Презентація. Тема "Тригонометричні рівняння".

Презентація 10-11 кл. 2016

Основні тригонометричні функції та їх графіки. y=sin x -1 1

y = cos x 1 -1

y = tg x

y = ctg x 0

Розглянемо функцію y=arcsin x !Arccos a, arctg a, arcctg a – аналогічно. Для будь-якого а на проміжку [-π/2;π/2] існує єдиний корінь b рівняння sin x=a. Число b називають арксинусом а позначають arcsin a. y 0 x a b arcsin a sin x

!Формули і значення: Деякі значення тригонометричних функцій (таблиця). Деякі значення обернених тригонометричних функцій. Формули зведення (таблиця). Основні тригонометричні тотожності. Формули додавання і віднімання. Формули подвійного аргументу. Формули половинного аргументу. Формули перетворення суми і різниці в добуток. Формули перетворення добутку в суму і різницю. Розв'язки найпростіших тригонометричних функцій.  Корисні поради:

Деякі значення тригонометричних функцій: Аргумент Функція π/6 π/3 π/4 0 π/2 π 3π/2 2π 0 sin  0 1 0 -1 0 cos  1 0 -1 0 1 tg 1 0 - 0 - 0 ctg 1 - 0 - 0 -

Деякі значення обернених тригонометричних функцій: arcsin 0 = 0 arcsin = π/3 arcsin = π/4 arcsin  = π/6 arcsin 1 = π/2 arctg 0 = 0 arctg = π/3 arctg = π/6 arctg 1 = π/4 arccos 1 = 0 arccos  = π/3 arccos =π/4 arccos =π/6 arccos 0 = π/2 arcctg = π/6 arcctg 0 = π/2 arcctg = π/3 arcctg 1 = π/4

Формули зведення(таблиця): π+x π-x 2π+x 2π-x π/2+x π/2-x 3π/2+x 3π/2-x sin -sin x sin x sin x -sin x cos x cos x -cos x -cos x cos -cos x -cos x cos x cos x -sin x sin x sin x -sin x tg tg x -tg x tg x -tg x -ctg x ctg x -ctg x -ctg x ctg ctg x -ctg x ctg x -ctg x -tg x tg x -tg x tg x

Основні тригонометричні тотожності:

Формули додавання і віднімання:

Формули подвійного (потрійного) аргументу: sin 3x = 3 sin x – 4 sinіx; cos 3x = 4 cosіx – 3 cos x; tg 3x =

Формули половинного кута:

Формули перетворення суми та різниці в добуток:

Формули перетворення добутку у суму або різницю: sin x sin y = (cos(x-y) – cos(x+y)) sin x cos y = (sin(x-y) + sin(x+y)) cos x cos y = (cos(x-y) + cos(x+y)) !sin mx sin nx= (cos(m-n)-cos(m+n)x)

Корисні поради: sin(-x) = - sin x; cos(-x) = cos x; (оскільки функція cos x парна) tg(-x) = -tg x; ctg(-x) = -ctg x. arcsin (-x) = - arcsin x; arctg (-x) = - arctg x; arccos (-x) = π – arccos x; arcctg (-x) = π – arcctg x; cos x + sin y = cos(45°-x); cos x – sin y = sin(45°-x);

Розв'язки найпростіших тригонометричних функцій: cos x = a  x = ± arccos a + 2πn ; n єZ sin x = a  x = arcsin a +πn ; n єZ tg x = a  x = arctg a + πn; n єZ ctg x = a  x = arcctg a + πn; n єZ -1 0 1 sin x x=-π+2πn x = πn x=π+2πn cos x x=π+2πn x = π+πn x =2πn nєZ

Методи розв'язування тригонометричних рівнянь Рівняння, що зводяться до найпростіших або квадратних. Рівняння, що розв'язуються методом розкладання на множники. Однорідні рівняння. Рівняння на використання формул додавання. Рівняння, що розв'язуються введенням допоміжного кута.

