Робота МАН на тему "Дослідження методів розв'язування рівнянь"

Малокобелячківська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів

Новосанжарської районної ради Полтавської області

ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДІВ

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ

Роботу виконала:

Яременко Богдана,

учениця 11 класу

Малокобелячківської

загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів         Новосанжарської районної ради

Полтавської області

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………………..4

РОЗДІЛ 1. З ІСТОРІЇ ВИНИКНЕННЯ РІВНЯНЬ………………....................5

РОЗДІЛ 2. СПОСОБИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ………………………..7

1. Розв’язування рівнянь з використанням властивостей функції……………………………………………………………………..7
   1. Використання області визначення………………………7
   2. Використання множини значень……………………...…8
   3. Використання властивостей монотонності…………..…9
   4. Використання екстремальних значень функції………..10
   5. Використання взаємно обернених функцій……………10
2. Розв’язування рівнянь за допомогою «ведення параметра»...11
3. Застосування похідної до розв’язування рівнянь……………14

РОЗДІЛ 3. АНАЛІЗ ПОМИЛОК, ЩО ДОПУСКАЮТЬСЯ ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАННІ РІВНЯНЬ……………………………………………....…....….15

ВИСНОВКИ………………………………………………………….………..18

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………….20

ВСТУП

... вивчення математики завжди

сприяє розвитку строгості і ясності мислення.

Келдиш М. В.  [11]

На протязі  багатьох років алгебру вважали  наукою про рівняння і способи їх розв’язування.

Розв’язувати рівняння доводиться багато і нам, учням школи і майбутнім абітурієнтам. Але часто виникає трудність в тому, що за обмежений проміжок часу потрібно виконати певний обсяг завдань. Це можна зробити лише в тому випадку, якщо вміти знаходити найкоротший шлях розв’язування, застосовувати оригінальні, нетрадиційні методи розв’язування рівнянь.

Не всяке рівняння у результаті перетворень або за допомогою вдалої заміни може бути зведене до рівняння того або іншого стандартного виду, для якого існує певний алгоритм розв’язання. У таких випадках краще використати інші методи розв’язування. Вище сказане визначає актуальність даної роботи.

Об’єкт дослідження –– рівняння та способи їх розв’язування.

 Метою даної роботи є дослідження методів розв’язування рівнянь.

Для досягнення поставленої мети:

 опрацьовано літературу з історії математики  про розв’язування рівнянь;

розглянуто різні прийоми розв’язування рівнянь.

Практична значимість даної роботи полягає в дослідженні таких методів, щоб лише глянувши на рівняння,  помітити зачіпку, що дозволяє уникнути складних обчислень і перетворень.

РОЗДІЛ 1

ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ РІВНЯНЬ

Спочатку алгебру розуміли як науку про рівняння, згодом  цей погляд трохи змінився. Рівняння зустрічаються при вивченні геометрії, тригонометрії, фізики, хімії, астрономії. Крім рівнянь першого степеня, існує багато інших видів рівнянь. Але жоден з цих видів не можна засвоїти, не засвоївши розв'язання рівнянь першого степеня. “Методи розв'язання рівнянь були відомі у II ще тисячолітті до н. е. переписувачам стародавнього Єгипту”.[12]

 Алгебраїчні рівняння 1-го степеня з одним невідомим розв'язували вже в давньому Єгипті і давньому Вавилоні. Вавилонські переписувачі вміли розв'язувати і квадратні рівняння, а також найпростіші системи лінійних рівнянь і рівнянь 2-го степеня. [13]

Необхідність розв'язування рівнянь другої степені, в тому числі й квадратних, у стародавні часи була викликана потребою вирішувати проблеми пов'язані з поділом землі, знаходженням її площі, земельними роботами військового характеру, а також із розвитком таких наук, як математика й астрономія. Квадратні рівняння вміли вирішувати вавилоняни близько 2000 років до н.е. [14]

Правило розв'язування цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається, власне кажучи, із сучасним, однак невідомо, як саме дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені дотепер клинописні тексти наводять тільки задачі з розв'язаннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як саме їх було знайдено.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до загальної канонічної форми: ах² + bх² = с, а > 0.У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і від'ємними. Правило Брахмагупти, власне кажучи, збігається з нашим. Математики постійно стикалися із задачами, що приводили їх до розв'язування рівнянь 3, 4 і 5-го степенів. Протягом багатьох сотень років учені безуспішно шукали способи розв'язування рівнянь 3-го степеня.

