«ПРОПОРЦІЯ» – СУЧАСНА ГАРМОНІЯ В НАВКОЛИШНЬОМУ СВІТІ

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Департамент з питань освіти, науки, сім’ї та молоді

Львівської облдержадміністрації

Відділ освіти Сокальської районної державної адміністрації Львівської області

 сокальська мала академія наук учнівської молоді

 

 

                                                                               Відділення: математика

                                                                                     Секція: прикладна математика

 

 

«ПРОПОРЦІЯ» – СУЧАСНА ГАРМОНІЯ  В НАВКОЛИШНЬОМУ СВІТІ

 

 

 

Роботу виконав: Кровіцький Роман Олегович, учень 10 класу   Сокальської спеціалізованої школи l-lll ст. №3       Науковий керівник: Вець Богуслава Теодозіївна, вчитель математики Сокальської спеціалізованої школи l-lll ст. №3

 

 

 

Сокаль-2018

 

 

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………….3

РОЗДІЛ І. ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ З МАТЕМАТИЧНОЇ ТОЧКИ ЗОРУ………………………………………………………………………………….5

РОЗДІЛ ІІ. ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ ПОНЯТТЯ ПРОПОРЦІЇ………...…………………………………………………………….….9

РОЗДІЛ ІІІ. ПРИНЦИП ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ – ВИЩИЙ ПРОЯВ СТРУКТУРНОЇ І ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ДОСКОНАЛОСТІ ЦІЛОГО І ЙОГО ЧАСТИНИ:

3.1 Золота пропорція в образотворчому мистецтві………………………………12

3.2. Золотий переріз в архітектурі…………………………………………………16

3.3. Золоте відношення у музиці…………………………………………………..20

3.4. Золоті пропорції у літературі…………………………………………………22

3.5 Магічний зміст «золотого перерізу»…………………………………………..24

3.6 Золотий поділ у живій природі………………………………………………..26

3.7 Приклади золотого відношення у людини……………………………………30

РОЗДІЛ IV. ГАРМОНІЯ ПРОПОРЦІЇ  І СУЧАСНІ УЯВЛЕННЯ ПРО КРАСУ………………………………………………………………………………32

ВИСНОВКИ…………………………………………………………………….…..34

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………….…….35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

 

«У геометрії є два скарби: перший – теорема Піфагора, другий – золотий поділ. Перший можна порівняти з мірою золота, другий – із коштовним каменем».                                                                                                                                   Кеплер

Існує нерозривний зв'язок між математикою і мистецтвом. Для математики, як і для мистецтва, характерні краса і гармонія. Переконатися у цьому дає можливість ознайомлення з таким поняттям, як «золота пропорція».

Під час створення творів мистецтва, митці користувалися різними пропорціями. Але із багатьох пропорцій, котрими з давніх-давен користувавалася людина, існує одна, єдина й неповторна, що має унікальні корисні властивості. Цю пропорцію називали по-різному: «золотою», «божественною», «золотим перерізом», «золотим числом».

Якщо симетричність в архітектурі надає будівлям величність, але вона «холодна», «нерухома», то «золота пропорція» надає будівлям грацію, неповторну індивідуальність, особливу гармонію – «рухливу» і «одухотворенну».

Краса науки полягає у відкритті нових істин, у виявленні стрункого ладу там, де ще недавно панував хаос. Математика в усі часи була і є “першою красунею” серед наук. Саме математика вносить красу в будь-яку науку. Як наука неможлива без творчості, так і творчість неможлива без краси. “Всюди, де число, там і краса”, — казали ще давні греки. Мистецькі ідеали пропорційності і гармонійності — це водночас і математичні ідеали.

Безсумнівно, можна стверджувати, що справжній математик завжди є і художником, і архітектором, і поетом. За допомогою свого інтелекту математики створили свій світ, світ уявний, який вони розвивають у всіх можливих напрямках, у який вірять, який допомагає їм чітко, ясно, глибоко й усебічно зрозуміти гармонію природи.

Математика, у певному розумінні, — родичка поезії. Це поезія думки, “поезія логіки ідей”, як говорив А. Ейнштейн, математичні закони не тільки виявляють особливості об'єктивного світу, а й відображають “справжню глибоку красу природи”. Як мистецтво дарує людині красу чуттєвого, так математика дарує людині красу розумового. Не випадково так багато математиків були ревними шанувальниками мистецтва, а багато митців виражали своє захоплення стрункістю та красою математичної думки. Недарма в математичній літературі зустрічаємо вислови ”красива побудова”, “стрункий виклад”, “чарівна, дивовижна теорема”, “нема нічого кращого, гарнішого”, “золота формула”, “витончена теорія”, “елегантний підхід” та інші.

Актуальність вибору теми обумовлена необхідністю естетичного розвитку, і навіть необхідністю показати нерозривний зв'язок математики і мистецтва, адже не дарма кажуть, що математика живе в мистецтві…

Практична цінність роботи полягає в тому, що цей матеріал можна використовувати студентами, школярами, педагогами, як на уроках, так і для всестороннього розвитку. Сучасна людина повинна бути озброєна такими знаннями і орієнтуватися в мистецтві.