Рівняння, що зводяться до найпростіших або квадратних Розв'язати рівняння 5 cosІx – sin x + 1 =0. Розв'язання: 5(1-sinІx) – sin x + 1 = 0; 5 – 5 sinІx – sin x + 1 = 0; 5 sinІx +sin x – 6 = 0; Позначимо sin x = t, одержимо квадратне рівняння: 5tІ + t – 6 =0, коренями якого є: t =1; t = -1. Звідси: 1) sin x=1; x=π+2πn; nєZ 2) sin x=-1 – розв'язків немає. Відповідь: π+2πn; n є Z

Рівняння, що розв'язуються методом розкладання на множники: Розв'язати рівняння cosІx + cos 2x = sinІ2x. Розв'язання: ( cosІ2x - sinІ2x ) + cos 2x = 0; cos 4x + cos 2x = 0; 2 cos 3x cos x = 0; Звідси: 1) cos 3x = 0; 3x = π +kπ; kєZ 2) cos x = 0; x = π +nπ; nєZ x1 = π +πk; kєZ, x2 = π+πn; nєZ. Розв'язки x1 міститься в x2 . Відповідь: π+πk; kєZ

Однорідні рівняння: Розв'язати рівняння cosІ3x + sin 6x – 3 sinІ3x = 0. Розв'язання: Перейдемо до однорідного рівняння відносно sin 3x, cos 3x: cosІ3x + 2 sin 3x cos 3x - sinІ3x = 0. Поділивши обидві частини на cosІ3x, отримаємо квадратне рівняння відносно tg 3x: 3 tgІ3x – 2 tg 3x – 1 = 0. Звідки: 1) tg 3x = 1; x1 = π+πn; nєZ 2) tg 3x = -; x2 = - arcctg +πk; kєZ Відповідь: x1=π+πn; nєZ; x2= - arcctg +πk; kєZ

Рівняння на використання формул додавання: Розв'язати рівняння sin x cos 2x – sin 3x = 0. Розв'язання: sin x cos 2x – sin (x + 2x) = 0; sin x cos 2x – sin x cos 2x – cos x sin 2x = 0; cos x sin 2x = 0. Звідси: 1) cos x = 0; x1=π + πk; k є Z 2) sin 2x = 0; 2x = πk; x2 = πn; n є Z Розв'язки x2 містяться в розв'язках x1  x = πn; n є Z Відповідь: πn; n є Z

Рівняння, що розв'язуються введенням допоміжного кута Розв'язати рівняння sin 3x – cos 3x = 1. Розв'язання: Відповідь:

Перевір себе! Вправи для перевірки. Тести

Вправи для самоперевірки: 1 – cos 6x = sin 3x; 4 cos2x + sin x = 1; 3 – cos2x – 3 sin x = 0; 3 sin x = 2 cos 2x; sin 3x + sin x = sin 2x; cos23x – cos 2x = sin23x; cos 2x – cos 4x = sin 6x; sin x – sin 3x + cos 2x=0; 2 sin 2x + sin 2x = 0; cos2x + cos x sin x = 0; cos 2x = ( cos x + sin x )2; cos x cos 2x – cos 3x = 0; сos x cos  x+sin x sin  x = -; сos 2x + sin 2x = 1; сos 3x - sin 3x =; Якщо ви хочете повернутися до методів розв'язувань, натисніть сюди

Ви обрали тестовий спосіб перевірки своїх знань по даній темі. Щоб розпочати роботу натисніть сюди… тести

Я сподіваюсь, що моя презентація допомогла вам у вивченні теми тригонометричні рівняння. А якщо у Вас виникнуть запитання, то ви зможете знову звернутись до цієї презентації за допомогою. Дякую за увагу!

Решетилівський ліцей імені І.Л.Олійника. АВТОР: Мовчан Тамара Василівна учитель математики 2019р.