Розробки уроків для самостійного вивчення теми "Інтеграл і його застосування"

Про матеріал

Матеріали збірки переслідують головну мету: «Ввести систематизовані відомості про поняття первісної та інтегралу. Допомогти учням у вивченні матеріалу, результативному сприянню і усвідомленню нового матеріалу, набуттю навичок і умінь у розв'язуванні задач різного рівня складності, вчитися набувати знання самостійно, працювати в групах, парах, сприяти розвиненню логічного мислення, пам`яті і розширення кругозору» Розроблено картки – завдання для самостійної роботи, картки – тести, картки – завдання зі зразками розв'язання задач, практичні роботи, в яких використовуються знання всієї теми, завдання для тематичної атестації .На уроках при вивченні теми розглядаються зразки оформлення розв'язання задач з метою підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання .

Перегляд файлу

 

    Харківська загальноосвітня школа І-ІІІ ступеня №130             

Харківської міської ради Харківської області

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Викладач математики Ляхова Тетяна Петрівна

 

 

 

 

 

 

 

 

Харків – 2018

 

 

                                     ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Тематична папка використовується під час вивчення теми 

„ Інтеграл та його застосування» 

Ця папка містить десять уроків. Вона побудована відповідно до чинної навчальної програми з математики та містить орієнтоване планування теми та детальні роздаткові та дидактичні матеріали до уроків.  

Матеріали папки переслідують головну мету: «Ввести систематизовані відомості про поняття первісної та інтегралу. Допомогти учням у вивченні матеріалу, результативному сприянню і усвідомленню нового матеріалу,  набуттю навичок і умінь у розв’язуванні задач різного рівня складності, вчитися набувати знання самостійно, працювати в групах, парах, сприяти розвиненню логічного мислення, пам`яті і  розширення кругозору»

Теоретичний матеріал подано компактно, запропоновані зразки розв’язання і оформлення задач, таблиці для наочного сприйняття матеріалу, довідковий матеріал.

Розроблено картки – завдання для самостійної роботи, картки – тести,  картки – завдання зі зразками розв’язання задач, практичні роботи, в яких використовуються знання всієї теми, завдання для тематичної атестації .

На уроках теми розглядаються зразки оформлення розв’язання задач з метою підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання .

Майже на кожному уроці використовуються інноваційні технології навчання : 

„ Ажурна пилка ”, „ Інтерв’ю ” , „ Мікрофон ”, „ Незакінчене речення ”, 

„ Знайди помилку ”, „ Метеоритний дощ”,   „ Наведи порядок”, 

„ Рюкзак”,  „ Мозковий штурм” „ Знайди помилку ”, а також традиційні методи навчання.

Учні повинні 

 

*знати  :

 

                                                                            - означення , властивості первісної та інтегралу ;

 

-  правила знаходження первісної та інтегралу;

-  таблиця первісної ;

 

           - застосування інтегралу

 

* уміти :

 

                                                            -знаходити первісну для функції;

 

-                      застосовувати обчислювальні формули ;

-                      розв’язувати задачі на знаходження площі та об’єму тіл за допомогою                                      інтегралу

* цінувати :

-                     розвиток мислення; 

-                     розвиток графічних умінь;

-                     прагнення до ясності , простоти , раціональності ;

-                     твердість у досягненні мети ;

-                     здатність до результативної діяльності ;      - ініціативність. 

 

 

 

 

 

Дидактичні та роздаткові матеріали , які подаються в папці , несуть у собі такі ознаки інноваційності :

 

1)  можливість диференційованого та індивідуального підходу до вивчення матеріалу;

 

2)  розвиток творчих можливостей учнів та самостійності у добуванні знань , підготовки

їх до олімпіад та вступу до вищих навчальних закладів;    

Ефективність дидактичного та роздаткового матеріалу :

 

1)                матеріали дають змогу економити час на уроці ;

 

2)                матеріали дають змогу раціонально використовувати 12 – бальну систему оцінювання навчальних досягнень учнів;

 

3)                матеріали забезпечують засвоєння та поглиблення знань і способів дій на рівні їх застосування і у новій ситуації.  

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

 

ОРІЄНТОВНЕ ПЛАНУВАННЯ ТЕМИ  «ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ» (10 годин).

уроку

Тема уроку

Матеріал підручника

1

 

Первісна. Основна властивість первісної

§9, п1, контрольні запитання №1-9  задачі № 183,186 

2

 

Правила знаходження первісної

§9, п. 2 , контрольні запитання №1-4 

Задачі №178,189

3

 

Задачі, що приводять до поняття інтегралу. Визначення інтеграла

§9, п.1- 2 ,контрольні запитання №1-4 

Задачі №188,190

4

 

Фізичний і геометричний зміст інтеграла

§10, п.1-2 , контрольні запитання №1-7 задачі № 205,212

5

 

Визначений інтеграл, його властивості. Формула Ньютона - Лейбніця

§10, п.1-2 , контрольні запитання №1-7 задачі № 207(10;11),215

6

 

Розв’язування вправ

§10, п.1-2,контрольні запитання №1-4  задачі № 200;204

7

 

Застосування інтеграла 

§11, п.1-2,контрольні запитання №1-8  задачі № 207(4-5)210

8

 

Розв’язування вправ

§11, п.1-2,контрольні запитання №1-8  задачі №207(7;9),213

 

9

 

Розв’язування вправ

§10-11, скласти кроссворд за темою

 

10

 

Тематична атестація.

Повторити матеріал , індивідуальні завдання

            

УРОК № 1 ТЕМА «ПЕРВІСНА ТА ЇЇ  ГОЛОВНА ВЛАСТИВІСТЬ »

 

I. Тест для діагностики готовності вивчення теми: «Інтеграл та його застосування»:


 

№                                                                                                                                                                 

з\п                                         ПИТАННЯ                                              ВАРІАНТ ВІДПОВІДІ           БАЛИ

                                                                                                                                         А. x=3-2t        Б.  x= -2+3t                 1


1.               Яким є закон прямолінійного рівномірного руху   точки, якщо її швидкість дорівнює 2, а координата                                          в початковий момент часу t=0 дорівнює -3?          В. x=2-3t            Г. x=-3+2t

2.               Матеріальна точка рухається вздовж координатної А. 0.            Б.  3.    1 прямої за законом x= -2 sin t +t,  де x- координата  точки, t- час(t≥0). Якою є швидкість точки в В.  -3.            Г.  -1. момент часу t=π?

