Розробка уроку на тему "Теорема Фалеса."

Тема. Теорема Фалеса

Мета: формувати в учнів усвідомлене розуміння змісту теореми Фалеса та способу її доведення; формувати вміння відтворювати фор­мулювання теореми Фалеса; застосовувати її для розв'язування задач на знаходження довжин відрізків, що відтинаються на сторонах пара­лельними прямими; розв'язувати задачі на поділ відрізка на п рівні відрізки або в даному відношенні.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Наочність та обладнання: конспект «Теорема Фалеса».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

На цьому етапі уроку можна провести самостійну роботу, зміст за­вдань якої відтворює ситуацію, опрацьовану на попередніх уроках (за­стосування властивостей рівнобічної трапеції разом із властивістю ка­тета, що лежить проти кута 30°).

Самостійна робота

Варіант 1

1. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 15 см. Знайдіть від­різки, на які ділить більшу основу висота, проведена з вершини ту­пого кута.
2. У рівнобічній трапеції один з кутів дорівнює 120°. Діагональ тра­пеції утворює з основою кут 30°. Знайдіть основи трапеції, якщо довжина бічної сторони дорівнює 8 см.

Варіант 2

1. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 2 см і 10 см. Знайдіть дов­жини відрізків, на які висота трапеції, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу.
2. У рівнобічній трапеції одна основа дорівнює а, друга втричі менша. Кут при більшій основі дорівнює 60°. Визначте периметр трапеції.

Після виконання завдань самостійної роботи вчитель збирає зошити учнів для перевірки та опрацювання (причому можна оцінити як до­машню, так і самостійну роботи та порівняти оцінки). Але обов'язко­вою умовою має бути надання учням можливості дізнатися, який вигляд має правильне розв'язання завдань — для цього вчитель заздалегідь готує записи правильного розв'язання завдань самостійної роботи або за дошкою, або у вигляді роздавального матеріалу. У разі необхідності розв'язання задач обговорюються. Учням, які не впоралися із завдання­ми, надається можливість виконання коригуючої роботи (на одному з наступних уроків у вигляді індивідуального завдання).

III. Формулювання мети і завдань уроку

Оскільки властивість середньої лінії трапеції не випливає безпосе­редньо з теореми Фалеса, то вчитель формулює мету цього та наступного уроків без залучення учнів. Учням повідомляється про існування ще одного з відрізків трапеції, що має важливу властивість (мається на увазі перша середня лінія трапеції), доведення якої ґрунтується на тео­ремі, яку учні вивчатимуть на уроці. Отже, метою цього уроку є ви­вчення змісту, доведення та вивчення способів застосування однієї з найважливіших теорем курсу геометрії 7—12 класів — теореми Фалеса.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою підготовки учнів до свідомого розуміння та способу дове­дення теореми Фалеса слід активізувати знання і вміння учнів щодо ознак паралельності прямих, властивості паралельних прямих, озна­чення та властивостей паралелограма, ознак рівності трикутників.

Виконання усних вправ за готовими рисунками

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. «Класичне» формулювання і доведення теореми Фалеса.
2. інше формулювання теореми Фалеса.
3. Задача про поділ відрізка на п рівних частин.

 Формулювання і доведення теореми Фалеса, що подано в но­вому підручнику, не відрізняється від аналогічного матеріалу попередніх підручників геометрії. За змістом і за формою роз­гляд теореми Фалеса повністю відповідає підручнику О. В. Погорєлова. Тому під час викладення цього матеріалу вчитель може використовувати ті самі прийоми і форми роботи, що й раніше. А саме:

• сформулювавши теорему, спочатку попрацювати над усвідомлен­ням учнями самого змісту (важливо, щоб учні усвідомили, що для виконання умови, записаної у висновку теореми, необхідне вико­нання трьох умов: прямі мають бути паралельні, прямі мають пере­тинати обидві сторони кута, паралельні прямі мають відтинати на одній зі сторін рівні відрізки); для цього пропонуємо учням викона­ти усні вправи (див. нижче);
• оскільки доведення теореми є досить простим (ґрунтується на зна­йомих учням означенні та властивостях паралелограма, а також на ознаках рівності трикутників), то доведення теореми учні можуть розглянути самостійно за підручником. Для усвідомлення ними змісту та логіки доведення вчитель може запропонувати на етапі ро­боти із доведенням, поданим у підручнику, скласти його план;
• після цієї роботи вчитель пропонує учням «пофантазувати» за теоре­мою Фалеса: чи буде вона виконуватись, якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають кілька рівних відрізків на одній зі сторін кута? Чи буде виконуватися теорема Фалеса, якщо па­ралельні прямі перетинають не сторони кута, а дві будь-які прямі? Чи буде виконуватись умова, аналогічна до теореми Фалеса, у випад­ку коли паралельні прямі перетинають сторони не одного, а кількох кутів із спільною вершиною? У випадку ствердної відповіді слід сформулювати «скориговану» для певного випадку теорему (під час обґрунтування своєї точки зору, відповідаючи на поставлені запи­тання, учні відтворюють міркування, аналогічні до тих, що містяться в доведенні теореми Фалеса, і тим самим закріплюють знання схеми доведення теореми Фалеса);
• як один із засобів застосування вивченої теореми або за підручни­ком, або самостійно учні відшукують спосіб розв'язання класичної задачі на поділ даного відрізка на я рівних частин (перед розв'язуван­ням цієї задачі для створення проблемної ситуації пропонуємо учням задачу про поділ відрізка на 2^п частин, потім пропонуємо ви­падок, коли п = 3; таким чином учні усвідомлюють неможливість розв'язання задачі відомим способом та необхідність застосування теореми Фалеса).

Виконання усних вправ

Дано кут х і прямі АА₁, ВВ₁, СС₁. Заповніть порожні клітинки таб­лиці: «+» означає виконання умови; «-» означає, що умова не вико­нується.

VI. Формування первинних умінь

Оскільки закріплення змісту теореми Фалеса та способу її доведен­ня було здійснено під час вивчення нового матеріалу, то треба почати роботу із формування вмінь та навичок застосовувати теорему для роз­в'язування задач на обчислення відрізків та доведення їх рівності, а та­кож задач на поділ відрізка на п рівних частин (а також, якщо дозволяє час та можливість учнів, на частини у даному відношенні).

Виконання письмових вправ

1. За даними рисунка 4 знайдіть х, якщо а || b.
2. Точки М і N — середини сторін ВС і AD паралелограма ABCD. До­ведіть, що прямі AM і CN ділять діагональ BD на три рівні частини.
3. Поділіть даний відрізок на шість рівних частин.
4. Точка К — середина медіани AD трикутника ABC (рис. 5). Знайдіть відношення АР : РС.

5. У прямокутному трикутнику ABC (рис. 6) B = 90°, АС = 24 см. МN || АС і DK || AC, ВМ = MA,   MD = DA, BE – медіана. Знайдіть LP.

Виконання графічних вправ

Поділіть відрізок у відношенні: а) 1 : 2; б) 2 : 5; в) так, щоб одна з час­тин становила відрізка.

VII. Підсумки уроку

Чи правильне твердження: прямі, що відтинають на одній стороні кута рівні відрізки, відтинають на другій його стороні також рівні відрізки? Виконайте відповідні ілюстрації та вставте пропущене слово так, щоб твердження перетворилось на правильне.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст та доведення теореми Фалеса, а також алгоритм поділу відрізка на п рівних частин.

Розв'язати задачі.

1. Через середину D сторони АВ трикутника ABC проведено пряму, яка паралельна АС і перетинає сторону ВС у точці Е. Знайдіть ВС, якщо     BE = 8см.
2. Поділіть відрізок у відношенні 3 : 2.
3. Поділіть відрізок на п'ять рівних частин.
4. На стороні АВ паралелограма ABCD (рис. 7) позначили точки М і N, а на стороні CD — точки Е і F так, що BN = NM = MA = CE = EF = FD. Відрізки BE, NF, MD перетинають діагональ АС у точках R, Q, Р відповідно. До­ведіть, що AP = PQ = QR = RC.

Повторити означення паралелограма.