Метою моєї роботи є узагальнення і систематизація знань про «золоту пропорцію», дослідження і застосування «золотого перерізу», його гармонії з навколишнім середовищем.

Мистецтву властиво прагнення стрункості, домірності, гармонії. Виявляється це у пропорціях архітектури та скульптури, розташування предметів і постатей, поєднанні барв у живописі, у чергуванні рим і мірності ритму в поезії, в послідовності музичних звуків. Одна із пропорцій, яка найчастіше трапляється в мистецтві є саме - «золота пропорція».

«Золота пропорція» – поняття математичне, її вивчення – це передусім завдання науки. Але вона ж є критерієм гармонії та краси, але це вже категорії мистецтва. У своїй роботі я розглянула лише ті сфері мистецтва, у яких свідомо чи інтуїтивно застосовувалася «золота пропорція»: скульптору, архітектору, поезію, живопис, музику, фотографію. Але золота пропорція визначає і закономірності розвитку багатьох організмів, вона присутня – відзначають ґрунтознавці, хіміки, геологи, астрономи та інші вчені.

Закон золотого перерізу, що існує в природі й колись втілений у творах мистецтва, продовжує хвилювати учених, спонукати їх до нових досліджень.

Людина розрізняє навколишні предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину – вищий прояв структурної і функціональної  досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотого перетину. Леонардо да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брав параметри людського тіла, створеного за законом золотої пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними. 

Робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Робота над чотирма розділами привела мене до розкриття мети науково-дослідницької роботи.

 

 

РОЗДІЛ І. ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЇ З МАТЕМАТИЧНОЇ ТОЧКИ ЗОРУ

 

Означення. Відношенням називається таке число, що показує, у скільки разів одна величина більша за другу.

Числа, які складають відношення, називаються членами відношення.

Пропорція — це рівність двох відношень. Також слово “пропорція” має такі значення, як співвідношення частин цілого між собою; кількісне співвідношення між складовими частинами чого-небудь; розмірність частин тіла людини; у літературі, архітектурі та мистецтві — розмірне співвідношення частин твору; один із основних засобів композиції.

Означення. Золотий переріз — це такий пропорційний поділ відрізка на дві нерівні частини, при якому весь відрізок відноситься до більшої частини так, як більша частина відноситься до меншої.

Рис. 1.1

Тобто c : b = b : a (Рис. 1.1)

Якщо взяти відрізок одиничної довжини (с = 1), позначити одну з частин за х (b = x), то інша дорівнюватиме 1 — х (а = 1 — х). Маємо рівняння:

Після зведення до спільного знаменника маємо: + х — 1 = 0.

Звідси,  ,

відкинувши від'ємний результат, отримаємо х ≈0,618 . Але частіше беруть відношення всього відрізка до x, тобто .

Саме число = 1,618 називають числом золотого перерізу і позначають грецькою літерою (фі).

При поділі відрізка у золотому відношенні .

 

Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямій у золотої пропорції за допомогою циркуля і лінійки.

                                                                                  Рис. 1. 2

Розподіл відрізка прямій по золотому перетину. BC = AB; CD = BC.

З точки В підіймали перпендикуляр, дорівнює половині АВ. Отримана крапка З’єднується лінією із крапкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, що закінчується крапкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому крапка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Поділ відрізка у золотому співвідношенні за допомогою циркуля та лінійки описано вже у знаменитих “Началах” Евкліда.

Спочатку побудуємо перпендикуляр ВС = АВ. Потім проводимо АС— гіпотенузу трикутника АВС. Далі будуємо два кола — одне з центром у точці С і радіусом ВС, а друге з центром А і радіусом АN, де N — точка перетину першого кола з АС. Точка М, у якій друге коло перетинає АВ, ділить його у відношенні . Тобто АМ : МВ =.

(Рис. 1.3).

Рис. 1.3

Число золотого перерізу тісно пов'язане з послідовністю Фібоначчі,

відношення сусідніх чисел якої використовують для представлення приблизного значення числа у вигляді дробу натуральних чисел.

Золотий переріз має прояви і в геометрії. Прямокутник, відношення сторін якого a:b = = 1,618, називають “золотим”. Якщо відділити від нього квадрат ABEF, сторона якого збігається з меншою стороною прямокутника, отримаємо знову “золотий” прямокутник ECDF (Рис. 1.4).

Рис. 1.4

Якщо провести діагональ цього прямокутника, то вона перетнеться з відрізком EF у точці О, яка обидва ці відрізки ділить “золотим поділом”    (Рис. 1.4), тобто FO : OE =, AO : OC=. Справді, трикутник AFO подібний трикутнику CEO (за двома кутами) (Рис.1.5).