3.               При нагріванні тіла його температура змінюється А.2K\c. Б. 0,5 К\с. 1 за законом     

Т= 0,5t +2, де Т- температура, К, t -час. З якою      В. 0,5t  К\с.     В. Визначити швидкістю нагрівається тіло?       неможливо

4.               Яка з  функцій f (x) = 2x чи  g(x) = x 2 має більшу А. y= f(x)           Б. y= g(x) 1 В. Мають одинакові

              швидкість зміни в точці x =      ?                                      швидкості

Г. Визначити неможливо.

5.               Скільки функцій мають ту саму похідну?   А.Одна. Б. Дві.         1

В. Три. Г. Безліч

                      А. функція зростає на цьому           1                      проміжку.

6.               Якщо на деякому проміжку похідна тотожно         Б. функція спадає на цьому дорівнює нулю, то….     проміжку.

В. функція є сталою на проміжку

Г. нічого певного сказати не можна.

7.               Похідною якої фізичної величини є швидкість       А. Закон руру. Б. Часу.         1 руху?           В. Прискорення руху.   

Г.  Інша величина.

8.               Похідною якої фізичної величини є прискорення А.Закон руру.  Б.Часу.          1

руху?                            В. Швидкість руху. Г.  Інша величина.

9.               Серед наведених функцій укажіть функцію,  А. y = C f (x) 1 похідна якої дорівнює похідній функції y = f (x), y =− f (x)       якщо С – довільне число.    Б.

В. y = f (x) + C  Г. y = fC(x)

10.           Нерівномірно, залежно від змінної t , змінюється А. I = I0t   Б.V = V0(1+ 0,1t) 1 величина…   ρ=ρ0(t t0)   Г. Α= Nt2

В.

11.           Тіло рухається вздовж координатної прямої за      А. t= 2.                 Б. t = 12 .   1 законом x = 12 t2 4t + 5. В який момент часу його     В. t= 4.                 Г. t= 1. швидкість дорівнює нулю?


12.           Чому дорівнює площа фігури, затушованої на рисунку?

 


А.  1.               Б. 2.       1  В.  3.        Г. Інша відповідь

II. Теоретичний матеріал до уроку

 

                   

Занотуй в зошиті: Таблиця первісних

Функція f(x)

Загальний вигляд первісних F(x) +C

0

С

1

х + С

хn (n ≠ 1)

 

xn+1

n +1

+C

 

1 х

 

ln x + C

sin x

-cos x + C

cos x

sin x + C

 

1

cos2 x

 

tg x + C

 

1 sin2 x

 

-ctg x + C

ех

ех + C

ах

 

ах

ln a

                             

III. ЗРАЗКИ РОЗВ'ЯЗАННЯ   ЗАДАЧ

Вчимося розв’язувати задачі

 ЗАВДАННЯ 1  ( ІI рівень)  

            

 1. Довести ,що функція F(x)  є первісною  для функції f(x) на заданому проміжку:

 a) F   для  f        ,  де     x (0; +∞)  

 F′(x) =( F(x) для f(x)

б) F(x) = 3x + cos   для    f(x) = 3    первісна на  R                                                                     

F′(x) = ( 3x + )′ = 3  )  на  R F(x) первісна для f(x). 

                                                  ЗАВДАННЯ 2  ( ІІI рівень)

 

2. Для функції  f(x) = x2 найти первісну, графік якої проходить через точку (3;7).

1 3 +

                                         Розв’язання Первісна  даної функції дорівнює f(x) : F(x)= 3 x

C. Графік F(x) проходить через точку (3; 7), її координати перетворюють рівняння F(x) =

13 3 + C    в вірну числову рівність: 9 + C = 7, C = – 2.       Відповідь: F(x) =  x

 

 

 

 

    РОЗВʹЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ ЗА ПЛАНОМ

 (з обґрунтуванням кожного зробленого кроку )

 

ЗАВДАННЯ 3 ( ІІI рівень)

3. Графіки двох первісних  для f(x) = x2 проходять через точки A(1; 5) и B(3; 8). Графік якої первісної розташований вище? 

Розв’язання.     

1)    Для функції  f(x) = x2 первісна дорівнює  F(x)= 13 x 3 + C    

2)    виділимо із множини всіх первісних F(x) ті, графіки яких проходять через задані точки; 3)  координати точки A(1; 5) дають  5=  +C, С = 4  ;

1 3 + 4;

4)    через точку A(1; 5) проходить графік F(x)= 3 x

5)    координати точки B(3; 8) дають 8=   ˑ 27 + С, С= - 1;                 

1 3 - 1;           6)  через точку B(3; 8) проходить графік первісної  Ф(x)  =   3 x

1 3 + 4 вище

Відповідь. Графік першої  первісної F(x)= 3 x

1 3 - 1 функції  на 5 .          графіка другої первісної Ф(x)  =   3 x

                     Складемо послідовність виконання дій в подібних задачах.

Занотуй в зошиті:

Алгоритм виконання дій:

1

Знаходимо для даної функції  f(x) первісну F(x).

2

Записуємо  множину первісних F(x) + C, C = const.

3

Висновок: так як графік  F(x) + C проходить через точку (a; b), тоді її координати задовольняють рівнянню F(a)+C= b и C =b – F(a).

4

 Записуємо рівняння первісної.

             

           

          а) скільки первісних має дана функція?

б) що можливо сказати про графіки цих функцій?

          в) як отримати графік наступної первісної ?

 

 

3.   Які властивості має похідна функції?

4.   Які властивості має первісна функції?

5.Заповнити таблицю :   

 

 

№ з\п

Функція

 

Первісна

1

f(x) = 5

F(x) = ...

2

f(x) = 0

F(x) = ...

3

f(x) = ...

F(x) = – cos x + C

4

f(x) = xm (m 1)

F(x) = ...

5

                  f (x)=25x      

F(x) = ...

6

f(x) = cos kx

F(x) = ...

7

f(x) = ...

F(x) = 12sin x + C

8

2 4           f(x)= x +1 5x3 +1 7x

F(x) = ...

9

f(x) = ...

10

45x2                f (x)= 2x 17

F(x) = ...

          

Інтерактивна вправа: робота в малих групах.

 

         Робота в малих групах дає змогу набути навичок спілкування та співпраці.

