', як прямокутні з рівними катетами. Х X’ Y Y’ А В k

Х X’ А В k Y Y’ 6. ВХ = ВХ’ і АВХ= АВХ’. 7. ∆ХYВ = ∆Х’Y’В (за двома сторонами і кутом між ними) 8. ∆ХYВ = ∆Х’Y’В, тоді ХY=Х’Y’.

Наслідок. Симетрія відносно прямої має всі властивості переміщення.

Вісь симетрії часто використовують в архітектурі:

У природі:

У техніці:

У побуті:

1. Вказати правильні твердження: А) симетрія відносно прямої не є переміщенням; Б) при симетрія відносно прямої кут переходить у довільний кут; В) при симетрії відносно прямої пряма переходить у відрізок; Г) перетворення симетрії відносно прямої зберігає відстані між точками.

2. При симетрії відносно осі у точка А(3;1) переходить у точку В. Знайти координати точки В. А) (-3;-1); Б) (-3; 1); В) (1; 3); Г) (3;-1).

3. Вказати фігури, для яких пряма d є віссю симетрії:

А) 18см; 80є; Б) 18см; 240є; В) 2см; 240є; Г) 6см; 80є. 4. Трикутник АВС, у якого АС = 6см, В=80є, при симетрії відносно прямої переходить у трикутник А'В'С'. Чому дорівнюють сторона А'С' та В'?

А) Б) В) Г) 5. Вказати фігури, для яких пряма d є віссю симетрії.

А) 140є; Б) 70є; В) 35є; Г) 20є. 6.Трикутник MNК, у якого М=70є, при симетрії відносно прямої переходить у трикутник М'N'K'. Чому дорівнює М'?

Найвище призначення математики полягає в тому, щоб знаходити прихований порядок в хаосі, що оточує нас … Н. Вінер