Рис. 1.5

Оскільки ВЕ : ЕС = (за умовою), ВE=AF як сторони квадрата, то         AF : EC= , тобто коефіцієнт подібності цих трикутників дорівнює , звідки FO:OE = , AO : OC = .

Якщо від прямокутника ECDF відітнути квадрат і повторити це кілька разів, то весь час будуть утворюватися квадрати й “золоті” прямокутники.

Рівнобедрений трикутник АВС з кутом при вершині у 36o називається “золотим”, бо відношення бічної сторони до основи АВ : АС = (Рис. 1.6).

     Рис. 1.6

Цікаво, що кут А дорівнює куту C і дорівнює , тому, якщо провести бісектрису кута А, то вона відітне подібні трикутники CAD i ABC. Трикутник CAD — “золотий”. При цьому трикутник AВD — рівнобедрений, AD= BD, тому точка D ділить бічну сторону у "золотому" відношенні:

BD:DC= . (Рис. 1.7).

   Рис. 1.7

Якщо продовжити процес побудови нових бісектрис і нових рівнобедрених трикутників, отримаємо естетичне задоволення від відчуття краси й гармонії відрізків, що з'являються.

Золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник — це такий многогранник, всі грані якого рівні та є правильними многокутниками. Ще у “Началах” Евкліда доведено, що існує тільки 5 видів правильних многогранників, або платонових тіл: тетраедр (правильна трикутна піраміда (a)), гексаедр (куб (c)), октаедр (правильний восьмигранник (b)), додекаедр (правильний дванадцятигранник (d)), ікосаедр (правильний двадцятигранник(e)) (Рис. 1.8). 

Рис. 1.8

 

Геометрія додекаедра і ікосаедра тісно пов'язана із золотою пропорцією. Якщо взяти ребро довжиною 1 і знайти їхню зовнішню площу та об'єм, то вони легко виражаються через золоту пропорцію (табл. 1).

 

Многогранник	Додекаедр	Ікосаедр
Зовнішня площа	5
Об’єм

Табл. 1

 Навколо многогранників можна описати три види сфер: перша (внутрішня) дотикається до граней, з радіусом, друга (або середня) дотикається до ребер, з радіусом . Третя сфера (зовнішня), описана навколо тіла і дотикається до вершин, з радіусом . Доведено: радіуси

цих сфер для многогранників із ребром одиничної довжини виражаються

через число золотого перерізу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ ІІ. ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ ПОНЯТТЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

 

З поняттям про переріз відрізка у крайньому і середньому відношеннях були обізнані, мабуть, ще піфагорійці, які вміли будувати правильний опуклий п'ятикутник і пентаграму. Вчення про золотий переріз виникло у результаті ретельного вивчення природи чисел. Поділ відрізка у крайньому та середньому відношеннях був уперше здійснений великим філософом і геометром Піфагором 2500 років тому. Перші письмові свідчення про золотий переріз наводяться у “Началах” Евкліда (3 ст. до н.е.). Але існують і факти, що свідчать про те, що про золоту пропорцію знали і задовго до Піфагора. Уперше задачу про золотий переріз сформулював Евклід у “Началах” (ІІ книга). Інші книги “Начал” містять задачі про поділ відрізка у крайньому і середньому відношеннях, у тому числі задачі про побудову правильного опуклого п'ятикутника, правильних додекаедра та ікосаедра.

В 1202 році вийшов у світ твір “Liber abacсi” італійського математика Леонардо Пізанського, більше відомого як Фібоначчі. В книзі було подано розв'язання задачі про розмноження пари кроликів протягом року. Як результат, одержано цікавий ряд чисел —

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 і т.ін.,

де кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх. Ця послідовність отримала назву ряду чисел Фібоначчі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      Леонардо Фібоначчі                         Пам’ятник Фібоначчі в м.Піза

 

 

На початку епохи Відродження у зв'язку з потребами архітектури зріс інтерес до золотого перерізу. У 1509 р. вихованець славетного в той час Болонського університету, францисканський чернець-математик Лука Пачолі, під впливом свого друга і вченого Леонардо да Вінчі (14524-1519) видає книгу під заголовком “Про божественну пропорцію” .

Лука Пачолі

 

У цій книзі, ілюстрованій Л. да Вінчі, Пачолі розглядає властивості відомої ще з часів Евкліда пропорції поділу відрізка у крайньому і середньому відношеннях (саме Леонардо назвав її відношенням

“золотого перерізу”). Особливу увагу Пачолі приділив правильному додекаедру — тілу, тісно пов'язаному із золотим перерізом.

Ентузіастом золотого перерізу був і Йоганн Кеплер (1571-1630), який пов'язував золотий переріз із будовою Сонячної системи.

Йоганн Кеплер                                       Густав Фехнер

Перші роботи, присвячені проявам золотого перерізу у багатьох явищах і закономірностях біологічних об'єктів, з'явились у кінці XVIII — на

початку XIX ст. Серед них помітно виділяються праці А. Цейзінга.

