Презентація за темою "Роль та застосування індукції в математиці"

Роль та застосування індукції в математиціВиконала: вчитель математики Білюк К. А.

Метод математичної iндукцiї можна порiвняти з прогресом. Ми починаємо з нижчого, а в результатi логiчного мислення приходимо до вищого. В основi всякого математичного дослiдження лежать дедуктивний та iндуктивний методи. Дедуктивний метод мiркувань – це мiркування вiд загального випадку до окремого, а iндуктивний – це мiркування вiд окремого випадку до загального.

Індукція (від лат. inductio– наведення) – це метод наукового пізнання, який полягає в дослідженні руху знань від одиничного до загального; вид опосередкованого умовиводу, в якому з одиничних суджень виводять загальне судження – висновок. Індукція – це вид узагальнення, який зв’язаний з передбаченням результатів спостереження і експериментів на основі даних досліду. Це одна з форм мислення, що дозволяє сформулювати деяке загальне твердження (гіпотезу), на основі певних властивостей окремих предметів даної множини.

Знання про ознаки окремих предметів дає можливість передбачити наявність таких же або ж схожих ознак у всіх предметів данного класу, особливо якщо виділена ознака є суттєвою. В процесі виведення від часткового до загального відбувається стрибок від набутого раніше знання до нового, від відомого – до невідомого. В цьому і полягає пізнавальна функція індукції, завдяки якій вона і є методом отримання нових знань.

Індукція називається повною, якщо спостереження, на основі яких було отримано висновок, охоплювали всі явища, на які цей закон розповсюджується. Неповна індукція. Повна індукція. Якщо ж сформульований закон розповсюджується і на явища, які не досліджувалися, то індукція називається неповною.

Видатний математик П’єр Ферма серед багатьох сформульованих теорем наводить наступну: Число вигляду 22𝑛+1 для довільного цілого невід’ємного n є простим числом. Ці числа називають “числами Ферма” і позначають 𝐹𝑛. Можна безпосередньо переконатись, що перші три числа Ферма 𝐹0=3,  𝐹1=5,  𝐹2=17 є простими, а простоту для числа  𝐹4=65537  перевірити за таблицею простих чисел, яка складена для всіх простих чисел до 12000000.  

Проте петербурзький академік Леонард Ейлер знайшов, що  𝐹5=4 294 967 297 – це складене число. Слід зазначити, що скільки б багато чисел ми б не перевірили, завжди залишається можливість, що серед решти є таке число, для якого дана рівність не буде виконуватися. Тобто, метод неповної індукції дає ймовірні, але не обов’язкові висновки, які можуть виявитись помилковими. 

Наприклад, обчислюючи суми послідовних непарних чисел:1,  1+3,  1+3+5,  1+3+5+7  одержимо числа 1, 4, 9, 16, які є, відповідно, квадратами послідовних натуральних чисел 1, 2, 3, 4. Отже, можна висловити гіпотезу, що для довільного натурального числа 𝑛 справджується така рівність: 1+3+5+…+2𝑛−1=𝑛2 Але завжди при неповній індукції залишається можливість зробити неправильний висновок.  

Розглянемо цей приклад про обчислення суми n перших непарних чисел детальніше. Iз попереднiх мiркувань видно, що формулу S(n) = 𝑛2   не можна вважати доведеною. Щоб впевнитися у правильностi формули для всiх n треба довести, що ми не зможемо перейти вiд значень n, для яких формула ще справедлива, до значень n, для яких вона вже не є вiрною. Отже, припустимо, що для деякого числа n, наша формула справедлива, i будемо намагатися довести, що тодi вона справедлива i для наступного числа n+1. Таким чином, ми припускаємо, щообчислимо S (n + 1) = 1 + 3 +5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)  S (n) = 1+3+5+…+2𝑛−1=𝑛2 

В силу зробленого припущення, сума n перших доданкiв у правiй частинi останньої рiвностi дорівнює 𝑛2, отже, S (n + 1) = 𝑛2 + (2n + 1) = (n + 1)2 Отже, припустивши, що формула S(n) = 𝑛2 виконується для деякого натурального числа n, ми змогли довести її правильнiсть i для наступного числа n + 1. Але вище ми перевiрили, що ця формула правильна для n = 1, 2, 3, 4, 5. Отже, вона буде правильна i для числа n = 6, яке наступне пiсля 5, а тодi правильна i для n = 7, i для n = 8, i для n = 9 тощо. Тепер наша формула може рахуватися доведеною для будь-якого числа доданкiв. Цей метод доведення називається методом математичної iндукцiї. 

Принцип методу математичної індукції:

Очевидно, що i перша частина мiркування не менш необхiдна: оскiльки доведення того, що якщо якесь припущення виконується для деякого числа n, то воно виконується i для числа n + 1, само по собi нiчого не дає, оскiльки може трапитися, що це припущення не виконується для жодного цiлого значення n. Наприклад, якщо припустити, що деяке число n рiвне наступному за ним, тобто n = n + 1, то, додавши до обох частин по одиницi, ми одержимо, що n + 1 = n + 2, тобто i число n + 1 рiвне наступному за ним. Звiдси зовсiм не випливає, що твердження виконується для всiх n – воно не виконується для жодного цiлого числа.

При застосуванні методу математичної iндукцiї не обов’язково потрiбно дотримуватися наведеної схеми. Інодi варто зробити наступне припущення: твердження виконується, для двох послiдовних чисел n − 1 i n, i доводимо, що в такому випадку воно виконується i для числа n + 1. В цьому випадку у якостi першого кроку мiркувань необхiдно перевiрити, що припущення виконується для двох перших значень n, наприклад, для n = 1 i n = 2, а в якостi другого кроку мiркувань доводять справедливiсть припущення для деякого значення n, припускаючи його правильнiсть для всiх натуральних k, менших n.

Застосування методу математичної індукції при доведенні тотожностей

Застосування методу математичної індукції при доведенні нерівностей

Застосування методу математичної індукції при розв'язуванні задач на подільність

Застосування методу математичної індукції в геометрії

«Розуміння і вміння застосовуватипринцип математичної індукції єдобрим критерієм зрілості, якацілковито необхідна математику» А. М. Колмогоров

Дякую за увагу!