!Формули і значення: Деякі значення тригонометричних функцій (таблиця). Деякі значення обернених тригонометричних функцій. Формули зведення (таблиця). Основні тригонометричні тотожності. Формули додавання і віднімання. Формули подвійного аргументу. Формули половинного аргументу. Формули перетворення суми і різниці в добуток. Формули перетворення добутку в суму і різницю. Розв'язки найпростіших тригонометричних функцій. Корисні поради:
Деякі значення обернених тригонометричних функцій: arcsin 0 = 0 arcsin = π/3 arcsin = π/4 arcsin = π/6 arcsin 1 = π/2 arctg 0 = 0 arctg = π/3 arctg = π/6 arctg 1 = π/4 arccos 1 = 0 arccos = π/3 arccos =π/4 arccos =π/6 arccos 0 = π/2 arcctg = π/6 arcctg 0 = π/2 arcctg = π/3 arcctg 1 = π/4
Формули зведення(таблиця): π+x π-x 2π+x 2π-x π/2+x π/2-x 3π/2+x 3π/2-x sin -sin x sin x sin x -sin x cos x cos x -cos x -cos x cos -cos x -cos x cos x cos x -sin x sin x sin x -sin x tg tg x -tg x tg x -tg x -ctg x ctg x -ctg x -ctg x ctg ctg x -ctg x ctg x -ctg x -tg x tg x -tg x tg x
Рівняння, що зводяться до найпростіших або квадратних Розв'язати рівняння 5 cosІx – sin x + 1 =0. Розв'язання: 5(1-sinІx) – sin x + 1 = 0; 5 – 5 sinІx – sin x + 1 = 0; 5 sinІx +sin x – 6 = 0; Позначимо sin x = t, одержимо квадратне рівняння: 5tІ + t – 6 =0, коренями якого є: t =1; t = -1. Звідси: 1) sin x=1; x=π+2πn; nєZ 2) sin x=-1 – розв'язків немає. Відповідь: π+2πn; n є Z
Рівняння, що розв'язуються методом розкладання на множники: Розв'язати рівняння cosІx + cos 2x = sinІ2x. Розв'язання: ( cosІ2x - sinІ2x ) + cos 2x = 0; cos 4x + cos 2x = 0; 2 cos 3x cos x = 0; Звідси: 1) cos 3x = 0; 3x = π +kπ; kєZ 2) cos x = 0; x = π +nπ; nєZ x1 = π +πk; kєZ, x2 = π+πn; nєZ. Розв'язки x1 міститься в x2 . Відповідь: π+πk; kєZ
Однорідні рівняння: Розв'язати рівняння cosІ3x + sin 6x – 3 sinІ3x = 0. Розв'язання: Перейдемо до однорідного рівняння відносно sin 3x, cos 3x: cosІ3x + 2 sin 3x cos 3x - sinІ3x = 0. Поділивши обидві частини на cosІ3x, отримаємо квадратне рівняння відносно tg 3x: 3 tgІ3x – 2 tg 3x – 1 = 0. Звідки: 1) tg 3x = 1; x1 = π+πn; nєZ 2) tg 3x = -; x2 = - arcctg +πk; kєZ Відповідь: x1=π+πn; nєZ; x2= - arcctg +πk; kєZ
Рівняння на використання формул додавання: Розв'язати рівняння sin x cos 2x – sin 3x = 0. Розв'язання: sin x cos 2x – sin (x + 2x) = 0; sin x cos 2x – sin x cos 2x – cos x sin 2x = 0; cos x sin 2x = 0. Звідси: 1) cos x = 0; x1=π + πk; k є Z 2) sin 2x = 0; 2x = πk; x2 = πn; n є Z Розв'язки x2 містяться в розв'язках x1 x = πn; n є Z Відповідь: πn; n є Z
Вправи для самоперевірки: 1 – cos 6x = sin 3x; 4 cos2x + sin x = 1; 3 – cos2x – 3 sin x = 0; 3 sin x = 2 cos 2x; sin 3x + sin x = sin 2x; cos23x – cos 2x = sin23x; cos 2x – cos 4x = sin 6x; sin x – sin 3x + cos 2x=0; 2 sin 2x + sin 2x = 0; cos2x + cos x sin x = 0; cos 2x = ( cos x + sin x )2; cos x cos 2x – cos 3x = 0; сos x cos x+sin x sin x = -; сos 2x + sin 2x = 1; сos 3x - sin 3x =; Якщо ви хочете повернутися до методів розв'язувань, натисніть сюди