Цейзінг розглядав золотий переріз як основний морфологічний закон у

природі та мистецтві. Він показав, що цей закон проявляється в пропорціях тіла людини і тілах красивих тварин. Густавом Фехнером був встановлений зв'язок між психофізичним сприйняттям людини і “золотими” формами предметів.     Т. Кук приділяє багато уваги вивченню ролі логарифмічної спіралі у рослинних і тваринних об'єктах. Він встановив, що феномен росту у біологічних об'єктах пов'язаний зі спіралями золотого перерізу. Про значення золотого перерізу у природі та мистецтві пишуть Г. Тимерінг, М. Гіка та Г.Д. Грім, які наводять численні приклади проявів золотого перерізу в явищах природи і різних

прикладних мистецтвах.

В біології. Справжній “вибух” досліджень із цієї теми припав на останні 20-15 років XX ст. У ці роки з'явилися ґрунтовні праці, де золота пропорція та її закономірності використані як своєрідний методологічний принцип, що лежить в основі аналізу самоорганізуючих природних і технічних систем, їх структурної гармонії.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ ІІІ. ПРИНЦИП ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ —ВИЩИЙ ПРОЯВ СТРУКТУРНОЇ І ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ДОСКОНАЛОСТІ ЦІЛОГО І ЙОГО ЧАСТИН

 

3.1 Золота пропорція в образотворчому мистецтві

На знаменитій картині І.І. Шишкіна “Сосновий бір”, очевидно, проявляються мотиви золотого перерізу.

Яскраво освічена сосна, яка стоїть на передньому плані, ділить довжину картини у золотому відношенні. Праворуч від сосни — освічений сонцем пагорб. Він ділить у золотому відношенні праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни розміщено багато сосен. За бажанням можна успішно продовжити і надалі поділ картини по золотому перетину. Наявність у картині яскравих вертикалей і горизонталей, які ділять її у відношенні золотого перерізу, надають їй характеру врівноваженості та спокою, згідно із задумом художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює картину з бурхливим розвитком події, то подібна геометрична схема з (переважанням горизонталей та вертикалей) стає неприпустимою.

Багатофігурна композиція, виконана Рафаелем в 1509-1510 рр., коли знаменитий живописець створював свої фрески у Ватикані, відрізняється динамікою та трагізмом сюжету. Рафаель так і не завершив свій задум, але на основі його ескізу маловідомий італійський гравер Маркантоніо Раймонді створив гравюру “Побиття немовлят”.

 

                Маркантоніо Раймонді “Побиття немовлят”

 

На попередньому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, які йдуть від смислового центру композиції — точки, де пальці воїна тримають дитину,— вздовж фігур дитини, жінки, яка його тримає, воїна з занесеним мечем, а потім вздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу. Якщо природним способом з'єднати ці частини кривої пунктиром, то з точністю виходить золота спіраль. Це можна довести, якщо виміряти відношення відрізків, які відкладаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої. Ми не знаємо, чи малював насправді Рафаель золоту спіраль при створенні композиції “Побиття немовлят”, чи просто “відчував її”. Але впевнено можна стверджувати, що гравер Раймонді цю спіраль побачив. Про це свідчать додані ним нові елементи композиції, які підкреслюють розгортання спіралі в тих місцях, де на ескізі її позначено лише пунктиром. Ці елементи можна побачити на остаточній гравюрі Раймонді: арка моста, що іде від голови жінки, — в лівій частині композиції та тіло дитини — в її центрі. У композиції “Побиття немовлят” чудово поєднуються динамізм та гармонія, цьому сприяє вибір золотої спіралі за композиційну основу малюнка Рафаеля: динамізму йому надає вихровий характер спіралі, а гармонійності — вибір золотого перерізу, як пропорції, яка визначає розгортання спіралі.

Висновок: якщо зображення симетричне, центр картини і композиції збігається, то картина сприймається статично, зображення виглядає урочисто, однак позбавлене руху. Якщо ж композиційний центр картини і композиції не збігаються, картина сприймається у динаміці. Художники, помітивши цей факт, стали широко його використовувати, однак постало запитання, куди потрібно зрушити центр композиції, щоб досягти ефекту руху? Це місце на картині і є лінією золотого перерізу. Таке використання золотого перерізу іноді здійснюється інтуїтивно і зумовлено близькістю цього поняття до законів гармонії, що існують у природі. Приклади використання цього правила можна знайти в роботах Ботічеллі “Народження Венери”, Веласкеса “Мадонна з немовлям”, Леонардо да Вінчі “Таємна вечеря” і “Джоконда”, О. Іванова “З'явлення Христа народу”, І. Крамського “Незнайомка” та інших художників.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Леонардо да Вінчі. «Джоконда»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Леонардо да Вінчі «Таємна вечеря»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ботічеллі «Народження Венери»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2. Золотий переріз в архітектурі

У 1840 р. одне із чудес світу, Велика піраміда Хеопса біля Гізи, ще не мала пошкоджень. У цьому році встановили, що переріз піраміди, який проходить через її висоту, паралельно сторонам основи, — рівнобедрений трикутник, складений з двох прямокутних трикутників, сторони кожного з яких утворюють геометричну прогресію. Висота піраміди в той час становила    148,2 м (нині вона становить приблизно 137 м), а сторона квадратної основи — 232,8 м. Отже, відношення висоти піраміди до половини основи:                    . Цей дивовижний збіг, звісно, не дає підстав вважати, що такої форми зодчий надав їй свідомо.

