Раціональні числа. Ірраціональні числа. Дійсні числа. Числові множини.

  ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКУ

Вчитель: Коваль Ольга Володимирівна

Клас:  8

Предмет:алгебра

Тема. Квадратні корені. Дійсні числа.

Урок № 37

Тема уроку. Раціональні числа. Ірраціональні числа. Дійсні числа. Числові множини.

Мета:   

v навчальна – систематизувати, узагальнити знання учнів щодо поняття числа та видів чисел, сформувати уявлення про множину дійсних чисел; сформувати вміння учнів відтворювати означення та властивості видів чисел, вивчених на уроці, виконувати найпростіші дії з дійсними числами (зокрема порівняння), використовувати вивчені властивості та означення для розв'язування задач на класифікацію чисел та доведення того факту, що дане число є числом певного виду, знаходити наближені значення квадратних коренів із чисел за чотиризначними математичними таблицями.

v розвиваюча – сприяти розвитку логічного мислення, уваги, пам'яті. Стимулювати вміння порівнювати набуті знання. Розвивати вміння аналізувати;

v виховна– виховувати пізнавальну зацікавленість до предмету, та привчати працювати творчо. Виховувати старанність, активність при вивченні нового матеріалу. Виховувати почуття людської гідності, порядності, вміння захоплюватися красою.

Обладнання:дошка, крейда, підручник «Алгебра 8  клас»,    план-конспект уроку.

Тип уроку: комбінований;

Хід уроку:

Етап 1. Організація класу.

Заходжу в клас вітаюся з учнями. Пропоную учням  сісти і підготувати все необхідне для уроку. Відмічаю відсутніх. 

Етап 2. Мотивація навчальної діяльності

Розгадайте ребус, який повідомить вам про тему сьогоднішнього уроку:

Епіграф  уроку:

       Число висвітлює глибину світобудови.  

Г. Лейбніц 

А щоб ви отримали гарну оцінку, потрібно щоб вас супроводжував успіх на уроці. Які асоціації у вас викликає слово «успіх»?  Давайте розкладемо його по літерах:

УВАЖНИМИ

САМОСТІЙНИМИ

ПРАЦЬОВИТИМИ

ІНІЦІАТИВНИМИ

ХАРАЗМАТИЧНИМИ

          Тож нехай на сьогоднішньому уроці ви досягнете успіху через удосконалення своїх знань, самостійну роботу, проявляючи інтерес на уроці і хоробрість біля дошки.

Сьогодні на уроці ви дізнаєтеся:

v що таке числова множина;

v які числа називаються раціональними; 

v які числа називаються ірраціональними; 

v які числа називаються дійсними; 

Етап 3. Актуалізація опорних знань

Перевірка домашнього завдання(взаємоперевірка):

Учні міняються зошитами з сусімами і під керівництвом вчителя перевіряють роботи. На екрані висвітлюється слайд з розвязками

№ 652

а) = 36 – 0,2 · 45 = 27 

б) = 0,4 · 35 + 16 = 30;

в) = 5,4 : 1,8 – 4 = - 1; 

г) = - 84 – 190 = - 274

№ 660

а) 22;           

б) –39;

в) 7; 

г) 0

         Опитування учнів(Інтерактивна вправа незакінчених речень):

1.      Квадратний корінь з числа а це …

2.      Різних квадратних коренів з числа а існує …

3.      Арифметичне значення квадратного кореня з числа а це …

4.      Арифметичних значень квадратних коренів з додатного числа а існує …

5.      Квадратний корінь з –16 дорівнює …

Етап 3. Формування знань

У математиці будь-яку сукупність називають одним словом –  множина. Сьогодні ми розглянемо множини різних чисел, та співвідношення між ними.

Натуральні числа – перші числа, з якими ви познайомилися в дитинстві, коли вчилися рахувати предмети. Усі натуральні числа утворюють множину натуральних чисел, яку позначають .

«Повідомлення учнів про виникнення натуральних чисел»

Поняття натурального числа, викликане потребою лічби предметів, виникло ще в доісторичні часи.Процес формування поняття натурального числа тривав протягом усієї історії людства. 