Після об’єднання у малі групи ви повинні за короткий час (8-10 хв.) виконати завдання та представити результати своєї роботи .

САМОСТІЙНА  РОБОТА

 

 

І рівень - 3бала

ІІ рівень - 3 бала

 

ІІІ рівень - 3 бала

1.У «віконця » вписати

2.Чи є первісними для однієї і тієї ж функції наступні первісні: x +1 x

а)Ф 1 = x 1 , Ф 2 = x 1 ;

б) f(x) = x3, g(x) = x3 + 3x, h(x) = (x + 3)3, m(x) = x3 + 27?

3. Найти для функції

1 f (x)= x2 первісну, графік якої проходить через точку (2; 3).

 

1.У «віконця » вписати функцію із рівностей:

2.Чи є первісними для однієї і тієї ж функції наступні первісні: а) f(x) = x2, g(x) = x2 + 3, 

h(x) = (x + 3)2;

б) Ф(x) = cos 2x, Ф(x) = 2cos2 x?

3. Графік однієї  із первісних функції f(x)

= x2 проходить через точку M(– 1; 10), а другої через точку N(2;

– 6). Графік якої  із них розташований вище?

 

Самостійна робота

    Учням пропонується розв’язати завдання різної складності – середньої, достатньої, високої. Завдання оцінюються у 7, 9, 11 балів. Учні самі обирають картки і розв’язують завдання напротязі 15 хвилин.

 

Зразки карток з диференційованими завданнями.

Середній рівень

Знайти первісну функції:

І варіант

ІІ варіант

1

у = 4х;

2

у = 7х;

1

у = 5х;

2

у = 9х;

3

у = 5;

4

у = - 9;  

3

у = - 6;

4

у = 19;

5

3

у = х ;

6

7

у = х ;

5

2

у = х ;

6

у = - х6;

7

у = ( 2х + 3 );

8

у = ( - 5х + 1 );

7

у = ( 4 + 3х );

8

у = ( 5 - 8х  );

9

у = ( 3х3 + х 2+5х)

10

3

у =( 6х – 7х2 -4х)

9

           3            2

у=( х + 2х +7х)

10

3

у=( х – 8х2 + 2х)

11

у = - sin x;

12

y = 1 /  cos2 x.

11

у = 1 /  sin 2 x;

12

y = cos x.

 

Достатній рівень

Знайти первісну функції:

                                        І варіант                                                 ІІ варіант

1      у = (2х + 3 );            2      у = ( - 7х + 1);        1      у = (4х - 3 );            2      у = ( - 7х + 1);

3         у = 6 / x ;             4           у = - 9/ 2 x ;          3        у = - 3 / 2 x ;          4      у =   2 / ;

5       у = 32 х31 ;              6       у = -118 х11[1];            5      у = - 43 х44 ;             6      у = 612 х 611;

7          у = ( 2х4 + 3х );       8 у = ( - 5х6 + 15х );      7          у = ( 6х3 - 5х );           8          у = ( - 5х4 + 8х ); 9          у = ( 3х + 7 )2; 10 у = ( 6х – 4 )9;            9          у = ( 3х + 5 )5;             10 у = ( 4х – 7 )7; 11 у = - sin 6x;             12 y = 5 /  cos2 10x   11 у =  sin 106x;         12 y = 3 /  cos2 30x.

 

Високий рівень

Знайти первісну функції:

                                        І варіант                                                 ІІ варіант

1      у=(2х2 + 3     );       2      у=(- 6х +3 /4х2);     1      у = (4х3 + 7х );        2      у =(- 9 √х – 5х );

3         у = 16 / 16x ;          4        у = - 5/ 2 15x ;        3         у=-3 / 2 12x ;     4            у =  7/ 14x ;

5      у=36(3х + 1 )35 ;     6       у=-115(4х – 5)116;     5      у=-43(2х + 5)44 ;      6        у=612(- 5х–8 )611;

7 у = ( 2х4 + 3х ); 8 у = ( - 5х6 + 5х ); 7 у = ( 6х3 -  5х );   8 у = ( - 5х4 + 3х ); 9 у =25( 2х + 7 )4; 10 у = 100( 6х – 4 )9; 9 у=36( 3х + 7 )5; 10 у=49( 4х  - 4 )7; 11 у=-12sin (16x +5) 12 y = 5 /  3cos2 10x. 11 у = 45 sin 5x;         12 y=3 / 4 cos2 30x.                                                V. Рефлексія

Учням пропоную висловитися з питання:

1.Розвитку яких рис характеру сприяв урок (самостійності, спостережливості, відповідальності).2.Чи отримали ви задоволення від власної праці?

3.Чи вичерпали ви свої можливості?4.Що тобі сподобалось на уроці?

5.Порівняйте свої знання на початку уроку і в кінці

VI.Домашнє завдання

§9, п1, контрольні запитання №1-9 

             задачі № 184,186  

Практичне завдання :  

1. Запишіть первісні для функцій:

УРОК № 2 ТЕМА «ПРАВИЛА ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРВІСНОЇ

I. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ                                               Метод «НАВЕДИ ПОРЯДОК»

Записуємо на дошці розв’язання домашніх вправ з пропусками. Два учні заповнюють пропуски і пояснюють хід міркувань. Під час розгляду розв’язання завдань зошити в учнів закриті. Після закінчення пояснення учні відкривають зошити, кожен перевіряє свою роботу за зразком, підкреслює помилки.

                      (Одна правильна відповідь оцінюється в 1 бал)   1. Що називається інтегруванням функції? 2. Визначення первісної.

3.         Умова існування первісної.

4.         Признак сталості функції.

5.         Геометричний зміст первісної.   6. Заповнити таблицю:

  f(x)

 x , n≠1

  sin x

  cos12 x

   k

1

   

  cos x

  x12

1 sin2 x

   

  F(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 n

      Самостійна робота  

Робота в парах , перевір свого сусіда по парті і постав оцінку:

                        ( за кожну правильну відповідь – 1бал)                                          

                   1. Гра   «Встановіть відповідність»    

 

                        

Функція

Відповідність

Первісна

 

0

 

 

1

-cos x + C

n

х (n≠  1)

С

 

sin x + C

sin x

х + С

cos x

lnx + C

1

2 x sin

-ctg x + C

1

 

х

tg x + C

ех

                              ax             C

lna +

1

 

3 x3 x + C

5

3    2 х

15sin x 3

(2x+3)4

2 x +C

5cos x 3

0,4(3x4)3 (3x4)2

23 (3x4)2

                       (2x + 3)5        C

+ 1 0

х

х

                                               а                                                                           е + C

II.    ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ З ТЕМИ                                                        

Правила знаходження первісних

 

 

Правило 1. Якщо F - первісна функції f (x) , а G – первісна

функції g(x) , то F+ G – первісна функції f (x) + g(x).