Геометричний метод розв'язування одного виду чисельного кубічного рівняння був відомий ще Архімеду. Алгебраїчний же метод розв'язування  кубічного рівняння протягом багатьох століть залишався невідомим. Перший крок у цьому напрямку зробив на початку XVI ст. італійський учений Сціпіон дель Ферро.  Він знайшов розв'язок рівняння х³ + ax = b при а > 0 і b> 0.[16]

Учень Кардано, Феррарі (XVI ст.), знайшов формулу коренів рівняння 4-го степеня. Таким чином, до кінця XVI ст. математики вміли виражати корені рівнянь 1, 2, 3 і 4-го степенів через їхні коефіцієнти за допомогою шести дій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня).

Розв’язуванням невизначених рівнянь в цілих числах, які називалися діофантовими, багато займалися вчені Індії. Вони розробили загальний метод для розв’язування лінійних діофантових рівнянь. Вивченням невизначених рівнянь, теорія яких відома в наш час під назвою «Невизначений аналіз» або «Діофантовий аналіз», займалися відомі математики різних часів, в тому числі Ферма, Ейлер, Лагранж, Гаус, Чебишев, Золотарьов та інші. [3,153]

Відкривши буквене обчислення, Вієт виявився в змозі суттєво розширити наші відомості про властивості рівнянь. Він установив залежність між коефіцієнтами рівняння і його коренями. Від’ємні корені Вієт не признавав. Цей недолік був усунутий нідерландським математиком А. Жіраром, який використав від’ємні і навіть уявні корені, а також навів формули степеневих сум до четвертої степені включно.[4,38]

РОЗДІЛ 2

СПОСОБИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ

Багато рівнянь, які зустрічаються в літературі, можна розв'язати не за певним шаблоном, а потребують особливого підходу, винахідливості. Такі вправи викликають в учнів найбільше труднощів.

Для того, щоб розв'язувати такого типу рівняння, потрібно використовувати різні способи розв'язування рівнянь. Розглянемо такі способи та покажемо їх практичне застосування.

1. Розв’язування рівнянь з використанням властивостей функції.
   1. Використання області визначення

“Областю визначення функції, або областю допустимих значень даного рівняння називається  множина всіх значень змінних, при яких вираз,що входить у це рівняння, має смисл. “.[15] Для знаходження ОДЗ функції потрібно проаналізувати дану відповідність і встановити заборонені операції, що зустрічаються (ділення на нуль, піднесення в раціональний степінь негативного числа логарифмічні операції над негативними числами і т. д.). Іноді знання ОДЗ дозволяє знайти розв’язок рівняння безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ. Якщо область визначення складається із скінченної кількості чисел, то досить підстановкою перевірити, чи є дані числа розв’язком рівняння. Якщо ж область визначення є порожня множина, то рівняння розв’язків немає.

“Потреба знаходження області визначення рівняння під час його розв’язування залежить від самого рівняння. “ [2,27]

Розв’язати рівняння: 1)

Щоб розв’язати дане рівняння достатньо знайти область визначення функції, що до нього входить, а потім область допустимих значень (ОДЗ) самого рівняння:

ОДЗ є порожньою множиною. Отже, це рівняння не має коренів.

2.    ;

В ОДЗ рівняння входить єдине число x=0, і, як показує перевірка, воно є коренем.

2.1.2. Використання множини значень

Приклад 1. Розв’язати рівняння.

Щоб розв’язати дане рівняння потрібно порівняти множини значень функцій, що стоять в обох частинах рівняння. Множина значень функції, що стоїть у лівій частині, — множина невід’ємних чисел, а у правій — стоїть від’ємне число. Отже, дане рівняння не має коренів.

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Множина значень функції, що стоїть у лівій частині, — множина невід’ємних чисел. Права частина:. Її множена значень — множена недодатних чисел.

Тому дане рівняння рівносильне системі              

Одержуємо єдиний корінь рівняння x=1.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Множина значень функції є інтервал,а функції є інтервал .

Оскільки спільні значення відсутні, то рівняння розв’язку не має.