У першому столітті нашої ери давньогрецький математик Нікомаха в своєму математичному праці “Введення в математику” говорить про “природному ряді” чисел. У шостому столітті римський автор Боецій переклав цю арифметику на латинську мову і запустив у вжиток при цьому термін “натуральне число”. Пізніше д’Аламбер почав вживати поняття “натуральне число” в сучасному вигляді.

Усі натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль утворюють множину цілих чисел, яку позначають ℤ. 

«Повідомлення учнів про виникнення цілих чисел»

Від’ємні числа виникли  в Китаї в І ст. до н.е.. в зв’язку з потребою розв’язувати рівняння. В ті  давні часи знаків " +" і "- "не було, тому ці числа зображали червоним і чорним кольором.("чен"або "фу")

Додатними числами позначали майно, свої гроші, прибуток. Додатнім числам раділи і позначали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен», що означає червоний).

Від’ємні числа не любили, їх називали «фу», що перекладається, як чорний. Ними  позначали борг, збиток, недостачу і зображували їх чорним кольором. Такий спосіб позначення чисел Китайці використовували до середини  XIII ст., поки Лі Є не запровадив зручніше позначення від’ємних чисел — цифри, що зображали від’ємні числа, перекреслювали рискою навскіс справа наліво. 

З Китаю довго до Європи не надходили відомості і вчення про від'ємні числа, бо на той час Китай бав замкненою у собі країною. Тому ці знання не розповсюджувались довго за межі Китаю.

У Давній Греції дії з від’ємними числами увів Діофант у ІІІ ст. н.е. Їх широко використовували індійські математики у VI-VII ст. н.е., які розуміли додатні числа як майно, а від’ємні – як борг.

Індійський  математик Бхаскара (ХІІ ст.) склав правила дій для від’ємних і додатних чисел:

Назва «цілі числа» виникла на противагу числам, які позначають «нецілі» кількості, — дробам.

Відомі вам досі числа – цілі й дробові, додатні й від’ємні – становлять множину раціональних чисел. Раціональними їх називають тому, що кожне з них можна записати у вигляді частки, відношення двох цілих чисел, а слово «відношення» латинською мовою – ratio.

Спробуємо записати раціональні числа   у вигляді десяткових дробів. Для цього їх чисельники поділимо на знаменники. Отже, = 1,125, = 1,16666...,   

У двох останніх прикладах ділення можна продовжувати без кінця (чому?). Утворені частки – нескінченні десяткові дроби, цифри яких періодично повторюються. Це нескінченні періодичні десяткові дроби. Нескінченні періодичні десяткові дроби записують коротше:

0,363636... = (0,36); 1,166666... = 1,1(6). 

Цифру або групу цифр, які повторюються, називають періодом періодичного десяткового дробу.

Будь-який десятковий дріб і навіть ціле число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу, якщо дописати до його дробової частини безліч нулів: 1,125 = 1,125000... , 18 = 18,000... , -3,7 = 3,7000...

«Повідомлення учнів про виникнення раціональних чисел»

Поява аліквотних дробів дуже характерна для початкового розвитку поняття числа в стародавній цивілізації. Вона зумовлена процесом подрібнення цілого на частини. Цим можна пояснити виникнення аліквотних дробів виду 1/n при невеликих n (наприклад, n=2,3,4,6,8,10n), оскільки практично в той час навряд чи потрібно було ділити одиницю на велике число частин.

Інше (основне) джерело виникнення дробів — процес вимірювання, який з'явився майже одночасно з лічбою. В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, об'єм, вага і т. д.). Вибір тієї чи іншої одиниці, яка є основою системи мір, зумовлювався конкретною історичною обстановкою.  

Чи існують числа, відмінні від раціональних? Існують. Наприклад, обчислюючи значення ,дістають нескінченні неперіодичні десяткові дроби:

√2  =1,4142135..., √10=3,1622776..., 𝜋= 3,1415926...

Ці числа – нераціональні. 

Числа, які зображуються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називають ірраціональними. Ірраціональний – значить не раціональний (латинське іr відповідає заперечувальній частці не).

Ірраціональні числа разом з раціональними утворюють множину дійсних чисел. 