Наприклад. Знайти первісну для функції:

а) f (x) = 1x + x ; б) f (x) = s i nx + c ox .

Розв’язання

а)

б)

F(x) = l nx + x2 + C

2

 

F(x) =−c             ox +ss ix +nC

.

 

 

Правило 2. Якщо F  - первісна функції f (x) , а k і b – сталі, то kF – первісна для функції kf (x) .

Наприклад. Знайти первісну для функції:

        а) f                      x ; б) f (x) = 15 ax.

Розв’язання

а) F(x) = 4t g x+C ;

                F(x) = 1 ax + C =      ax        + C.

б)

                               5 l an            5l an

 

 

 

 

 

Правило 3. Якщо F - первісна функції f (x) , а k і b – сталі (k 0),

1 F(k x+ b) - первісна для

то k функції f (kx+ b) .

Наприклад. Знайти первісну для функції:

 

 

 ЗАНОТУЙ В ЗОШИТІ:

Правило

I

II

III

Функції

      f + g

      kf

   f(kx +b)

Первісні

      F + G

      kF

 

1 k

 F(kx+b)

 

III. РОЗВʹЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ПЛАНОМ :                                                             

Вчимося розв’язувати задачі.

 

 

 

1. Знайти загальний вигляд первісної для функції:

а) f (x) = x14 c ox ;

             б) f (x) = 23x 2x; в) f (x) = 12 s     i n2x + 12 c o2x .

Розв’язання:

а) 1) Використаємо

F(x) = xα+1

α+1

2) Використаємо f (x) = xα (α1) функція        .

.

функції є

f (x) = x4 c ox ;

F x) = x4+1 s          i nx + C ; F(x) = x33 s i nx + C ;

(

                    4 +1                                

F(x) = − 13 s i nx + C . 3x

             Відповідь: F(x) =−s       i nx +C .

для

     первісною

 

б) 1) Використаємо, якщо

y = F(x)

 

f x;

FC ; F

F(x) =3 xx2 +C .

Відповідь: F(x) =3 xx2 +C .

C ;

- первісна для функції

Y = kF(x) - первісна y = kf(x) .

       2) Використаємо:

    f             - первісною є

F(x) = 2 x .

y = f (x)

, то функції: функції

для для  функція

 

в) Якщо F(x) - первісна для функції f (x) , то  (k і b – сталі) – первісна для функції f (kx+b) .

F(x) = 1 11 c          xo+ 1s1 s           xi +nC; 2

        F(x) = 2o+ ⋅s2s   xi+ Cn;

                       2               2    2            2

F .

Відповідь: F .

 

2. Для функції первісну, графік якої проходить через точку А:

y = f (x)

 знайти

а) f (x) = 5s       i n2x + 2c o3x , Аπ2 ;32  .

 

 

Розв’язання:

 

 

 

1)        Для функції первісну в загальному вигляді.

2)        підставимо знайдемо значення С.

y = f (x)

 запишемо

 

точки     А      і

          F(x) = 51          x

а)                 1 ⋅c 2o+ 2s13 s 3ix +nC;

2

     F                        s     i nC ; Аπ2 ;32  ;

2

     −     = −1 c 0πo: 2 +s 2s 3iπn + C ;

          3                2         3         2

C ;

C ;C =5 2 .

     Відповідь: F                                                       .

 

  У записану рівність замість х

абсцису

 

 

 

IV. Закріплення вивченого матеріалу

 

ПЕРЕВІР СЕБЕ! ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА                                             

«ТЕСТ»

Рівень

Завдання

 

Варіант відповіді

Бали

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1. Множина первісних для функції:

f (x) = 2+s i nx має вигляд:

 

а) F(x) = 2xc ox+sC F(x) = 2x+c ox+sC

в) F(x) = 2+c ox+sC ;  

 

 

 

1

2.Знайти загальний вигляд первісних для функції: y=5x4 .

а) 20x3 +C ;   б) x55 +C ;      в) x5 +C ;             

 

 

1

3.Знайти загальний вигляд первісних для функції: y=x2 +1.

      x33         C ;б) x3 + x+C в) x33 + x +C ;     

а)       +

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4. Графік якої  з первісних функції:

f (x) = x 4  проходить через точку А1;2 15 ?

а) F(x) = 5x4 2 54   б) F(x) = x55 + 2;

в) F(x) = 4x3 1 ;  

 

 

1,5

5. Знайти множину всіх первісних для функції: f (x) = c o s2(31x 2) .

а) F(x) =−3t g(3x2)+C ;

б) F(x) = t g(3x 2) + C ;

в) F(x) = c    (t g3x 2) + C ;

 

 

 

1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

6. Швидкість тіла, що рухається прямолінійно, виражається формулою V(t) = 4t3 3t2 + 2 . В початковий момент тіло перебувало у початку координат. Якою формулою виражається залежність координати х від часу t

 

 

а) x(t) =1 2t 2 + 6t ;

б) x(t) = t 4 t 3 + 2t ;

в) x(t) =1 t64 9t 2 + 2t ;

 

 

 

 

1

7. Знайти  загальний вигляд первісних для функцій:

1

f(x) = c o s2x s i n2 x ;    

 

а) F(x) = t gcx t g+ C

б) F(x) =t g2x + c        t g+ C

в) F(x) = 2t g2x c          t g+ C

 

 

1

8. Знайти первісну функції  

f(x) = 23 3 2x , графік якої проходить через точку А(1;2)

 

а) F(x) = 4(32x) +1,2

б) F(x) = (32x) +1

в) F(x) = (32x)2            32x 1,2

1

 

ІІІ. Узагальнення знань, вмінь і навиків

                    Інтерактивна вправа: робота в малих групах.

 Учні об’єднуються у три різнорівневі групи. Кожна група отримує завдання відповідного рівня складності. Учні записують розв’язки  у зошит, а один представник від групи працює біля дошки.

