Презентація " Вектори. Скалярний добуток векторів"

Множення вектора на число. Геометрія, 9 клас. Дмитрохіна В.І. Учитель математики Маріупольської гімназії № 2

Мета уроку: Розглянути множення вектора на число і його властивості Встановити, як виконується множення вектора на число, чому дорівнює величина такого вектора, як пов’язані між собою відповідні координати колінеарних векторів. Повторити початкові відомості про вектори - координати, модуль вектора, рівність векторів, колінеарні вектори. Формувати вміння застосовувати набуті знання до розв’язання задач

Дайте відповіді на питання з теми «Вектори»Бліц-опитування

Бліц-опитування. Яка з наведених величин є векторною? а) маса; б) об’єм; в) довжина; г) швидкість.2) Дайте означення вектору:а) Вектор – це відрізок,б) Вектор – це направлений відрізок,в) Вектор – це число,г) Вектор – це напрямок.3) Чому дорівнюють координати вектора АВ, якщо А ( 0; -3), В ( -4; 4) ?а) (-4; 7), б) ( 4; - 7), в) ( - 4; -7), г) ( 4; 7)4) Модулем вектора називають його:а) напрямок; б) число; в) довжину; г) вагу  5) Довжина вектора а ( -3; -4) дорівнює: а) 7; б) 1; в) 25; г) 56) Рівними називають вектори, які мають:а) рівні довжини; б) однаковий напрям;в) однакову назву, г) лежать на одній прямій7) Колінеарними називають вектори, які:а) мають однакову довжину; б) лежать в одній площині; в) лежать на паралельних прямих;г) лежать на одній прямій.8) Різниця векторів 𝒂  ( 4; -1) і 𝒃 ( -5; -2) дорівнює вектору 𝒅 з координатами:а) (-1; -3) ; б) ( -9; -3); в) ( -1; -3); г) ( 9; 1) 

Множення вектора на число. Нехай дано ненульовий вектор а . Складемо цей вектор два рази. Отримаємо вектор АВ = 2 а , тоді |АВ| = 2 |а|Добутком ненульового вектора а і числа k, відмінного від нуля, називають такий вектор 𝒃 , що:1) |𝒃| = |k||а |;2) якщо k > 0, то 𝒃 ↑↑ а ; якщо k < 0 , 𝒃 ↑↓ а . тоді 𝒃 = k а . Якщо а =0 або k = 0, то k а = 𝟎 . Якщо 𝒃 = k а, то вектори а і 𝒃 колінеарні. 

Множення вектора на число. Теорема. Якщо вектор а має координати ( а𝟏; а𝟐), то вектор 𝒃 = k 𝒂 має координати (kа𝟏; kа𝟐). Наслідок 1. Вектори 𝒂 ( а𝟏; а𝟐) і 𝒃 (kа𝟏; kа𝟐) колінеарні. Наслідок 2. Якщо вектори 𝒂 ( а𝟏; а𝟐) і 𝒃 (kа𝟏; kа𝟐) колінеарні, причому а ≠ 0, то існує таке число k, що 𝒃𝟏= kа𝟏 і 𝒃𝟐 = kа𝟐.  Властивості множення. Для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів а і 𝒃 виконуються рівності:1) ( km) 𝒂 = k ( m 𝒂 ) – сполучна властивість;2) ( k + m) 𝒂 = k 𝒂 + m 𝒂 - перша розподільна властивість;3) k ( 𝒂 + 𝒃 ) = k 𝒂 + k 𝒃 - друга розподільна властивість 

Розв’язання задач № 15.14 У паралелограмі АВСD діагоналі перетинаються в точці О, АВ = а, А𝑫 = 𝒃 . Виразіть вектор АО через вектори а і 𝒃 . Розв’язання: В С J А DЗа властивістю паралелограма маємо: АО = 12 АС. АВ + А𝐷 = АС , тоді АО = 12 АС = 12 ( а + 𝑏 )Віповідь: 𝟏𝟐 ( а + 𝒃 )  № 15.19 Дано вектор а ( - 4; 2). Знайти координати та модулі векторів 3 а ; - 𝟏𝟐 а і 𝟑𝟐 а . Розв’язання:3 а ( 3 (- 4) ; 3 ∙ 2) = 3 а ( - 12; 6) | 3 а | = −𝟏𝟐𝟐+𝟔𝟐 = 𝟏𝟒𝟒+𝟑𝟔  = 𝟏𝟖𝟎 = 6𝟓 ;2) - 𝟏𝟐 а ( 2; - 1); | - 𝟏𝟐 а| = 𝟐𝟐+(−𝟏)² = 𝟓 ;3) 𝟑𝟐 а ( -6; 3) ; |𝟑𝟐 а| = −𝟔𝟐+𝟑² = 𝟑𝟔+𝟗 = = 𝟒𝟓 = 3 𝟓 Відповідь: 1) 6𝟓 ; 2) 𝟓 ; 3) 3 𝟓  O