У стародавніх країнах у будівлях громадського призначення широко використовували пропорцію золотого перерізу (Парфенон в Афінах, Колізей в Римі). Пропорцію золотого перерізу зустрічаємо у творах зодчих Ренесансу: Мікеланджело, Палладіо, Д. Браманте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Афіна Парфенос

 

 

 

Парфенон в Афінах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Колізей в Римі

Піраміда Хеопса

 

Венера Мілоська

Відношення між відстанню від голови до стоп і від пупа до стоп дорівнює золотому числу фі (1,618).

Собор "Нотр-Дам де Парі"

 

Львівський оперний театр

Відношення довжини білого відрізка до довжини блакитного у Львівського Оперного таке ж, як і у вищенаведених прикладах.

3.3. Золоте відношення у музиці

Може здатися неймовірним, що золоте відношення має певне застосування у музиці, але це так. Ще Піфагор і його учні, які досліджували гармонію, помітили, що висота звуку при даному натягу струни залежить від її довжини. Якщо вкоротити струну вдвічі, то дістанемо звук на октаву вищий. Відношення довжини струн, що дають різні звуки гами, до довжини струни, яка має основний тон, також утворені невеликими цілими числами. У таблиці 2 подано відношення довжин струн, звуки яких становлять деякі музичні інтервали у межах однієї (темперованої) гами.

Призма	1:1=1,00000
Секунда	8:9=0,88888
Мала терція	5:6=0,83333
Велика терція	4:5=0,80000
Кварта	3:4=0,75000
Квінта	2:3=0,66666
Мала секста	5:8=0,62500
Велика секста	3:5=0,60000
Септима	8:15=0,53333
Октава	1:2=0,50000

   Табл.2

 Знайдемо довжину струни х, що утворює обернене до золотого відношення з довжиною струни l, довжину якої матимемо за тоніку. Матимемо:

Звідки дістанемо: х = 0,61803 l , = 0,61803 = . Зіставляючи це відношення з відношеннями Табл 1,впевнюємося, що найближчими до нього будуть значення 0,625 і 0,600, які відповідають малій і великій секстам. Обидві сексти належать до найприємніших для слуху інтервалів. Вони відповідають більшій частині поділеної у золотому відношенні з надлишком і недостачею довжини струни основного тону.

В.А.Моцарт. Соната №10

Славетні італійські майстри смичкових інструментів Н.Аматі (1596-

1684) і А.Страдіварі (1644-1737) свідомо застосовували пропорцію золотого перерізу, надаючи своїм виробам привабливого зовнішнього вигляду. Ми не маємо відомостей про те, як впливає застосування золотого перерізу при зовнішньому оформленні скрипки на якість звуку, але безперечним є те, що це не зашкодило смичковим інструментам, створеними знаменитими італійськими майстрами, стати і лишатися найкращими до нашого часу.

У класичних музичних здобутках також можна знайти золотий переріз. Але для розташування точки золотого перерізу потрібно пам'ятати, що музика — мистецтво, яке перебуває в часі, а не у просторі. Тому твори, в яких потрібно знайти цю точку, необхідно поділяти на чотири рівні часові відрізки. Точка золотого перерізу, що у цьому

випадку краще не обчислюється, а відчувається, збігається в класичних і народних творах з кульмінацією.

Ще у 1925 році мистецтвознавець Л.Л. Сабанєєв, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, знайшов 3275 золотих перерізів і показав, що більшість видатних творів можна легко розділити на частини або за темою, або за інтонаційним ладом, які перебувають між собою у відношенні золотого перерізу. Крім того, чим талановитіший композитор, тим у більшій кількості його творів було знайдено золоті перерізи. У Аренського — у 95%, Бетховена — 97%, Гайдна— 97%, Моцарта — 91%, Скрябіна —90%, Шопена —92%, Шуберта —91% від усіх творів. На думку Сабанєєва, золотий переріз призводить до враження особливої стрункості музичного твору. Цей результат Сабанєєв перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він знайшов у них 178 золотих перерізів. При цьому виявилося, що не тільки великі частини, але й менші всередині етюдів діляться у золотому відношенні і симетричні. У Бетховена твори також діляться на дві симетричні частини, всередині якої спостерігаються прояви золотої пропорції.