Знайти первісну функції:

            Середній рівень                  Достатній рівень                             Високий рівень

у = - 6 sin x + 3;         у = cos 5х + 5х; у =15 sin(3х+5) +10 cos(4х– 6) y = 6х5 – 7х6;       у = 5х2 – 7;         у = 30 ( 1 / 5* х)6 – (1 -2х)2 у = 2х + 1           у = 5 ( 1/ 2 x ) –       у = 6 / (3х2) – 9 .

 

 

 

Якщо є час, то далі можна запропонувати учням першої групи придумати  1 – 2 завдання на обчислення первісної для учнів 2 групи, учням другої групи – аналогічне завдання для учнів 3 групи. У цей час відбувається опитування учнів 3 групи. Потім учні 2 та 3 груп розв’язують отримані завдання, а учні 1 групи розв’язують додаткові  вправи.

 

Математичний диктант

Щоб перевірити правильність написання диктанту, викладач зачитує правильні відповіді, а учні ставлять “ + ”, якщо відповідь правильна, і “ - ”, якщо відповідь неправильна або відсутня. Оцінка відповідає кількості правильних відповідей, тобто кількості знаків “ + ”. 

№ з/п

ЗАВДАННЯ

1

 Напишіть   правила обчислення первісної у вигляді формул.

2

 Проілюструйте на малюнку головну властивість первісної.

3

Напишіть таблицю первісних елементарних функції.

4

Знайдіть первісні для функцій:

                             1                                            11

1) х7;        2) x ;        3) x3 ;        4) 5 x ;                               5) 3 x ;       6) ex;

                                         1                  1

7) πx; 8) cos2 x ; 9)  sin2 x ;  10)  cos х; 11) sin х;     12) x x

 

 

 

 

 

САМОСТІЙНА РОБОТА НАВЧАЛЬНОГО ХАРАКТЕРУ

Використовуючи твердження, перевір себе

Варіант 1

Рівень

Завдання

Бали

 

 

1

1. Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f(x) на вказаному проміжку:

а) F(x) = х ,  f(x) = -               х , х є (- ; 0);

б) F(x) = cos х - 2,  f(x) = -sin х,  х є (- ; + );

в) F(x) = 3x + cos ,  f(x) = 3  ,   х є (- ; + );

 

 

3

 

2

2. Знайдіть всі первісні для функції:

1

a) f(x) = 5;  б) f(x) = х5; в) f(x) = х ;  

 

3

 

 

 

3

3. Для даної функції f(x) знайдіть первісну, графік якої проходить через задану точку А:

1

а) f(x) = х4; А(-1; 0);  б) f(x) = 4 x , A(0; 1); в) f(x) = sin2 x , Аπ6 ;0.

 

 

3

Варіант 2

Рівень

Завдання

Бал и

 

 

1

1.Доведіть, що функція F(x) є первісною для функції f(x) на вказаному проміжку:

 

а) F(x) = (2х + 1)3;   f(x) = 6(2х + 1)2х є (- ; + );

 

б) F(x) = sin2х, f(x) = sin 2х, х є (0; + ).

F(x) = l nx + x2 + C  f (x) = 1x + x ; х є (0; + ). в)

2

 

 

 

3

 

2

2. Знайдіть всі первісні для функції:

1

а) f(x) = 3 х2 ;  б) f(x) = 10х;  в) f(x) =  .

 

3

 

 

 

3

3. Для даної функції f(x) знайдіть первісну, графік якої проходить через задану точку А:

1

а) f(x) = sin x, Α(π; 2);  б) f(x) = cos2 x , Аπ4 ;1

  в) f (x) = 3x2 23x А(1;2);

 

 

3

 

 

 

Інтерактивна вправа  «Метод незакінченого речення»

 

1. Функція  F(x) називається первісною  для функції  f(x) на заданому проміжку, якщо  …    2. Будь-яка первісна для функції f  на проміжку  I   може бути записана в вигляді …   n,        4) f(x) = x12 ,   5) f(x) = cos12 x ,                   

3.Якщо  1) f(x) = cos x,   2) f(x) = k,     3) f(x) = x

                                                                  1                              1

 6)  f(x)= sin x ,    7) f(x) =  ,   8) f(x) = sin2 x     , тоді загальний вигляд первісної буде записаний у вигляді… 

4.  Знаходження функції за даною похідною називається …   

5.  Первісна суми функцій дорівнює … 

6.  Первісна добутку числа і функції  дорівнює добутку … 

7.  Якщо функція  F(x)- первісна для функції  f(x), то функція   1k F(k x+ b) -     первісна  для функції … , де … 

8.З´ясувати, для якої із  функцій: f1 = sin3x,  f2 =  -3sin3x,  f3 = -sin3x – sin π,      f4  =  3sin3x   функція  F(x) = cos 3x – cos π  є первісною на ( - ∞; +∞)?

      

9. Знайти загальний вигляд  первісних  для функцій:   а) f(x) = 8,  б) f(x) = 2x

VI. Рефлексія

Учням пропоную висловитися з питання:

1.                       Порівняйте свої знання на початку уроку і в кінці.

2.                       Розвитку яких рис характеру сприяв урок (самостійності, спостережливості, відповідальності).

3.                       Якого життєвого досвіду ви набули (володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі).

3.     Чи отримали ви задоволення від власної праці?

4.     Чи вичерпали ви свої можливості?

5.     Що ти хотів би змінити під час уроку?

VII. Домашнє завдання

 

§9, п. 2 , контрольні запитання №1-4  Задачі №178,189

 Завдання  на картках:

 

№з\п

Завдання

1

Довести, що функція  F є первісна  для функції f на   R             

а) F(x) = x2 – sin2x – 1,                      б) F(x) =  3x5 – cos2 x  + 2,    f(x) = 2x – 2cos2x. f(x) = 15x4  + sin2x.  

2

Найти загальний вигляд первісної  для функції:     

а) f(x) = (3x +2)4 -

1

x6

 + 7;     б) f(x) = 5x4 + sin x.           в) f(x) =  5 - 

2                  1

3                  + c o s2 x

x

.           