Розв’язання задач № 15.28 Доведіть, що вектори вектори АВ і С𝑫 колінеарні, якщо А ( 1; 1), В ( 3; -2), С ( -1; 3), D ( 5; -6). Доведення: АВ ( 3 -1; -2 -1) = АВ ( 2; -3)С𝑫 ( 5 – (-1); -6 – 3) = 𝑪𝑫 (6; -9)Знайдемо відношеня а𝟏𝒃𝟏 і 𝒂𝟐𝒃𝟐 . Маємо : а𝟏𝒃𝟏=𝟐𝟔 = 𝟏𝟑 ; 𝒂𝟐𝒃𝟐 = −𝟑−𝟗 = 𝟏𝟑 ; Отже, а𝟏𝒃𝟏 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝟏𝟑 , відповідні координати векторів пропорційні, тоді АВ = 𝟏𝟑 С𝑫 , що означає – вектори колінеарні. Доведено.   № 15.34 Знайти координати вектора 𝒎, протилежно напрямленого вектору 𝒏 ( 5; -12), якщо |𝒎|= 39. Розв’язання:𝒎 = k 𝒏 , де k < 0 , (вектори протилежно напрямлені), тоді 𝒎 ( 5k; - 12k ) і |𝒎| = 𝟓𝒌𝟐+( −𝟏𝟐𝒌)² == 𝟐𝟓𝒌𝟐+𝟏𝟒𝟒𝒌² = 𝟏𝟔𝟗𝒌² = 13 |k| = -13k, тоді|𝒎| = -13k. Маємо рівняння: -13k = 39 k = 39 : ( -13) k = -3 Відповідь: 𝒎 (-15; 36) 

№ 15.31 Знайдіть, значення х, при яких вектори а ( 1; х ) і 𝒃 ( х𝟒 ; 4 ) колінеарні. Розв’язання: У колінеарних векторів координати пропорційні, тому маємо рівняння: 1 : х𝟒 = х : 4  х𝟐𝟒 = 4 х𝟐 = 16 х𝟏 = 4 ; х𝟐 = - 4 Отже, при х = 4 або х = – 4 , вектори а і 𝒃 колінеарні. Відповідь: -4 ; 4 № 15.31 Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках. А ( -1; 2), В ( 3; 5), С ( 14; 6), D ( 2; -3) є трапецією.  Доведення: Знайдемо координати векторів, які лежать на сторонах трапеції за формулою а ( х𝟐 - х𝟏; у𝟐 - у𝟏)Маємо: АВ ( 3 – ( -1); 5 -2) = АВ ( 4 ; 3), ВС ( 14 – 3; 6 – 5) = ВС ( 11; 1), С𝑫 ( 2 – 14 ; - 3 – 6) = С𝑫 ( -12 ; - 9) , А𝑫 ( 2 – (- 1) ; - 3 – 2) = А𝑫 ( 3 ; - 5) . Отже, координати векторів АВ ( 4 ; 3) і С𝑫 ( -12 ; - 9) пропорційні. Маємо: АВ𝑪𝑫 = 𝟒−𝟏𝟐 = 𝟑−𝟗 = - 𝟏𝟑. Ці вектори – колінеарні і лежать на паралельних прямих. Вектори ВС ( 11; 1) і А𝑫 ( 3 ; - 5) - не колінеарні, тому не лежать на паралельних прямих. Отже, чотирикутник з вершинами в точках А, В, С і D є трапецією. Доведено.  

Домашнє завдання. П. 15 Геометрія, 9 клас авт. А. Г. Мерзля. Вивчити означення , відповідати на питання, с. 133 ( усно) Письмово: № 15.15, 15.23, 15.35