2.1.3. Використання властивості монотонності

Функції, що в якому-небудь проміжку тільки зростають або тільки спадають, називаються монотонними на цьому проміжку. [7,118]

Дуже часто в завданнях ЗНО зустрічаються такі рівняння:

1)

2)

3)

“Для розв’язування цих і подібних рівнянь використовується така важлива властивість функції, як монотонність. Вона є ключовою при застосуванні теореми про існування та єдність:

Теорема (про існування та єдність). Якщо функція y=f(x) неперервна і монотонна на деякій множині D, то для будь-якого числа М з множини значень цієї функції знайдеться єдине таке число c є D, для якого виконується рівність f(c)=M.” [8,19]

Приклад. Розв’язати рівняння 

Знайдемо ОДЗ:

На множині [2;+∞) функція

Монотонно зростає, тому, якщо корінь існує, то він єдиний. Методом підбору з ОДЗ знаходимо x=6 задовольняє рівняння. Отже, число 6 – єдиний корінь рівняння.

2.1.4. Використання екстремальних значень функції

Якщо під час розв’язування рівняння виду f(x)=g(x) функція y=f(x) має найбільше значення в точці x=x0, а функція y=g(x) у цій точці досягає свого найменшого значення, крім того найбільше значення функції y=f(x) дорівнює найменшому значенню функції y=g(x), то можна стверджувати, щоx=x0 єдиний корінь рівняння f(x)=g(x) . [8,19]

Якщо при різних значеннях аргументу функції y=f(x) і y=g(x) досягають найбільшого та найменшого значення, то рівняння f(x)=g(x)коренів не матиме.

Приклад . Розв’язати рівняння .

Нехай g(x)=log4(5+cos4x). Оскільки 5+cos4x≥4, то g(x)≥1, причому g(x)=1, колиcos4x=-1, тобто

Отже, найменше значення функції g(x) дорівнює 1, коли  Нехай Найбільше значення цієї функції дорівнює 1, коли Порівнюючи найбільше і найменше значення, робимо висновок, що розв’язком даного рівняння є множина чисел

2.1.5. Використання властивостей взаємно обернених функцій

Розглянемо такі властивості взаємно обернених функцій :

1.Якщо та взаємно обернені функції, то їх графіки симетричні відносно прямої y = х. [10 , 221]

2. Якщо графіки взаємно обернених функцій  та перетинаються, то точки їх перетину лежать на прямій y = х. [5 , 154]

3. “Якщо та взаємно обернені функції, то рівняння рівносильне рівнянню або рівнянню g(x) = x.

Наприклад. Розв’язати рівняння 

Перетворимо рівняння так:

Нехай Тоді функція та взаємно обернені. За властивістю 3 матимемо:

Останнє рівняння має один дійсний корінь u=3. Отже, x-2=3, то x=5”[9,18]

2.           Розв’язування рівнянь за допомогою «введення параметра»

Цей спосіб полягає в тому, що сталу, яка входить до рівняння, сприймають як параметр і розв’язують рівняння відносно параметра.

Розв’язати рівняння

“Нехай 5=а. Матимемо рівняння . Розв’яжемо його відносно a:

Залишається розв’язати сукупність:

Розв’язуючи сукупність, отримаємо чотири корені, з яких тільки два задовольняють дане рівняння. Відбір коренів слід робити безпосередньо перевіркою.

Метод параметризації зручно використовувати під час розв’язування деяких алгебраїчних рівнянь вищих степенів.” [9,19]

“Розглянемо рівняння . Нехай . Матимемо рівняння

Розв'яжемо його відносно а:

Один з коренів рівняння уже знайдено: х = . Два інших знайдемо з рівняння . Отже, розв'язками рівняння будуть числа: ;  ; .”[9,20]

2.3. Застосування похідної до розв’язування рівнянь

Один із способів розв’язування рівнянь полягає в тому, що корінь чи корені рівняння якимось чином помічають, а потім доводять, що інших коренів не існує.

Приклад. Розв’язати рівняння

Методом підбору можна легко знайти два корені цього рівняння  x₁=2 і x₂=4. Якщо нам вдається показати, що інших коренів дане рівняння не має, тоді розв’язання було б завершеним.

Розглянемо функцію і дослідимо її за допомогою похідної.

  [6,24]

Функція визначена і неперервна на всій числовій прямій, має єдину критичну точку, тому більш ніж одну точку екстремуму мати не може, а отже, графік цієї функції пряму y=1 перетинати більш ніж у двох точках не може, тобто рівняння не може мати більше двох коренів, а два корені ми знайшли.

Відповідь:{2;4}.                                                                                [1,158]

РОЗДІЛ 3

ДОСЛІДЖЕННЯ ПОМИЛОК, ЩО ДОПУСКАЮТЬСЯ ПРИ РОЗВ'ЯЗУВАННІ РІВНЯНЬ

Проаналізувавши помилки, які допускають учні при розв’язуванні рівнянь у школі та абітурієнти під час написання ЗНО, можна зробити висновок, що вони не мають достатнього досвіду в розв’язуванні рівнянь. Тому не встигають виконати завдання за відведений час.