3

 Для функції  f   найти   первісної  F, яка приймає дане значення в відповідній точці: 

                                                                                       3                                         5

a) f(x) = (x +4)2, F(-4) =3; б) f(x) = 2         x , F(9) =9   в) f(x) = 2     x ,  F(4) =2; 

 

 

 

УРОК № 3  ТЕМА « ПРИКЛАДИ ЗАДАЧ, ЩО ПРИВОДЯТЬ ДО                    

ПОНЯТТЯ ІНТЕГРАЛА.  ОЗНАЧЕННЯ ІНТЕГРАЛА »

 

                                  I. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ                       Інтерактивна вправа « МІКРОФОН»:

    Питання інтерактивної технології „ Мікрофон ”

1.      Що називаємо первісною для функції f(x)?

2.      Чи правда що F(x) = x2 є первісною для функції f(x) = 2x.

3.      Яка теорема показує, як пов’язані між собою всі первісні даної функції?

1

4.      Чи вірно, що первісна функції f(kx+b) дорівнює k F(kx+b)?

5.      Що ми називаємо невизначеним інтегралом?

6.      Яка первісна функції ех (F(x) = )?

7.      Чи є функція F(x) = 3x2+x-2 первісною для f(x)=6х+1?

8.      Чи є функція F(x) = 5 – 3x первісною для функції f(x) = –3 ?

9.      Що являє собою загальний вигляд первісної для f(x) = ?

Метод «Метеоритний дощ»

Записуємо на дошці розв’язання домашніх вправ з пропусками. Два учні заповнюють пропуски і пояснюють хід міркувань. Під час розгляду розв’язання завдань зошити в учнів закриті. Після закінчення пояснення учні відкривають зошити, кожен перевіряє свою роботу за зразком, підкреслює помилки.

F(x)=⊗ x+⊗

                                       

 

                           

                                    

                        II.ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ З ТЕМИ

III.   РОЗВ`ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ПЛАНОМ :

Вчимося розв’язувати задачі.

 

1. Обчислити інтеграл:

а)                         d x;   б

π

xdx

6

.

Розв’язання:

1)        Знайдемо первісну підінтегральної функції.

2)        У первісну замість х підставимо спочатку верхню межу інтегрування, потім – нижню та обчислимо різницю одержаних значень.

 

Відповідь: а)

2

; б) 8; в) 1; г)

4

.

2.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

а)

y=x2 +2

;

y = 4x

 

 

Розв’язання:

а) 1) В одній системі координат будуємо дані лінії.

(

y=x2 +2

 - парабола, вітки якої напрямлені вгору

 

вершина параболи.

3

11

пряма, яка проходить через точки: (0;4), (2;2).

х

1

2

у

3

6

а=1, а > 0). (0;2) –

2)        Знаходимо абсциси точок перетину даних ліній – межі інтегрування.

3)        Обчислимо площу утвореної фігури, використавши:

b

S = ( f1(x) f2(x) )d , де f1(x) -

a

функція, графік якої обмежує фігуру зверху,  f2(x) - функція, графік якої обмежує фігуру знизу.

Межі інтегрування: x2 + x 2=0;

x1 = −2 ; x2 =1. а=-2, b=1 –

1

= (4x x2 2)d

2

 

x2 +2=4x

+ 2)d =

 

межі інтегрування.

 

= −−+ 2 −+ 2 + 4 = 4 1

2

 (кв.од).

IV.   АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

ПЕРЕВІР СЕБЕ! ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА                                       

«ТЕСТ»

Рівень

Завдання

Варіант відповіді

Бали

 

 

1.Серед фігур, зображених

на                                              

рисунках,           криволінійною трапецією є:

 

А

 

 

Б                

В

 

 

 

1

2.       Первісною      для          функції f (x) = 3x 2 + 4x 1 є:

А. F(x) = x+ 4 Б. F(x) = x3 + 2x 2 x

В. F(x) = 3x3 + 4x 2 x  

 

1

3. Серед даних рівностей формулою Ньютона – Лейбніца є:

 

b

А f (x)d =xF(b) + F(a)

a b

Б f (x)d =xF(b)F(a)

a b

В f (x)d =xF(b) F(a)

a

 

 

 

1

 

4. Для функції f (x) = − x13 +s i nx

первісною, записаною в загальному вигляді є:

А. F(x) = − x34 + c   ox +sC

Б. F(x) = x14 +c      ox+sC

В. F(x) = x12 c ox +sC

 

 

 

 

1

  5.     dx дорівнює

А. 4 12     Б. 8            В. 4       

 

1

6. Фігура, обмежена лініями y = 0, y =cosx , x = −, x =  

зображена на рисунку: 

 А                          Б                     В

 

 

1

 

 

 

 

7. Для функції f (x) = 2x(x 2 +1) первісною, графік якої проходить через точку М(1;2), є:

А F(x) = 12 x4 + x2 + 12 Б

F(x) = 1 x4 + x2 1

                    2                2

В F(x) = 2x 4 + x 2 2

 

 

1

 

2

d x

8. s i n2(52x) дорівнює:

 

А.                 2c o s (52x)+C                

1

−      c o5s (2x) + C

2

В. C   

Б.

 

 

1

9.Для     функції f (x) = 3c o s3x

первісною,графік якої проходить

через точку B18π ;1 , є:

 

А. F(x) = 3s i n3x + 12

Б. F(x) = −3s i n3x 12

В. F  

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

d x дорівнює:

А. 91     Б. 87        В. 64        

 

 

1

11. Щоб обчислити площу фігури, обмеженої лініями y=2x2 і y=x2 +x+2, треба обчислити:

 

1

А. ( (x2 + x+2)2x2)d

2

    Б. (2x (x + x+2))d

В. (2x2 (x2 + x + 2))d

2

 

 

 

 

 

1

12.Площафігури,обмеженої лініями  y=x2 і  y= −x , дорівнює:

          2                        1

А. 3 кв.од.        Б. 2 кв.од.   В.1кв.од.