«Повідомлення учнів про виникнення ірраціональних чисел»

Піфагор (VI ст.. до н.е) та його учні довели: якщо довжина сторони квадрата дорівнює 1, то довжину його діагоналі не можна виразити жодним раціональним числом. Таким чином вони встановили існування відрізків, довжини яких виражаються не раціональними числами, проте раціональних чисел не запровадили.

Математики Індії та Стародавнього сходу користувалися ірраціональними числами, але вважали їх несправжніми, неправильними. Тільки коли Р.Декарт запропонував кожній точці координатної прямої вставити в відповідність число, ірраціональні числа довелося об’єднати з раціональними в одну спільну множину дійсних чисел.

Множини натуральних, цілих, раціональних, ірраціональних і дійсних чисел позначають          відповідно буквами N, Z, Q, І і R. Кожна з цих множин є підмножиною

(частиною) наступної множини 

Кожне натуральне число є водночас          і         цілим,         і раціональним, і дійсним.

Кожне ціле число є також раціональним   і         дійсним.

Наприклад, усі числа  12, – – дійсні, три перших – раціональні, два перших – цілі і тільки число 12 – натуральне.

Дійсні числа, записані у вигляді нескінченних десяткових дробів, порівнюють за тим самим правилом, що й десяткові дроби. Наприклад, число 3,131313... менше від 4,0111..., і від 3,25, і від 𝜋, але більше від 3,1222..., від - 2, від 0.

Дійсні числа можна додавати, віднімати, множити, підносити до степеня і ділити (на числа, відмінні від 0). Для додавання і множення їх справедливі переставний, сполучений і розподільний закони. 

Наприклад,

  . (3 + 𝜋) + √5=3 + (𝜋+ √5)

Усі правила дій над виразами зі змінними, доведені раніше для раціональних значень змінних, справедливі і для довільних дійсних значень цих змінних. Зокрема, для будь-яких дійсних чисел правильні відомі вам властивості пропорцій, дробів, степенів.

Розв’язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа звичайно округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» десяткових знаків

Етап 4. Розв’язування задач

Виконання усних вправ:

1. Які з чисел 35, - – раціональні, ірраціональні, дійсні?

Гра «Сигнал» Піднімаємо зелену карточку, якщо твердження істинне  і  червону, якщо твердження хибне. 2. Укажіть правильне твердження:

а) π — число дійсне; б) 2,222... — число раціональне;

в) 2,212211222111... — число раціональне; г) π : 2 π — число дійсне

3. Укажіть невірне твердження:

а) 10,5 ∈ ℕ;

б) 10,6 ∈ ℤ; 

в) 10,7 ∈ ℚ;

г) 10,8 ∈ ℝ;

д) √3 ∈ ℕ;

е) √4 ∈ ℤ;

                         ж) 12 ∈ ℚ;                                                                 и) √5 ∈ ℚ;

                          з) 13 ∈ ℝ;                                                                  _к) √6 ∈ ℝ;

Виконання письмових вправ:

Колективно: 675, 678, 680(а-в), 682(а,в), 683(а,в), 685(б,в);

Робота в малих групах: 676

Розв’язки та відповіді:

№ 675.  -3,5; 6;;

№ 676. а)49; 1; 3;   

б)   

г)   

№  

№ . № .

№ .

№ 6.

Математичний диктант

 «Розстав числа у таблицю»:  0,1;  -4;  π;  -2,5;  109;    0;     √11;   1,2(7);     2/3;    2018.   

(2 учні на дошці, інші в зошитах; самоперевірка) Стрільба по мішені

4 – множина ірраціональних  чисел;

3 – множина раціональних  чисел; 2 – множина цілих чисел;

1 – множина натуральних чисел.

Вчитель називає прізвище учня і ціль, а учень повинен назвати три числа, які є пострілами, і які повинні попасти по цілі -

множині.

Етап 5. Підведення підсумків уроку 

          Коментоване оцінювання учнів

            Давайте подивимося на скільки ви уважні, зараз ми покажемо, що 3 = 5   

Маємо очевидну рівність  25 - 15 - 10 = 15 - 9 - 6, звідки               

                                            5 (5 - 3 - 2) =3 (5 - 3 - 2), або                                                             5 = 3.

Етап 6. Постановка домашнього завдання

Вивчити:§15 с.142-144

Розв’язати:674, 681  с. 146-147