Розробка уроку( заняття) за темою "Скінченна геометрія"

Урок 2. Скінченна геометрія

Мета : ознайомити учнів з двома видами  скінченної геометрії;

 з методикой розв’язання задач які відносяться до скінченної геометірії;

 з методикой  гри SET. 

Обладняння : ноутбук,аркуши А4, колярові олівці, ,проектор.

Вступ. Що таке скінченна геометрія?

Скінченна геометрія — будь-яка геометрична система, що має скінченну кількість точок.

Скінченна геометрія може мати будь-яке скінченне число.

Крім скінчених геометрий існують і нескінченні.

Наприклад- Евклідова геометрія не є скінченною.

 Евклідова геометрія не є скінченною, оскільки Евклідова пряма містить нескінченну кількість точок, а якщо точно, то рівно стільки, скільки є дійсних чисел.

Є два вида скінченних  площин

Є два види геометрії на площині: афінна та проєктивна.

 В афінній геометрії застосовується звичне поняття паралельності прямих. В проєктивній геометрії навпаки, будь-які дві лінії перетинаються, тому паралельних прямих не існує. Як скінченна афінна геометрія на площині, так і скінченна проєктивна геометрія можуть описуватись доволі простими аксіомами.

 Аксиома це твердження яке не потребує доведень. В шкільному курсі у планіметрії  існують 9 аксіом,   у стереометрії - 4.

.Аксиоми скінченної геометрії

Афінна геометрія на площині — це непорожня множина � (елементи якої називаються «точками»), з непорожнім набором � підмножин � (елементи якого називаються «прямими»), таких що:

1.Для двох різних точок існує лише одна пряма яка містить обидві точки.

2. Аксіома паралельності: Для прямої ℓта точки � яка не належить цієї прямої, ℓ існує лише одна і тільки одна пряма ℓ′яка паралельна данної прямої.Ця аксіома співпадає з аксіомою з планіметрії.  ℓ∩ℓ′=∅.

3. Існує множина з чотирьох точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій.

4.Існує лише скінченно число точок

Рис1.

Малюнок скінченної афінної площини розмірності 2, яка містить 4 точки, та 6 прямих. «Прямі» одного кольору є «паралельними».

Найпростіша афінна площина містить лише 4 точки, і називається афінною площиною другого порядку. Кожна пара точок визначає унікальну пряму, тому ця площина містить шість прямих. «Прямі» одного кольору є «паралельними» в розумінні того, що перетин множини точок в прямих одного кольору є порожнім. Рис1

                             Рис 2РРис 1

Ілюстрація скінченної афінної площини третього порядку, яка містить 9 точок та 13 прямих. Рис 2

Проєктивна геометрія на площині є непорожньою множиною � (елементи якої називаються «точками»), разом з непорожнім набором � підмножин � (елементи якого називаються «прямими») таких що:

для будь-яких двох різних точок існує лише одна пряма що з'єднує ці точки.

Перетин будь-яких двох різних прямих містить лише одну точку.

Існує множина з чотирьох точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій.

4. Існує лише скінченно число точок.  Накреслити ще три дороги

1

Розглядаючи перші дві аксіоми ми можемо сказати, що вони майже ідентичні, хіба що ролі точок та прямих помінялись. Це дозволяє нам припустити двоїстість проєктивної геометрії на площині, тобто вважати що будь - яке вірне твердження буде залишатись вірним,

якщо ми замінимо прямі точками, і точки прямими.

Щоб отримати порядок площини треба подивитися по скільки точок належать одній прямій і відняти одиницю.

Якщо точок 2 на одній прямій . порядок буде 2-1=1.

Якщо точок 3 на одній прямій, порядок 3-1=2

Якщо точок на одній прямій 4, порядок 4-1=3

Якщо  скінченна проективна площина (СПП) порядка 3 (три) , точок буде 9+3+1=13.  Формула: n*n+n+1

Якщо порядок  n=4 кількість точок  16+4+1=21

ІІ частина

Практична робота. Знайомство з задачами, яких умови відповідають почутої теорії - скінченні афінна площина (САП) та  скінченна проективна площина(СПП).

Задача 1. Задача про дороги та населені пункти. З умовою та запитаннями. Показ слайдів.

Висновки: по другої частині задачі можна визначити порядок СПП і кількість сіл

Порядок площини: так як по три точки на кожній прямій то  3 -1 = 2

 ( другий порядок). Кількість точок по формулі n*n+n+1 отримаємо

2*2+2+1= 7. Нових сіл 3 (три), кількість доріг 9.

 Задача 2.Гра SеT

 Три картки форміруют SeT якщо всі три картки мають однакові значення, або усі три картки мають різні значення  

  Настольная игра Сет (Set) – это карточная игра для тренировки внимательности. На каждой карте в колоде изображены рисунки отличающиеся по четырем признакам: количество фигур, заливка, форма и цвет. Каждый сет, или набор из трех карт, который предстоит отыскать игрокам должен содержать только изображения полностью совпадающие или наоборот полностью отличающиеся по каждому из признаков. Например, если в наборе есть зеленая фигура, то две остальных должны быть либо зеленые, либо быть красной и синей. Тоже самое касается остальных трех признаков сета. Т.е. в сете не может быть двух рисунков с одним одинаковым признаком. Звучит очень просто, но на практике порой получается очень забавно и интересно. Порой сеты находятся сами по себе, а иногда приходится долго ломать голову над поиском очередного набора. Чтобы победить в игре СеТ вы должны быть не просто внимательными, а предельно внимательными на максимальном уровне концентрации. 

 Показати на слайдах як це працює.

Розглянемо задачу 2 .Розглянемо СеТ з 9 карток (3 на 3).

Вісноки: отримали 13 СеТів. Задача схожа на рис 2, який має на одній прямій три точки.

 В цьому випадну допомогає формула  n*n+n+1, тому  3*3+3+1=13.

Висновки до уроку:

 1.Учні познайомилися з додатковим і цікавим матеріалом геометрії: САП і СПП.

2. Розглянули задачи, які підтвердили теорію скінченних площин.

3. Познайомилися з цікавою грою, яка не тільки є гра, а розвиває увагу, те що не вистачає іноді учням.