 

 

 

1

          

 

САМОСТІЙНА РОБОТА

 Учні самостійно вибирають завдання  за рівнями:

Рівень

№ картки

Бали

Середній рівень

картки № 1-2

4-6

Достатній рівень

картки № 3-4

7-9

Високий рівень  

картки № 5-6

10-11

 

Картка №1

Картка №2

Найти визначений інтеграл

1) d x

2

3 x d x 5 x d    2) 1 7 + 3 7 

1)

(x + 3x)d x

3

   2)   d x

( )

         3)                                             d

3)

d

4)

xdx

π

         5)                        d x

4)     xdx

π

        5)     c o sxd x

Картка №3

                 Картка №4

                                          Найти визначений інтеграл

4

1) (x5 6x)d x

4

5

1) (2x7 + 8x)d x

5

           2) d

       2)                                                   d

2 3x2d x 4 3x2d x

            3) 1        7     + 2         7    

3 5x3d x 3 5x3d x         3) 1           8          5        8           

           2π                                     π

3

4) 7sin3xdx 5) c o sxd x

           π                                   π

  4)   2                            s in xd x

 

 

Картка №5

Картка №6

Найти визначений інтеграл  

6

1) (x7 + 9x3)d x

6

7

1) (3x4 x5)d x

7

        

2)             c     xo       s            c  xo2 d 

        2)    d  

5 x2d x 6 x2d x            3)         

2 3x3d x 2 3x3d x          3)          

  4) xdx   5) x 4x4d x

3 2 5x3d x     4) dx 5) x

 

 

 

Інтерактивна вправа: робота в малих групах.

 

         Робота в малих групах дає змогу набути навичок спілкування та співпраці.

Після об’єднання у малі групи ви повинні за короткий час (8-10 хв.) виконати завдання та представити результати своєї роботи . Робота 2-3 рівнів:за виконання одного завдання – 

3 бала

ЗАВДАННЯ.  

Малюнок

І група

ІІ група

ІІІ група

                                 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти :  

 

Площу

криволінійної трапеції ОВА.

 

 

Знайти :  

 

Площу

криволінійної трапеції АВС.

 

 

Знайти :

 

Площу

криволінійної трапеції  ОВС.

 

 

Дано криволінійну трапецію.  Знайдіть :

1.                  Границі інтегрування.

2.                  Загальну формулу обчислення  даної площі за допомогою інтеграла. 3. Площу цієї  криволінійної трапеції.

 

                          V.Повторення вивченого матеріалу  

Інтерактивна вправа: «Метод незакінченого речення…»

1.      Функція F( x ) називається первісною для функції f( x ), якщо …

2.      Неозначеним інтегралом називають…

3.      Первісна функції f(k x +b) дорівнює…

4.      Формула для обчислення площі фігури…

5.      Криволінійною трапецією називається фігура…

6.      Означеним інтегралом є …

7.      Площа криволінійної трапеції це…

8.      Знаходження функції за даною похідною називається …   

9.      Інтеграл від суми функцій дорівнює … 

10.Інтеграл добутку числа і функції  дорівнює добутку…

Коментоване розв`язування завдань

 

 

 

1. Які із заштрихованих на рисунку  фігур є криволінійними трапеціями, а які — ні?

2.Побудуйте криволінійні трапеції:

 

             а) у = x2, x = 1, x = 2, у = 0;       б) у = sin х, x = 0, x = π, y = 0;

             в) у = е·*", x = 0, x = 1, y = 0;      r) y = x , x = 0, x = 4, у = 0.

 3. Обчисліть приблизно площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями  у = 2x , х = 0, х =4, у = 0, розділивши відрізок [0; 4] на чотири рівні частини і побудувавши східчасту фігуру із прямокутників.

(Відповідь: 7,5)

                         VII. Домашнє завдання  

§9, п.1- 2 , контрольні запитання №1-4 

Задачі №190,188

Домашнє  завдання: ( 4-е завдання для більш підготовлених учнів).  

1. Довести, що функція F(х) = 3х4 є первісною для функції f(х) = 12х3 на проміжку  (- ; + );  

d x

2.Вичислити інтеграл

π

3.Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = cos x, у =0, х = - 2 ,  x =    .

4.Вичислити площу фігури, обмеженої лініями у = х + 3, у = 0, х = 1 и х = 3.

 

УРОК  № 4 ТЕМА «ФІЗИЧНИЙ ТА ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ                

ІНТЕГРАЛА»

                             I. Перевірка домашнього завдання

По готовому домашньому завданню, раніше зробленому викладачем на дошці учні виконують самоперевірку, виставляють оцінку в зошит та лист самооцінки:

Завдання 1        

Довести, що функція F(х) = 3х4 є первісною для функції f(х) = 12х3 на проміжку  (- ; + );   

Рішення.   За визначенням первісної F´ (х) = f (х). Отже, F’ (х) = (3х4)’ = 3•4•х3 = 12х3 = f (х) для всіх    х €(- ; + );

Завдання 2

d x  Обчислити інтеграл

Рішення.              

Завдання 3  

Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями  у = х + 3, у = 0, х = 1 и х = 3.

Рішення.   Намалюємо лінії, задані рівняннями та побудуємо криволінійну трапецію, площу якої будемо знаходити.

 

SАВСД

Відповідь: 10 кв.од.

 

 

 II. Повторення теоретичного матеріалу 

1. Інтерактивна технологія „Робота в парах”

Учні об’єднуються парами , відповідають на питання , поставлені один одному , таким чином повторюють теоретичний матеріал та готуються до виконання навчальної самостійної роботи : один учень відповідає на питання парних номерів списку , а інший – непарних .   

Питання.

       1.Сформулювати  признак сталості функції.

       2.Сформулювати основної властивості первісної.

       3.В чому полягає геометричний зміст основної властивості первісної?

       4.Скільки правил знаходження первісної ти знаєш?  Назви їх.

       5.Дати визначення криволінійної трапеції.

       6.Сформулювати  теорему про площу криволінійної трапеції.

       7.Що називається інтегралом?

       8.Запишіть на доці формулу Ньютона - Лейбніца і дайте роз’яснення цій формулі.

                    ІНТЕРАКТИВНА ВПРАВА «МОЗКОВИЙ ШТУРМ»

   

Теоретичний  багаж ваших знань по темі  «Інтеграл» достатній.  Перевіримо,   як ви вмієте застосовувати його на практиці.  

 

1. Чи вірні наступні рівності:

а).        в). ;     г)  ; д) x ;

є) 3 5d = x52x23 = 52 (32 02) = 4 ;           ж) 1 x2d =xx331 = 13(10) = 13 ;

2

                            00                                                                                                                                                00

 

2.Чи є фігура, яка зображена на малюнку криволінійною трапецією? (опрацювання

задач 1,2,3,4,5)

Задача 1.                                                                      Задача 2.

 

 

 

 

 

 

              .

Задача 3.                                                                    Задача 4.

