Розробка уроку "Первісна"

Про матеріал

Урок придатний як для базового, так і для профільного рівня. Інші педагоги можуть адаптувати його під своїх учнів, вибравши потрібну глибину пояснення.

Урок містить: приклади, вправи, графічні пояснення, таблицю первісних і прийоми застосування. Учителі можуть використати це як основу або натхнення для власних занять.

Це економить час учителя: вправи можна використати без змін або адаптувати під різні рівні учнів.

Перегляд файлу

Тема: Первісна. Таблиця первісних. Основна властивість первісної.

Мета: Формування поняття первісної функції та поняття невизначеного інтеграла, основної властивості первісної. Розвивати творче мислення учнів, виховувати наполегливість, уважність, зосередженість.

Хід уроку

І. Організаційна частина.

ІІ. Актуалізація опорних знань. Мотивація навчального процесу. Урок цікаво, щоб почати, Загадку дам вам відгадати: Наук цариця недосяжна, Могутня, щедра і прекрасна, Блискуче розум розвиває, Правильно мислити всіх навчає. Неперевершена її краса, Чудова логіка струнка. Ну, дітки, хто вона така? І чую: «Ма-те-ма-ти-ка!!!» Так, правильно, це – любов моя. У ній знаходжу я відраду, Черпаю мудрість і наснагу. Учить її й дітей навчати - Це ж долі кращої не знати. Диплом я маю відповідний І досвід досить вже солідний, А в конкурсах, змаганнях грати - Майстерність, значить, шліфувати, Свої здобутки показати Й найкраще в інших перейняти. Журі та іншим конкурентам Бажаю щастя в експоненті. Хай Ваш росте потенціал Неначе n!

- Отож, діти, давайте продовжимо вивчати цю дуже цікаву, багатогранну, а головне дуже потрібну науку – математику. Прокопович сказав: «Жодна з наук про полегшення й прикрашання людського життя без математики не змогла б ні виникнути, ні вдосконалитись. І відомо з досвіду, що народи, які опанували цю науку в будь-якому мистецтві, переважають інші».

- На уроках математики ви навчилися додавати і віднімати, множити і ділити, підносити до квадрата і добувати корінь квадратний тощо. Діти, а що ви сказали б про ці математичні дії, що я назвала? (Ці дії є оберненими одна до одної.)

- Так, правильно. Сьогодні тема уроку тісно пов’язана з цим поняттям. Діти, давайте виконаємо таке завдання:

1.		А
2.		Б
3.		В	arcsin x
4.	arccos x	Г

Відповіді

1.	В
2.	А
3.	Г
4.	Б

ІІІ. Пояснення та закріплення нового матеріалу.

Давайте пригадаємо, який розділ ви вивчили нещодавно?

(Похідна та її застосування.)

Що таке похідна?
Обчислити похідні:
Які задачі привели до поняття похідної?

(Задача на знаходження миттєвої швидкості та задача про дотичну.)

Добре, такі задачі ви навчились розв’язувати. Я ж хочу запропонувати розв’язати таку задачу:

Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю V=gt, де g . Знайти закон руху, якщо за перші 4с тіло пройшло 80 м.

На дошці висять картки:

S=t+

V(t)=S´(t)

V=gt

S(t)-?

Як ви думаєте, що потрібно, щоб розв’язати дану задачу?

(Виконати операцію обернену до взяття похідної.)

Так, діти, щоб розв’язати цю задачу, потрібно вивчити операцію обернену до диференціювання – інтегрування. Результатом диференціювання є похідна, а результатом інтегрування – первісна. Дамо означення первісної:

Первісною для даної функції на заданому проміжку (a;b) називається така функція F(x), похідна якої для всіх x з інтервалу (a;b) дорівнює f(x), тобто F´(x)=f(x) для всіх x .´

Послухаємо історичну довідку про виникнення та розвиток інтегрування.

Вправа1. Покажіть, що функція є первісною для вказаних значень.

F(x)= - , f(x)=x;

F´(x)=(-= - ( - =

Б) F(x)=f(x)=, x;

F´(x)=(

В) F(x)=tgx, f(x)=x;

F´(x)=(tgx)´=.

Г) F(x)= - ctgx; f(x)=;

F´(x)=(-ctgx)´= -(-

) F(x) f(x)=, x

F´(x)=(.

Робота з підручником: вправа 1(1,2,4) на сторінці 374

F(x)=

F´(x)=4

F(x)=2x+5, f(x)=2;

F´(x)=2;

F(x)= - 4, f(x)=12;

F´(x)=12.

Складемо таблицю первісних

Функція f(x)

Загальний вигляд

первісних F(x)+C

x + C

- + C

+ C

-ctgx + C

tgx + C

До дошки йде три учні і знаходять функцію, для якої задано первісну

F(x)= F(x)= F(x)=

f(x)=4 f(x)=4 f(x)=4

Робимо висновок: для даної функції існує множина первісних, які можна записати у вигляді F(x)+C. Доповнимо нашу таблицю. Або ж наш висновок можна сформулювати у вигляді теореми.

Теорема 1. Якщо на проміжку (а;b) функція F(x) є первісною для f(x), то на цьому проміжку первісною для f(x) буде також функція F(x)+C, де С – довільна стала (число).

Геометричний зміст первісної:

Графіки первісних для однієї функції отримуються з однієї в результаті паралельного перенесення вздовж осі ОY.

Діти, як ви думаєте, тепер ми можемо розв’язати задачу, яку не розв’язали на початку уроку? (Так.)
Шуканий закон руху є функцією часу t. Позначимо її через S=S(t). Оскільки швидкість прямолінійного нерівномірного руху є похідною функції S=S(t), то S´(t)=gt. Отже, треба знайти функцію S=S(t) - таку, що S´(t)=gt, а S(4)=80м. Множина функцій, похідні яких дорівнюють gt, має вигляд S(t)=, де С – довільна стала (число). Коли б в умові задачі не вказувалося, що за перші 4с тіло пройшло 80м, то стала С залишалася б невизначеною. Але за вказаною додатковою умовою можна обчислити значення С і тим самим із множини функцій S(t)= вибрати ту, яка відповідає умові задачі. За умовою задачі, коли t=4с, S(t)=80 . Підставляючи ці значення t і S(t) у попередню рівність, дістанемо 80=. Звідси С=0. Підставляючи знайдене значення С у формулу загального вигляду первісної, дістанемо S(t)=. Це закон руху тіла, що вільно падає.

Розв’яжемо задачу №6 із підручника на сторінці 375.

V=3

2=3

ІV. Підсумок уроку.

Домашнє завдання: 1,2, №1(5,6), 5.

- Що ви вивчили на уроці? - Що називаємо операцією інтегрування? - Що навчились знаходити на уроці? - Виправте помилки: 1. f(x)= 2.f(x)=; 3. f(x)=1; 4.f(x)= 5. f(x)=.