Рівняння Лапласа і Пуассона

Рівняння Лапласа і Пуассона. Підготувала Бусел Софія. Студентка групи 2 СОФФакультету МФКН2022

П’єр Симон Лаплас Відомий французький астроном, фізик і математик П’єр Симон Лаплас народився 23 березня 1749 р. (помер 5 березня 1827 р.). Відмітимо, що в літературі вказується й інша дата народження вченого: 28 березня згідно з відомим літературно-біографічним словником Поггендорфа. На дату ж 23 березня вказують деякі інші джерела, зокрема «Астрономічна бібліографія» (1803 р.) французького астронома Лаланда (1732—1807).

Коротка біографія Лапласа Лаплас народився в невеликому містечку Бомон, розміщеному на березі річки Ож в Нижній Нормандії, в сім’ї корінного селянина. З 7 до 16 років він навчався в школі чернецького ордену бенедиктинців у Бомоні. Там хлопець опанував древні мови, зокрема латинську, а також вивчав математику, класичну літературу, теологію, змалку відзначаючись прекрасною пам’яттю і блискучими здібностями. Навчаючись в цій школі, Лаплас самостійно вивчав складніші праці з математики і механіки, які виходили за рамки програми. В цей період він ознайомився з працями Ньютона стосовно механіки і теорії всесвітнього тяжіння, яка тільки почала розповсюджуватися у Франції.

Коротка біографія Лапласа. Після закінчення школи Лаплас вступив до університету, де самостійно виконав свою першу серйозну наукову працю з математики. Тоді йому було 17 років. Декілька років Лаплас викладав математику у військовій школі в Бомоні. Проте здібного юнака вабив Париж. Тоді Паризька академія наук була на вершині свого розквіту, а найвпливовішою особою в Академії був Ж. Л. Д’Аламбер (1717—1783). Приїхавши 1766 р. до Парижа з рекомендаційними листами, Лаплас намагався зустрітися з ним. Жан Леро́н Д’Аламбе́р. Обізнаність Лапласа справила на Д’Аламбера сильне враження. Минуло декілька днів — і завдяки рекомендаціям відомого вченого 19-річний Лаплас став на посаду професора математики Королівської військової школи в Парижі. За цей час він написав цілу низку оригінальних досліджень з теорії ймовірностей, математики і небесної механіки.

1773 р. Лаплас був обраний до Паризької академії наук як ад’юнкт-механік (один з найнижчих вчених ступенів в Академії). Разом з цим він одержав офіційне визнання і можливість активно проводити наукову роботу.1776 р. Королівська військова школа була реорганізована, і Лапласа звільнили з посади професора, призначивши йому пенсію. 1785 р. він став повноправнимчленом Паризької академії наук.1795 р. в Парижі було створене Бюро довгот, а Лаплас став одним із його керівників. Того ж року у Франції був організований Національний інститут республіки, а 1796 р. вченого обрали головою фізико-математичного відділу цього закладу. 1799 р., після повернення Бонапарта до влади, Лапласа призначили міністром внутрішніх справ. Проте цю посаду він обіймав недовго і через півтора місяця був змушений вийти у відставку. Тоді ж Лаплас одержав титул графа. 1806 р. Лаплас купив будинок в Аркейлі поблизу Парижа, куди і переїхав з сім’єю. В перший рік царювання Людовика XVIII (1817 р.) Лаплас одержав титул маркіза і звання пера Франції.

Наукова діяльність Лапласа була надзвичайно різноманітною. Йому належать численні фундаментальні роботи з математики, експериментальній і математичній фізиці й небесній механіці. В області математики Лаплас створив роботи з теорії диференціальних рівнянь (рівняння Лапласа), зокрема по інтегруванню рівнянь із частками похідними (каскадний метод Лапласа). Лаплас розвив і систематизував результати, отримані Б. Паскалем, П. Ферма, Б. Бернуллі й іншими математиками в питаннях теорії ймовірностей, удосконалив методи доведення, довів важливу граничну теорему, що називається теоремою Лапласа-Муавра (А. Муавр) в 1730 висловив її тільки для окремих випадків), розвив теорію помилок, обґрунтував (1811), хоча й не строго, спосіб найменших квадратів. В 1799 запропонував спосіб мінімального наближення функцій, що потім був спрощений Ла Валле Пуссеном. Теорія ймовірностей у значній мірі сформувалася саме в роботах Лапласа. Він увів теореми додавання й множення ймовірностей, поняття виробляючих функцій, математичного очікування. Ще при житті вченого тричі видавалася його "Аналітична теорія ймовірностей" (1812).

Спільні дослідження Лапласа й Лавуазьє стосувалися теплопровідності, розширення тіл від нагрівання, горіння водню в кисні й т.д. Лаплас опублікував ряд робіт з теорії капілярності (1806); розвивав роботи И. Ньютона, які стосувалися математичного визначення швидкості звуку в повітрі, дав барометричну формулу для обчислення зміни щільності повітря зі зміною висоти над поверхнею Землі. Крім того, він займався питаннями електродинаміки, розробляв математичні проблеми теорії потенціалу, знайшов кульові функції від двох змінних.

Лаплас розвив методи небесної механіки й завершив пояснення руху тіл Сонячної системи на основі закону всесвітнього тяжіння Ньютона. В 1780 Лаплас запропонував новий спосіб обчислення орбіт небесних тіл. Довів, що кільце Сатурна не може бути суцільним і висловив пропозицію про сильний стиск Сатурна біля полюсів. Лаплас розробив теорію руху супутників Юпітера (1789), відкрив причини прискорення руху Місяця (1787), визначив величину стиску Землі біля полюсів. Лапласу належить також розробка динамічної теорії припливів. Результати досліджень в області небесної механіки підсумовані в класичному «Трактаті про небесну механіку» (1798-1825).