Композитор і вчений М.А. Марутаєв підрахував кількість тактів у знаменитій сонаті “Апасіоната” і знайшов ряд цікавих числових відношень. У розробці — центральній структурній одиниці сонати, де інтенсивно розвиваються теми і змінюються тональності, — два основні розділи. У першому 43,25 тактів, а у другому — 26,75. Відношення між ними 43,25 : 26,75 = 1,617 дає золотий переріз.

У Сонаті №10 Моцарта всього 73 такти. Перша її частина складається з 284ми тактів, друга — з 45, отже, відношення між частинами — 1,62.

Висновок: золотий поділ є критерієм гармонії композиції музичного

твору.

 

 

 

 

 

3.4. Золоті пропорції у літературі

Багато чого у структурі поетичних творів робить цей вид мистецтва схожим із музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування наголошених і ненаголошених складів, впорядкована розмірність віршів, їхня емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш має свою музичну форму — свій ритм і мелодію. Можна очікувати, що в структурі віршів з'являться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, а відповідно і золота пропорція.

Почати хоча б з величини віршів, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б, цей параметр поетичного твору може змінюватися довільно. Але виявилося, що це не так.

Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні до музичних творів: у них також існують кульмінаційні пункти, які ділять вірш у пропорції золотого перерізу.

Ще в 1986 році у статті Естетичне значення віршового ритму, аналізуючи

збірку «Зів’яле листя» Івана Франка,  Е. Розєнова зауважила «пропорційну узгодженість крупних шматків» поезій: «В Перемишлі, де Сян пливе зелений…», «Чому не смієшся ніколи?..», «Чорте, демоне розлуки…», «І він явивсь мені…» та «Душа безсмертна! Жить віковічно їй!..», де „золотий поділ” з постійним коефіцієнтом ≈ 0,62 припадає на рядки, в яких виявляється «або

переломний момент у змісті твору, або основний ідейний акцент».

Цікаву спробу виявити золотий перетин здійснив Дмитро Теряєв, який провів експериментально-фонетичне дослідження віршів І. Франка. Він переконливо довів, що інтервали і акценти періодів у цьому творі відповідають рядам чисел Фібоначчі, а розповсюдження звукової енергії, співвідношення акустичних ознак ритму і золотого перетину програмуються актуалізацією змісту.

У поетичному всесвіті І. Франка поруч з іншими художніми проявами світової гармонії існує явище божественної пропорції як універсальний закон художньої форми, що підтверджує підсвідоме, інтуїтивне розмежування поетичного тексту на два нерівномірні відрізки з кульмінаційним переломом ліричного настрою, переживання автора чи виразною фіксацією основної думки, ідеї, провідного мотиву тощо.

В одній із найкращих філософських поезій І. Франка – вірші «Човен»,

написаній у формі діалогу, «божественна пропорція» (20 : 12) дивовижно

розмежовує мовні партії хвилі й човна, та й ще з характерним композиційним повтором:

Хвиля радісно плюскоче та леститься до човнa,

Мов дитя, цікава, шепче і розпитує вона:

«Хто ти, човне? Що ти, човне? Відки і куди пливеш?

І за чим туди шукаєш? Що пробув? Чого ще ждеш?»

І повзе ліниво човен, і воркоче, і бурчить:

«Відки взявся я – не знаю; чим прийдеться закінчить

Біг мій вічний – тож не знаю. Хвиля носить, буря рве,

Скали грозять, надять-просять к собі береги мене.

Хвилі – то життя, то гріб мій, пестощі і смерть моя;

Понад власним гробом вічно ховзаюсь тривожно я.

Поти лиш живу правдиво, поки гріб той підо мнов:

Вітер гонить, хвиля ломить – і я вже на дно пішов.

Що ж тут думать, що тужити, що питатися про ціль?

Нині жити, завтра гнити, нині страх, а завтра біль.

Кажуть, що природа-мати нас держить, як їм там тре,

А в кінці мене цілого знов для себе відбере.

Що ж тут думати? Тримає, то тримає, а візьме,

То візьме – ні в сім, ні в тому не питатиме мене.

Непогідний, несвобідний день мій, вік мій: жий чи гинь –

Все одно! Шукати цілі? Вік борись, плисти не кинь!»

Хвиля весело плюскоче та леститься до човнa,

Ніжна, мов дитина, шепче і пришіптує вона:

«Човне-брате, втіх шукати серед смерті, верх могил –

Се ж не горе! Глянь на море, кілько тут несесь вітрил!

Не один втонув тут човен, та не кождий же втонув;

Хоч би й дев’ять не вернуло, то десятий повернув

І дійшов же до пристані. Та ніде той не дійде,

Хто не має цілі. Човне, як пливеш, то знай же, де!

Таж не все бурхає море, тихеє бува частіш.

Таж і в бурю не всі човни гинуть – тим ся ти потіш!

А хто знає, може, в бурю іменно спасешся ти?

Може, іменно тобі ся вдасть до цілі доплисти!».