Для розв’язування багатьох рівнянь існує не один спосіб розв’язування. Всі вони дадуть один і той же результат. Якщо час для розв’язування обмежений, то не обов’язково шукати красиве розв’язання, а потрібно знайти самий короткий шлях і скористатися ним.

В школі вивчають багато способів розв’язування рівнянь. Але всі вони зводяться до розв’язування за якимось певним алгоритмом, опанування яким є важливим завдання для кожного учня.

Якщо вчасно не систематизувати знання, то в результаті будуть допускатися помилки при розв’язуванні рівнянь.

Так, під час розв’язування ірраціональних рівнянь деякі учні забувають, що позбуваючись ірраціональності, можуть появитися сторонні корені. І, хоча, вони можуть входити в ОДЗ невідомого, але не задовольнятимуть дане рівняння. Тому обов’язково, при розв’язуванні ірраціональних (та й не тільки, а будь-яких без винятку) рівнянь, потрібно робити перевірку здобутих розв’язків.

Шкільна практика свідчить про те, що часто учні правильно виконують правильні перетворення при розв’язуванні складніших тригонометричних рівнянь і роблять помилки при розв’язуванні простіших рівнянь, до яких зводяться складніші.

Тому важливо домогтись, щоб не формально запам’ятовували формули загального розв’язку, а усвідомлювали, чому одержуються саме такі формули, а не інші. Доцільно розглянути такі способи розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь: 1) графічний спосіб; 2) знаходження розв’язків за допомогою одиничного кола.

При розв’язуванні логарифмічних, показникових рівнянь допускають помилки, які свідчать про недостатні знання властивостей відповідної функції. Слід постійно звертати увагу на можливі випадки порушення еквівалентності, а саме про втрату і появу сторонніх розв’язків. Слід пам’ятати, що ділення, множення рівнянь на вирази, які містять невідому величину, може призвести до зменшення ОДЗ, а, отже, і до втрати коренів. Такий же результат можна отримати і при логарифмуванні.

Важливо звернути увагу на те, що оскільки логарифмічна функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв’язування рівняння знайти область визначення виразів, що входять до складу рівнянь.

Варто пам’ятати основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь.

Коли робимо перевірку, то ми виявляємо сторонні корені. Це не так і складно (набагато складніше віднайти втрачені корені). Тому потрібно пам’ятати, що сторонні корені найчастіше появляються при:

1. Піднесенні обох частин рівняння до парного степеня.

Наприклад:.

Підносячи обидві частини рівняння до квадрата, отримаємо рівняння, яке є наслідком даного: , ,-1 належить ОДЗ невідомої змінної даного рівняння, але перевірка показує, що число -1 є стороннім коренем, а число 5 є розв’язком даного рівняння.

2. Скорочення дробів на множники, що містять змінну.

Наприклад:

Скоротивши дріб на (x-2) і розв’язавши рівняння матимемо x=2, а це сторонній корінь.

3. Зведення подібних доданків, що містять змінну в знаменнику.

Наприклад, при розв’язуванні рівняння  звівши подібні доданки і одержимо      Але  x=0 є стороннім коренем.

Можна зробити висновок, що отримані результати завжди потрібно проаналізувати і зробити перевірку, щоб виявити сторонні корені. Отже, процес розв’язування будь-якого рівняння потрібно аналізувати і робити певні висновки.

4. При розв’язуванні логарифмічного рівняння потенціюванням відбувається розширення ОДЗ рівняння, що «тягне» за собою появу сторонніх коренів. До речі, розширення ОДЗ відбувається під час заміни суми (різниці) логарифмів на логарифм добутку (частки). Також потрібно пам’ятати, що, використовуючи рівність , ми можемо звузити ОДЗ, що призведе до втрати коренів рівняння. Отже, необхідно слідкувати за тим, що відбувається в результаті того чи іншого перетворення. Потрібно бути впевненим в тому, що жоден корінь не загублено, а в тих випадках, коли рівняння замінювалося нерівносильним, обов’язково повинна проводитись перевірка отриманих результатів.

ВИСНОВОК

Опрацювавши достатню кількість літератури, дійшли певних висновків.

Дуже важливо оволодіти різноманітними способами розв’язування рівнянь. Ці прийоми тісно пов’язані з матеріалом, що вивчається в школі, але, крім того, їх нестандартне розв’язування привчає не задовольнятися шаблонами, алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку оригінальних розв’язань.

