Ромб. Квадрат. Властивості

Урок № 9

Тема. Ромб. Квадрат

Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту означень, власти­востей та ознак ромба і квадрата. Формувати вміння:

• відтворювати вивчені твердження;
• застосовувати властивості, ознаки ромба і квадрата до розв'язування типових задач;
• застосовувати властивості, ознаки ромба і квадрата разом із раніше вивченими твердженнями в темі «Чотирикутники» до розв'язування задач підвищеного рівня складності.

Тип уроку: засвоєння вмінь та навичок.

Наочність та обладнання: конспект «Ромб, квадрат».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Перевірку засвоєння учнями теоретичного матеріалу попереднього уроку можна провести або у формі математичного диктанту, або у формі бесіди за тими самими питаннями, що включені в математичний диктант.

Математичний диктант

Варіант 1

1. Чи є прямокутником паралелограм, один із кутів якого прямий?
2. Чи правильно, що кожен прямокутник є паралелограмом?
3. Діагоналі прямокутника АЕКМ перетинаються в точці О. Відрізок АО дорівнює 3 дм. Знайдіть довжину діагоналі ЕМ.
4. Діагоналі чотирикутника рівні. Чи обов'язково цей чотирикутник є прямокутником?

Варіант 2

1. Чи обов'язково чотирикутник з прямим кутом є прямокутником?
2. Чи правильно, що кожен паралелограм є прямокутником?
3. Діагоналі паралелограма мають довжину 3 дм і 5 дм. Чи цей парале­лограм є прямокутником?
4. Сума довжин діагоналей прямокутника дорівнює 13 м. Знайдіть довжину кожної діагоналі.

Перед виконанням математичного диктанту слід нагадати учням правила виконання його завдань, а саме: умова завдань не записується (учні мають записати тільки номер запитання), відповідь має бути короткою, але змістовною (тобто у відповіді має бути аргументація — посилання на відповідне геометричне твердження).

Письмова частина домашнього завдання докладно перевіряється тільки в учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги; у ході фронтальної перевірки правильності виконання письмових завдань достатньо озвучити твердження, яке було використане під час розв'я­зування задачі, а також здобуту відповідь.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Щоб створити умови для усвідомленого сприйняття учнями логіки вивчення матеріалу, пропонуємо їм проаналізувати, яким чином із довільного паралелограма утворилась нова фігура — прямокутник (якщо всі кути паралелограма «зробити» рівними, то «виходить» прямо­кутник). Далі вчитель ставить запитання: «Які ще елементи паралело­грама можна зробити рівними?» Звісно, більшість учнів дає правильну відповідь (сторони). Після чого формулюється наступне запитання: «Чи існує паралелограм, у якого і сторони, і кути рівні?» Здобувши ствердну відповідь, учитель виділяє таким чином два нові (тобто такі, що раніше не вивчались на уроках геометрії) геометричні об'єкти. Вивчення озна­чення, властивостей та, можливо, ознак цих фігур, опанування спосо­бами їх застосування є основною дидактичною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння змісту означень, властивостей, ознак ромба і квадрата слід активізувати знан­ня і вміння учнів щодо означення, властивостей та ознак паралелогра­ма, прямокутника; означення, властивостей та ознак рівнобедреного трикутника.

Досягненню цієї мети сприятиме розв'язування усних задач.

Виконання усних вправ

1. Яких помилок припустилися під час зображення паралелограма (рис. 1)?

2. У чотирикутнику ABCD AB = DC, AD = BC (рис. 2). Доведіть, що ABCD — паралелограм.
3. У паралелограмі ABCD AM — бісектриса кута А, ВН — бісектриса кута В (рис. 3). Доведіть, що ВН АМ.

4. У паралелограмі ABCD через точку перетину діагоналей проведено
   відрізок, кінці якого лежать на його сторонах (рис. 4). Доведіть, що
   ОМ = ОК.

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Означення ромба.
2. Властивості ромба.
3. Ознаки ромба.
4. Квадрат: означення, властивості.

Розглядаючи питання про означення прямокутника й ромба, слід звернути увагу учнів на той факт, що оскільки названі фігури є різновидами паралелограма, то й означення цих фігур дається через поняття паралелограма (тобто мова йде про формулювання означень через споріднене поняття); таким чином ми попере­джаємо традиційні помилки учнів, яких вони припускаються, формулюючи означення прямокутника (ромба) як чотирикутни­ка, у якого... (далі йде перелік певних ознак). Означення квадрата також формулюється за цим принципом, але на відміну від пря­мокутника та ромба, для яких безпосередньо спорідненим є по­няття паралелограма, означення квадрата формулюється через поняття або ромба (в якого всі кути прямі), або через поняття прямокутника (в якого всі сторони рівні). При цьому завертаємо увагу учнів на еквівалентність цих обох означень.