Рівняння Лапласа В математиці та фізиці, Рівняння Лапласа є другим порядком диференціальне рівняння з частинними похідними імені П’єр-Саймон Лаплас який вперше вивчив його властивості. Це часто пишеться як  𝛻2ʄ=0 або ∆ʄ=0, де  ∆=∇·∇=𝛻 2є Оператор Лапласа, ∇·розбіжність оператор (також символізується "div"), ∇ є градієнт оператор (також символізується "град"), і f (x, y, z) є подвійно диференційованою дійсною функцією. Тому оператор Лапласа відображає скалярну функцію в іншу скалярну функцію. Загальна теорія рішень рівняння Лапласа відома як теорія потенціалу. Рішеннями рівняння Лапласа є гармонічні функції, які є важливими в багатьох галузях фізики, зокрема електростатиці, гравітації та динаміка рідини. При дослідженні теплопровідність, рівняння Лапласа є стаціонарний стан рівняння теплоти. Загалом, рівняння Лапласа описує ситуації рівноваги або ті, які явно не залежать від часу. 

Рівняння Пуассона Якщо права частина вказана як задана функція, h (x, y, z), ми маємо ∆ʄ=ℎ. Це називається Рівняння Пуассона, узагальнення рівняння Лапласа. Рівняння Лапласа та рівняння Пуассона - найпростіші приклади еліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Рівняння Лапласа також є окремим випадком Рівняння Гельмгольца. Рівняння Пуассона є еліптичне диференціальне рівняння з частинними похідними широкої корисності в теоретична фізика. Наприклад, рішення рівняння Пуассона - це потенційне поле, спричинене даним розподілом електричного заряду або масової щільності; з відомим потенційним полем можна розрахувати електростатичне або гравітаційне (силове) поле. Це узагальнення Рівняння Лапласа, що також часто зустрічається у фізиці. Рівняння названо на честь французького математика та фізика Сімеон Денис Пуассон

Рівняння Пуассона дорівнює ∆= f,де ∆ є Оператор Лапласа, і f і  є справжній або складні-цінні функції на колектор. Зазвичай, f дається і  шукається. Коли колектор є Евклідовим просторем, оператор Лапласа часто позначають як ∇2. У тривимірних декартових координатах, рівняння приймає форму 

Сімеон Денис Пуассон. Сімеон Дені Пуассон ( фр. Siméon Denis Poisson ; 21 червня 1781 , Пітів'є , Франція -- 25 квітня 1840 , Со , Франція ) -- французький математик , механік і фізик . Член Паризької академії наук (1812) , іноземний член Лондонського королівського товариства (1818), іноземний почесний член Петербурзької академії наук (1826)Батько С. Д. Пуассона, солдат ганноверських військ, що дезертував унаслідок утисків офіцера, обіймав незначну адміністративну посаду в місті Пітив'є (у департаменті Луари). Тут 1781 р. і народився Симеон Дені Пуассон. Коли син досяг підліткового віку, батько сам став його навчати, припускаючи згодом направити його нотаріальною частиною. Однак, не бачачи, як йому здавалося, у сині здібностей до розумової праці, наважився віддати його у навчання цирульнику. Але молодому Пуассону один раз доручено було розкрити нарив на руці хворої дитини, а наступного ж дня пацієнт від цієї операції помер, що призвело до крайнього розпачу молодого Пуассона; він відмовився продовжувати вчення і повернувся до свого батька.

Тоді почалася вже революція, і батько Пуассона встиг отримати більш високе становище і обійняв одну з чільних посад в управлінні містом. Сталося так, що зошити журналу Політехнічної школи потрапили в руки молодого Пуассона, який став переглядати їх, вирішувати завдання, що знаходилися, і знаходити вірні рішення. Після цього батько помістив його в центральну школу, у Фонтенбло . Один з викладачів, відкривши в учні незвичайні здібності, став займатися з ним і потім підготував його до іспиту в Політехнічну школу , куди в 1798 17-річний Пуассон вступив першим за іспитом.

Через деякий час здібності Пуассона проявилися при наступному випадку. Одного разу П'єр Лаплас , питаючи учнів з небесної механіки, поставив одному з них пояснити вирішення якогось питання і на свій подив отримав відповідь, що представляв абсолютно нове і витончене рішення. Автором його виявився Пуассон. З того часу Лаплас, Жозеф Луї Лагранж та інші професори звернули увагу на молоду людину. Вже в 1800 році, коли Пуассон ще не було і 20 років, дві його статті: фр. "Mémoire sur l'élimination dans les équations algebriques" (що складало простий доказ теореми Безу) і "Mémoire sur la pluralité des integrales dans le calcul des différences", були поміщені в Recueil des Savants étrangers і доставили автору почесну популярність у вченому світі. У тому ж році, після закінчення курсу, він був залишений репетитором у школі, а в 1802 р. призначений ад'юнкт-професором, в 1806 р. професором на місце Фур'є .

У 1812 р. Пуассон отримав звання астронома в «бюро довгот», у 1816 р., на підставі Faculté des Sciences, призначений професором раціональної механіки. У 1820 р. був запрошений до членів ради університету, причому йому було доручено вище спостереження над викладанням математики у всіх колежах Франції. За Наполеона він зведений в барони, а за Луї-Філіпп був зроблений пером Франції. Розподіл Пуассона. Дужки ПуассонаІнтеграл Пуассона. Коефіцієнт Пуассона. Рівняння Пуассона (математична фізика)Рівняння Пуассона (термодинаміка)

Дякую за увагу!Про наукові дослідження Пуассона можна дізнатись за посиланням. Також більш детальніше про Лапласа можна дізнатись тут. Відеоматеріал про науковців