Раціональні рівняння. Розв'язування раціональних рівнянь

Тема. Раціональні рівняння. Розв'язування раціональних рівнянь

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту схем розв'язання дробо­во-раціональних рівнянь із використанням основної властивості про­порції та властивості рівносильних рівнянь; закріпити знання учнів щодо вивчених на попередньому уроці понять (раціональне рівняння, ціле рівняння, дробово-раціональне рівняння, ОДЗ рівняння та схеми розв'язання дробового рівняння виду = 0, де А і В — деякі многочлени від однієї змінної); сформувати вміння застосовувати вивчені схеми для розв'язування рівнянь відповідного виду, вдосконалити вміння викону­вати вивчені на попередніх уроках перетворення раціональних виразів.

Тип уроку: доповнення знань, удосконалення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Додавання та від­німання раціональних дробів».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Одним зі способів перевірки рівня засвоєння учнями знань та вмінь, запропонованих для вивчення на попередньому уроці, є математичний диктант.

Математичний диктант

1. Закінчіть речення:

Рівняння називають раціональним, якщо....

2. Закінчіть речення:

Рівняння називають цілим раціональним рівнянням, якщо...

3. Складіть та запишіть два дробово-раціональних рівняння різного виду
4. Розв'яжіть рівняння .

Якщо під час розв'язування вправ домашнього завдання учні мали значні труднощі, тоді доцільно провести перевірку домашнього за­вдання за зразком.

ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку

З метою усвідомлення учнями необхідності вивчення матеріалу, запропонованого на поточний урок, учитель може провести роботу, що передбачає розв'язування учнями завдань на виконання таких ро­зумових дій, як порівняння (знаходження спільного та відмінного), а також узагальнення та формулювання гіпотези.

Виконання усних вправ

1. Розгляньте рівняння:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

та порівняйте їх за різними критеріями (видом самого рівняння, ви­дом виразів, з яких складаються права та ліва частини рівнянь, тощо). Що в них спільного, відмінного? Яким способом розв'язу­ються перші два рівняння? Чи можна третє і четверте рівняння роз­в'язати таким способом? Що додатково слід врахувати, розв'язуючи останні два рівняння?

2. Розгляньте рівняння:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

та порівняйте їх за різними критеріями (видом самого рівняння, ви­дом виразів, з яких складаються права та ліва частини рівнянь, тощо). Що в них спільного, відмінного? Яким способом розв'язу­ються перші два рівняння? Чи можна третє і четверте рівняння роз­в'язати таким способом? Що додатково слід врахувати, розв'язуючи останні два рівняння?

Після проведеної роботи учні мають сформулювати питання (про­блему) — чи не можна дробово-раціональні рівняння, що мають вигляд пропорції або рівності раціональних виразів, розв'язувати подібними способами — до способів розв'язання цілих раціональних рівнянь від­повідного вигляду? Які додаткові дії при цьому обов'язково слід вико­нати? Пошук відповіді на поставлене запитання і становить основну дидактичну мету уроку, до якої додаються завдання: сформулювати ал­горитми розв'язання дробово-раціональних рівнянь із застосуванням основної властивості пропорції та властивості рівносильних рівнянь (якщо обидві частини рівняння помножити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному), а та­кож, закріпивши знання послідовності дій, передбачених цими алго­ритмами, сформувати вміння застосовувати ці алгоритми на практиці (для розв'язування відповідного виду рівнянь).

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу перед вивченням матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння учнів: тотожні перетворення цілих виразів; перетво­рення суми, різниці, добутку і частки двох раціональних дробів на раціональний дріб; знаходження спільного знаменника для даних кількох раціональних дробів; застосування основної властивості пропорції та властивості рівносильних рівнянь.

Виконання усних вправ

1. Виконайте дії:

; ; ; ; ; ;

; .

2. Знайдіть спільний знаменник для дробів:

і ; і ; і ; і .

3. Розв'яжіть рівняння: ; ; ; .

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Алгоритм розв'язання дробово-раціонального рівняння, що має вигляд пропорції (із прикладом).
2. Алгоритм розв'язання дробово-раціонального рівняння, що має вигляд рівності двох раціональних виразів (із прикладом).

 Розв'язування учнями завдань на етапі формулювання мети і завдань уроку підготувало учнів до свідомого сприйняття ними змісту навчального матеріалу уроку: схеми розв'язання дробово-раціональних рівнянь із застосуванням основної влас­тивості пропорції та із використанням властивості рівносиль­них рівнянь.

Перед вивченням першого питання плану слід розглянути питання про ОДЗ дробового рівняння виду : учні мають усвідомити, що в цьому випадку ОДЗ знаходимо з умови В ≠ 0, D ≠ 0. Тоді алгоритм роз­в'язання рівнянь типу можна записати у вигляді такої схеми дій:

1. Знайти ОДЗ рівняння (див. попередній урок).
2. Використати основну властивість пропорції: перейти до рівняння          AD = BC, розв'язати це рівняння.
3. Перевірити, які зі знайдених коренів задовольняють ОДЗ; ті, що не
   задовольняють ОДЗ, є сторонніми коренями; записати відповідь.