Таким чином, з впевненістю можна сказати, що золотий переріз відіграє у поезії значущу для змісту роль, виділяючи кульмінаційний пункт вірша.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5 Магічний зміст «золотого перерізу»

В давнину числам приписували магічний зміст. Приміром, одиниця вважалася символом єдності всього сущого, якимось абсолютом. Двійка відбивала подвійність світу: матерія - дух, чоловік - жінка, день - ніч... До містичних результатів призводило також застосування запозиченого в математики поняття пропорції (числове співвідношення між частинами одного цілого). І найзагадковіший, найбільш легендарний й найчарівніший серед них - золотий переріз, що вплинув також і на сучасне мислення. Суть його в тому, що більша частина відноситься до меншої, як все ціле - до більшої.

Найбільше чудових властивостей золотого перерізу зібрав у своєму ілюстрованому трактаті 1509 року італійський чернець Лука Паччолі. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції він назвав також її "божественну суть" як вираження триєдності Син (малий відрізок) - Батько (більший відрізок) - Бог- Святий дух (ціле).

Наприклад, Мефістофель не може вийти із кімнати Фауста тому, що на порозі намальовано правильний зірчастий п'ятикутник.

Й.В. Гете . “Фауст”

М е ф і с т о ф е л ь

Та так то так,

А звідси вийти як?

Завадою постане під ногами

Біля порога тайний знак.

Ф а у с т

А! Ти злякався пентаграми,

що має владу над чортами?

(Переклад М. Лукаша, К., 1955)

Пентаграму у вигляді печатки використовували деякі таємні товариства. У піфагорійців пентаграма була символом здоров'я і досконалості, розпізнавальним знаком для членів організації. У християнській символіці пентаграма означає Святу Трійцю та подвійну (божественну і людську) природу Христа. У Китаї пентаграма — символ п'яти стихій (У-Син). Слід зазначити, що в началах Евкліда виклад питань, пов'язаних із золотим перерізом, не містить жодних містичних домислів.

У чому ж привабливість зірки? У цій фігурі спостерігається дивна сталість відрізків, що її утворюють. Важко повірити, але (Рис. 1.9)

AD:AC=AC:CD=AB:BC=AD:AF=AF:FC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                        

                                                       Рис. 1.9

 

 

Використавши симетричність зірки, можна ще довго продовжувати ряд рівностей. Розглянемо першу рівність. Точка С поділяє відрізок AD на дві нерівні частини, і довжина більшої частини так відноситься до довжини меншої, як довжина всього відрізка до довжини більшої частини. Позначимо довжину відрізка АD через а, AC через b, оскільки

CD = a—b, то a : b = b : (a — b) або

Розділивши обидві частини на і позначивши шукане відношення a : b буквою , одержимо рівняння яке має один додатній

корінь = 1,6180339…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5 Золотий поділ у живій природі

Характерною рисою будови рослин та їх розвитку є спіральність.  Спірально закручуються вусики рослин, по спіралі відбувається зростання тканини в стовбурах дерев, по спіралі розташовані насіння в соняшнику, спіральні руху (нутації) спостерігаються при зростанні коренів і пагонів.  У багатьох інших випадках, розглянутих ботаніки, мова також йде, по суті, не про спіралі, а про гвинтовому розташуванні елементів структури; на жаль, терміни часто змішують.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіралі.

Рис. 1.10

Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Гвинтоподібне і спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактуси і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листів на гілці (філотаксіс), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривий життя».

Якщо побудувати прямокутник зі сторонами, співвідношення яких буде рівне пропорції «золотого перетину», і вписати в нього ще один «золотий прямокутник», в той — ще один, і так до нескінченності всередину і назовні, то за кутовими точками прямокутників можна провести спіраль. Цікаво те, що така спіраль співпадатиме зі зрізом раковини Наутилуса, а також іншими спіралями, які поширені в природі.

 

Скам'янілість Наутилуса

 
Мушля Наутилуса
 

Спірально закручується голівка капусти броколі та баранячий ріг… Та й у самому людському тілі, зрозуміло, здоровому та нормальному за пропорціями, зустрічаються співвідношення золотого перетину.

Спіральна галактика

 
Три тропічні циклони 

Закручена спіраллю ДНК людини

Павутиння павука-хрестовика
 

 

 

 

 

 

3.6 Приклади золотого відношення у людини

Вітрувіанська людина. Ілюстрація Леонардо да Вінчі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У будові рис обличчя людини також є безліч прикладів, що наближаються за значенням до формули золотого перерізу. Проте не кидайтеся відразу ж за лінійкою, щоб обміряти імені всіх людей. Тому що точні відповідності золотому перетину, на думку учених і людей мистецтва,художників і скульпторів, існують тільки у людей з досконалою красою. Власне точне наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського ока.

Наприклад, якщо ми підсумовуємо ширину двох передніх верхніх зубів і розділимо цю суму на висоту зубів, то, отримавши при цьому число золотого перерізу, можна стверджувати, що будова цих зубів ідеально.