На запитання «Чи варто оволодівати різними способами розв’язування рівнянь?» відповідь однозначна –– варто.

По-перше. Зменшується час, за який розв’язується дане рівняння.

По-друге. Застосовуються оригінальні способи розв’язування рівнянь.

По-третє. Можна розв’язати рівняння, які стандартними способами не можливо розв’язати.

По-четверте. Отримані знання можна використати при навчанні в школі та у ВНЗ.

По-п’яте. Дуже важливо постійно здобувати нові знання і не зупинятися на тому, що вже знаємо.

По-шосте. Такі дослідження сприяють розвитку логічного мислення, творчого підходу в розв’язуванні не лише математичних, а й життєвих проблем.

Підсумовуючи проведене дослідження, хочеться побажати випускникам та абітурієнтам:

1. Завжди старайтеся здобувати знання.
2. Добре вивчайте програмовий матеріал і опрацьовуйте додаткову літературу.
3. Пам’ятайте, що алгебра –– наука про загальні методи розв’язування лінійних і квадратних рівнянь.
4. Якщо область визначення складається із скінченної кількості чисел, то досить підстановкою перевірити, чи є дані числа розв’язком рівняння. Якщо ж область визначення є порожня множина, то рівняння розв’язків немає.
5. Порівняти множину значень функції, що стоїть у лівій і правій частині рівняння і зробити висновок.
6. Якщо функція монотонно зростає (спадає) і корінь існує, то він єдиний.
7. Якщо під час розв’язування рівняння виду  f(x)=g(x) функція  y=f(x)і y=g(x) в одній і тій же точці приймають однакового значення, тільки для однієї функції воно найбільше, а для другої – найменше (в точці x=x0) , то x=x0 єдиний корінь рівняння  f(x)=g(x).

Якщо при різних значеннях аргументу функції  y=f(x) і y=g(x) досягають найбільшого та найменшого значення, то рівняння  f(x)=g(x) коренів не матиме.

8. Важливо домогтись, щоб не формально запам’ятовували формули загального розв’язку, а усвідомлювали, чому одержуються саме такі формули, а не інші.
9. Оскільки логарифмічна функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв’язування рівняння знайти область визначення виразів, що входять до складу рівнянь.
10. Запам’ятайте: при розв’язуванні рівнянь потрібно вдумливо підходити до пошуку розв’язування.

Матеріали, наведені у цій роботі, можуть бути корисні як учителям при організації заключних повторень курсу з математики за програмою основної школи, так і старшокласниками під час підготовки до олімпіад та ЗНО.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бевз Г.П.Довідник з математики: Посібник для учнів/Г.П.Бевз. – К.: Рад. Школа,1981. – 262с.
2. Вивальнюк Л.М. Математика: Посібник для факультативних занять, 9 кл./ Л.М.Вивальнюк, О.І. Соколенко,  В.Н.Боровик та ін. – К.: Освіта, 1993. – 27с.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер. – М.: «Просвищение», 1964. – 153 с.
4. Глейзер Г.И. История математики от Декарта до середины ХІХ ст./       Г.И. Глейзер. – М.: «Наука», 1966. – 38 с.
5. Корнієнко Т.Л.Алгебра.10-11 класи. Методи розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем.: Розробки занять/ Т.Л.Корнієнко, В.І.Фіготіна. – Х.: Видавництво «Ранок»,2009. – 154с.
6. Лось В. Нестандартні рівняння/ Валерій Лось//Математика в школі. – 2003. -- №5. – С.23
7. Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа/А.Г.Мордкович. – М.:Высш. Школа,1979. – 118с.
8. Харік О. Деякі нестандартні прийоми розв’язування рівнянь/Олена Харік//Математика. – 2007. --  №39. – С. 18-21
9. Харік О. Деякі нестандартні прийоми розв’язування рівнянь/Олена Харік//Математика. – 2007. --  №41. – С. 18-21
10. Фільчаков П.Ф.Довідник з елементарної математики/ За редакцією П.Ф.Фільчакова. – Київ: “ Наукова думка“, 1975. – 221 с.
11.  http://formula.co.ua/utterances.php
12.  http://formula.co.ua/algebra.php
13.  http://uk.wikipedia.org/wiki/Алгебраїчне_рівняння
14.  http://uk.wikipedia.org/wiki/Квадратне_рівняння
15.  http://formula.co.ua/equal.php
16.  http://pedagog.profi.org.ua/uk/node/281