Після складання схеми дій необхідно проілюструвати її застосування під час розв'язування відповідного прикладу.

Під час вивчення питання про спосіб переходу від дробового рівняння, що має вигляд рівності двох раціональних виразів, до цілого рівняння, можна запропонувати учням перетворення, що ґрунтується на застосуванні властивості рівносильних рівнянь – у результаті мно­ження обох частин рівняння на вираз, що не дорівнює нулю, утворюється рівняння, рівносильне даному (такий спосіб розв'язання ці­лих рівнянь схожого вигляду учні вивчили в 7 класі). Так само, як і за перетворення цілих рівнянь, таким множником є спільний знаменник для всіх дробів, але спільний знаменник у випадку дробового рівняння є виразом зі змінними. Тому ОДЗ такого дробового рівняння знахо­димо з умови: спільний знаменник усіх дробів не дорівнює нулю.

Після цього формулюється загальна схема дій розв'язування дро­бових рівнянь:

• знайти спільний знаменник усіх раціональних дробів; знайти ОДЗ рівняння (див. вище);
• помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; роз­в'язати утворене ціле рівняння;
• виконати перевірку знайдених коренів цілого рівняння на відпо­відність їх до ОДЗ (див. п. 1), відсіяти можливі сторонні корені, запи­сати відповідь.

Підбиваючи підсумки вивченого матеріалу, слід зауважити, що ви­вчені схеми розв'язання дробових рівнянь відрізняються лише способом переходу до цілого рівняння, серед коренів якого можуть міститися ко­рені даного дробового рівняння; загальні положення розв'язання дробо­вих рівнянь є незмінними: перейшовши до цілого рівняння (яке є наслід­ком даного рівняння) та розв'язавши це ціле рівняння, обов'язково враховуємо ОДЗ даного дробового рівняння або перевіряємо, чи не пе­ретворюють корені цілого рівняння знаменник даного рівняння на нуль.

Слід зауважити, що оволодіти бажано всіма трьома видами пере­творень, бо існують види рівнянь, розв'язання одних з яких простіше зробити одним способом, ніж іншим (доречно було б це проілюструва­ти на прикладах).

VI. Засвоєння вмінь

Виконання усних вправ

1. При яких значеннях змінної а не мають змісту вирази:

; ; ?

2. Чи рівносильні рівняння:

а) та 3х = 2(х – 1); б) та х(х + 3) = (х – 1)(х + 1)?

Чому?

3. При якому значенні х значення дробів рівні:

і ; і ; і ; і ?

Виконання письмових вправ

Щоб реалізувати дидактичну мету, на цьому уроці слід розв'язати завдання такого змісту:

1. Розв'язування   дробово-раціональних   рівнянь   за   алгоритмами
   (складеними на уроках 20, 21).

1) Розв'яжіть рівняння:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

2. Складання та розв'язування (найбільш раціональним способом)
   дробово-раціональних рівняння за умовою задачі.

1) Відстань між містами А і В дорівнює 720 км. З міста А до міста В виїхав автомобіль і одночасно з ним вилетів літак. Автомобіль при­був до міста В на 10 год пізніше від літака. Знайдіть швидкість літа­ка та автомобіля, якщо швидкість літака в 6 разів більша від швидкості автомобіля.

2) До басейну підведено дві труби. Через першу трубу басейн можна наповнити водою удвічі швидше, ніж через другу. Якщо відкрити обидві труби одночасно, то басейн наповниться за 4 год. За який час можна наповнити басейн через кожну трубу окремо?

3. На повторення: перетворити раціональний вираз із використанням
   набутих раніше знань.

1) Спростіть вираз: а) ;

б) ; в) .

2) Доведіть тотожність: а) ;

б) .

4. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Який вираз пропущено?

5.* Розв'язування дробово-раціонального рівняння з параметром.

1) Розв'яжіть рівняння з параметром а: .

2) При яких значеннях а рівняння не має коренів?

3) При яких значеннях а рівняння має один корінь?

 Усні вправи сприяють закріпленню учнями схеми дій під час виконання перетворень відповідно до певного алгоритму і а формуванню первинних умінь виконувати дії відповідно до вивчених алгоритмів.

Під час розв'язування письмових вправ на уроці слід вимагати від учнів дотримування правил: перед розв'язуванням дробового рівняння визначити вид рівняння, а вже потім  вибрати  відповідний спосіб рівносильних перетворень рівняння; вибравши певний алгоритм пере­творень дробового рівняння, слід чітко слідувати тільки цьому алго­ритму, не «перескакувати» на інший; рівняння вважається розв'язаним тільки якщо виконана вся послідовність дій, передбачена алгоритмом.

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно розв'язане рівняння?

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити алгоритми розв'язання дробово-раціональних рівнянь різ­ного вигляду; скласти загальний алгоритм розв'язання дробово-раціональних рівнянь.
2. Розв'язати дробово-раціональні рівняння та вправи, що передбача­ють складання та розв'язування дробово-раціональних рівнянь.
3. Повторити вивчені схеми дій під час перетворення раціональних виразів; розв'язати вправи на застосування цих схем та вивче­них раніше способів перетворення окремого виду раціональних виразів.