Достатньо лише наблизити нині вашу долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перетину. Кожен палець нашої руки складається з трьох фаланг.

Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).

Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу. 

У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця).На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двухфалангових великих пальців тільки 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.

 

 

РОЗДІЛ IV. ГАРМОНІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ І СУЧАСНІ УЯВЛЕННЯ ПРО КРАСУ.

У XIX ст. великої слави набули психологічні досліди Густава Фехнера. Усім учасникам експерименту (228 чоловіків і 119 жінок) пропонувалось вибрати з4поміж запропонованих прямокутників найприйнятніший для їхнього сприйняття з естетичного погляду. Виявилося, що досить часто вибір падав на прямокутник із відношенням сторін . А чи не змінилися з того часу уявлення людей про красу?

У наш час золоті прямокутники трапляються досить часто: це і форма столів, конвертів, поштових марок, шкільних дошок, деяких аркушів паперу, форми книжок, кімнат, будівель.

П'ятикутна зірка — пентаграма — трапляється на прапорах і гербах багатьох країн, зокрема Китаю, США, Сінгапуру, В'єтнаму, Пакистану, Туреччини та Євросоюзу. У багатьох предметах побуту, таких як посуд, можна знайти золоті відношення. Альбрехт Дюрер навіть створив “золотий” шрифт, у якому букви побудовані згідно з золотими пропорціями.

Без перебільшення, принцип золотого перерізу є вищим проявом структурної і функціональної досконалості цілого і його частин.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пентаграма на прапорах Євросоюзу та різних країн

 

 

 

 

ВИСНОВКИ

Ідея про гармонійність світу і систем, пов'язана з відносинами протилежностей всередині об'єкта, не нова. Вона походить ще з  філософії Стародавньої Греції. "Бог, - учив великий філософ і геометр Піфагор, - це єдність, а світ складається з протилежностей. Те, що призводить протилежності до єдності і створює все в космосі, є гармонія. Гармонія є божественною і полягає в числових відносинах ..." У наші дні ідея гармонії систем набуває все більшого визнання. Об'єкти, які містять в собі «золотий перетин», сприймаються людьми як найбільш гармонійні.

Напевно, важко знайти надійну міру для об'єктивної оцінки самої краси, і однією логікою тут не обійдешся. Проте тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенсом життя, хто зробив це своєю професією. Це, перш за все, люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це і люди точних наук, - перш за все, математики.

Довіряючи окові більше, ніж іншим органам чуттів, людина в першу чергу навчилася розрізняти навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі. Цю думку поділяли і поділяють багато видатних сучасних вчених, доводячи в своїх дослідженнях, що справжня краса завжди функціональна. У їх числі і авіаконструктори і архітектори, і антропологи, і багато інших.

Газета, що ви її читаєте, монітор вашого комп'ютера, ваша кредитна картка, пелюстки квітки, листя дерева, будівля на вулиці, – все це визначається одним принципом, однією пропорцією, однією гармонійною величиною. Всесвіт немов зашифрував для нас у кожному куточку природи код, - унікальний й естетично гармонійний: Божественну пропорцію, золотий поділ. 

За видимим хаосом, що панує у Всесвіті, де кожна подія та величина, за логікою речей, йдуть за невизначеним сценарієм подій, однак, існує прихований порядок. Із часів Піфагора розгадку цієї послідовності, що інтригувала таку велику кількість математиків й учених різних галузей, ніколи так і не було повністю знайдено. Прихована причина існування цього коду, що немов панує над красою та гармонією, заворожувала вчених упродовж століть. Вона продовжує залишатися загадкою й досі. Золоте число є спільним кодом для всіх життєвих форм, – гармонійним тоном, у якому вібрує Всесвіт, – то невипадково, що ця Божественна пропорція здається нам гармонійною, оскільки ми зі Всесвіту з’явилися і йому належимо. 

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники «золотого перетину» в рослинному і в тваринному світі, не говорячи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду, як арифметичному виразу закону золотого розподілу.
«Золотий перетин» не є прояв асиметрії. Згідно сучасним уявленням, він – це асиметрична симетрія. 

 «Золотий перетин» – не середина, а пропорція – нескладне математичне співвідношення, що містить в собі «закон зірки і формулу квітки», малюнок на хітиновому покриві тварин, довжину гілок дерева, пропорції людського тіла. Бачиш гармонійну композицію, пропорційну статуру або будівлю, що радує око, – зміряй і прийдеш до однієї і тієї ж формули. Без «золотого перетину» неможливо зрозуміти такі поняття як краса, гармонія, симетрія тощо.

Під час вивчення і дослідження золотої пропорції я дійшла висновку, що математика допомагає створювати цілісне уявлення і переконує в нерозривній єдності «математики і гармонії». Працюючи, мені вдалося дослідити і систематизувати наявний матеріал про золоті пропорції, подивитися на навколишній світ гармонійно з математичної точки зору,  з точки зору «золотого, божественного» поділу.