Вивчаючи властивості ромба і квадрата, так само як і під час роз­гляду питання про властивості прямокутника, слід зробити акцент на тому, що із самих означень цих фігур випливає більшість їх властивос­тей (для ромба — це всі властивості паралелограма, а для квадрата — це всі властивості і прямокутника, а отже й паралелограма та ромба). Тому все, що слід зробити на цьому етапі вивчення матеріалу, — це сформулювати вивчені властивості, адаптувавши їх для названих фігур (зрозуміло, що доводити ці властивості не треба).

Інша річ, «додаткові» властивості та ознаки ромба.

1. Якщо всі сторони чотирикутника рівні, то цей чотирикутник — ромб.
2. Якщо сусідні сторони паралелограма рівні, то цей паралелограм — ромб.
3. Паралелограм із перпендикулярними діагоналями є ромбом.
4. Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його протилежних кутів, то цей паралелограм — ромб.

Оскільки вони є специфічними (тобто виконуються тільки для ромба), то необхідно їх довести (доведення можна провести за підруч­ником або запропонувати учням виконати його самостійно, або запро­понувати в якості індивідуального завдання для сильних учнів).

Повний перелік тверджень, які слід вивчити з восьмикласниками стосовно ромба і квадрата, вміщено в конспекті «Ромб. Квадрат».

VI. Формування первинних умінь

Виконання усних вправ

1. Назвіть види паралелограмів, у яких: а) усі кути рівні; б) усі сторони рівні; в) діагоналі рівні; г) діагоналі перпендикулярні.
2. Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці О (рис. 5). Назвіть: а) бісектрису три­кутника ABD; б) висоту трикутника ABC; в) медіану трикутника BCD.
3. Діагоналі квадрата A BCD перетинаються в точ­ці О. Назвіть усі рівні трикутники, які утворю­ються при перетині діагоналей. Визначте її вид.

Виконання графічних вправ

1. Накресліть дві перпендикулярні прямі, які перетинаються в точці О.
   На одній з прямих відкладіть по різні боки від точки О рівні відрізки
   ОА і ОС, а на другій прямій — рівні відрізки ОВ і OD. Сполучіть точки
   A, B, C і D.

а) Виміряйте сторони чотирикутника ABCD і визначте його вид.

б) Виміряйте кут А чотирикутника ABCD. Користуючись власти­востями цього чотирикутника, знайдіть градусні міри інших його кутів. Перевірте результати вимірюванням.

в) Виміряйте кути ADB і CDB. Виділіть кольором усі пари рівних
кутів між діагоналями і сторонами чотирикутника.

2. Накресліть прямокутний трикутник ABD з гіпотенузою BD. Про­
   ведіть через вершини В і D прямі, паралельні сторонам AD і АВ відповідно. Позначте точку С — точку перетину цих прямих.

а) Виміряйте сторони чотирикутника ABCD і визначте його вид.

б) Проведіть діагональ АС. Виміряйте і порівняйте довжини діаго­налей чотирикутника.

в) Позначте на прямих ВС і AD точки С₁ і D₁ так, щоб чотирикутник
ABC₁D₁ був квадратом.

Виконання письмових вправ

1. Знайдіть кути ромба, якщо:

а) один із них на 120° більший за інший;

б) одна з його діагоналей дорівнює стороні.

2. Знайдіть кути ромба, якщо:

а) кути, утворені його стороною з діагоналями, відносяться як 1 : 4;

б) висота ромба удвічі менша від сторони.

3. Периметр квадрата дорівнює 40 м. Знайдіть відстань від точки пе­ретину діагоналей квадрата до його сторони.

4*. У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат, дві вер­шини якого лежать на гіпотенузі трикутника, в дві інші — на кате­тах. Знайдіть периметр квадрата, якщо гіпотенуза дорівнює 18 см.

VII. Підсумки уроку

1. Які спільні властивості мають ромб і квадрат?
2. Які властивості квадрата не характерні для прямокутника?
3. Чи є квадратом:

а) прямокутник ABCD, діагональ AC якого є бісектрисою кута BAD;

б) ромб, діагоналі якого рівні;

в) паралелограм, діагоналі якого взаємно перпендикулярні;

г) чотирикутник, усі сторони якого рівні?

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст означення, властивостей та ознак ромба і квадрата.

Розв'язати задачі.

1. Знайдіть кути ромба, якщо:

а) сума двох із них дорівнює 220°;

б) діагональ утворює з однією зі сторін кут 25°.

2. Відстань між протилежними сторонами квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть периметр квадрата.
3. Знайдіть кути ромба, якщо висота, проведена з вершини тупого кута, відтинає від ромба рівнобедрений трикутник.

Повторити вивчений матеріал. Побудувати схему, що відобра­жається зв'язок між чотирикутниками, паралелограмами, прямокут­никами, ромбами та квадратами.