3.Записати за допомогою інтеграла формулу, за якою знаходиться кожна

площа, зображена на малюнках вище                                                

III. ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

 

 Знаємо, що коли x=x(t) –закон руху матеріальної точки, тобто  залежність її координати від часу, то x´(t)=v(t).Це означає, що функція x=x(t)- одна із первісних для функції  v= v(t).

Отже, переміщення точки дорівнює приросту первісної для функції v= v(t) на проміжку ( tº;T).  

 

 

 

 

Зверніть увагу, що значення інтегралу не залежить від вибору первісної для підінтегральної функції.

Фізичний зміст інтеграла.

Інтеграл ʃ V(t)dt при V(t) ≥ 0 дорівнює шляху, пройденому матеріальною точкою, яка рухається прямолінійно зі швидкістю V= v(t), за проміжок часу  ( tº;T).

 

 

 

 

Геометричний зміст інтеграла.

Інтеграл ʃ f(x)dx від невід´ємної неперервної на відрізку (а;в) функції y=f(x) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком цієї функції і прямими y=0, x=a, x=b.

 

 

      

 

 

 

 

                            

 

 

 

 

 

                               

 

                                   IV. РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

                 ОБГРУНТОВУЮЧИ КОЖНЕ ТВЕРДЖЕННЯ, ПЕРЕВІР СЕБЕ

 ЗАВДАННЯ  ІV рівень

Фігура, обмежена лініями  у = -2х + 8, х = -1, у = 0,  поділяється лініями у = х2 – 4х + 5 на дві частини. Обчислити площу кожної  частини. 

 

Рішення.    

1.Розглянемо функцію у = х2 – 4х +5. Після перетворень отримаємо: у = х2 – 4х +5 = (х2 – 4х + 4) – 4 + 5 = (х – 2)2 + 1,  тобто графіком даної функції є парабола с вершиною К(2; 1).

2. S         = 2

         ∆АВС       1   51 0= 2 5.

3. SАВКМЕ

4.  S1 = SАВКМЕ + S∆ЕМС,    S1 = 13

5.  S2 = S∆АВС – S .

Відповідь: S1=14  (кв.од)(кв.од.)

                                                     Завдання  III рівень

Знайдіть площу фігури, обмеженої параболами у = х2 і у = 2х - х2 та віссю ОХ.

Рішення

Побудуємо графіки функцій у = х2 і у = 2х - х2 і знайдемо абсциси точок перетину цих графіків із рівняння: х2 = 2хх2. Корені цього рівняння х1 = 0, х2 = 1. 

Ця фігура складається з двох криволінійних трапецій: ОАВ і ВАС.

Отже, шукана площа дорівнює сумі площ цих

трапецій: S =1 x2d +2 (2xxx2)d = x3x1+x2 x3 2 =1

                                                                                                         0                          1                                                       30              3 1

Відповідь:   S=1 ( кв.од.)

               

V Актуалізація опорних знань, умінь і навиків                         УСНА ВПРАВА

1.  Які з функцій y = 2 x, y = 4 x , y = 2 x +3 , y = x -1  є первісними  функції  y

1

=  ?

2.  Знайти  загальний вид первісної  для функцій : а) у =7,5; б) y= 12 x + x4; в) y=2 sinx cosx          

3.  Скажіть, як знайти за допомогою  інтеграла знайти  площу фігури  Ф?  

`  

4.  Представити  площу заштрихованої фігури як суму чи різницю площ криволінійних трапецій, обмежених графіками відомих вам ліній.

 

 

                    VI Закріплення вивченого матеріалу

Самостійна робота по варіантам навчального характеру.                         

Таблиця варіантів

 

варіант

задачі

 

І

1,4,8

 

ІІ

2,6,9

 

ІІІ

3,5,8

 

ІV

2,7,10

 

 

ЗАВДАННЯ

БАЛИ

 

1

Найдіть функцію f(x), для якої F(x)= cos3x-cosπ є первісною  на .

1

 

2

4

Обчислити інтеграл .

1

 

3

 Найдіть        загальний      вигляд      первісної       для                                            функції

3 f(x)= s i n2 x + 4c o sx .

1

 

4

5

Використовуючи геометричний зміст інтеграла, знайти: x     3                                                                                                        dx .

4

2

 

5

Найдіть первісну F(x) для функції  f(x)=x2 на , графік якої проходить через точку М(-1;3).

2

 

6

Найти закон руху точки, якщо швидкість прямолінійного руху точки  змінюється за законом v(x)=3t 22t .

2

 

7

 dx

Обчислити інтеграл                     .

2

 

8

 

Найдіть площу фігури, обмежену лініями: y=2sinx, y= - sinx,  0x π  

3

 

9

Найдіть площу фігури, яка обмежена графіком функції y= x+2 , дотичною до нього в точці з абсцисою  x0=2 і прямою y=0.

3

 

10

Найдіть площу фігури, обмежену лініями: y=x2 , x+y=6, y=0.

3

               

     Інтерактивні технології - робота в малих групах

         Робота в малих групах дає змогу набути навичок спілкування та співпраці.

Після об’єднання у малі групи ви повинні за короткий час (8-10 хв.) виконати завдання та представити результати своєї роботи .

                            Картка – завдання з друкованою основою

Рисунок

Варіант

Завдання

1.Дана фігура обмежена  графіками відомих функцій:                              y=x?    і y=x?

Згадайте формули цих графіків функцій  та знайдіть:

 

 

І варіант

Знайти площу криволінійної трапеції

ОNCD

 

ІІ варіант

 

Знайти площу криволінійної трапеції

ОMCD

ІІІ варіант

 

 

Знайти площу затушованої  трапеції

ОMCN

 VII. Рефлексія Учням пропоную висловитися з питання:

1.Розвитку      яких    рис      характеру       сприяв            урок    (самостійності,          спостережливості, відповідальності).

2.Чи отримали ви задоволення від власної праці?

3.Чи вичерпали ви свої можливості?

4.Що тобі сподобалось на уроці?

5.Порівняйте свої знання на початку уроку і в кінці

VIII. Домашнє завдання

§9, п.1-2 , контрольні запитання №1-7 

                 задачі № 207(4,5),212 1.Підготувати цікаву інформацію про І. Ньютона та Г. Лейбніца.

2.Практичне завдання:

Завдання: 

1

Довести, що функція  F є первісна  для функції f на   R  

а) F(x) = 3x – x2,             б) F(x) = x2 – sin2x – 1,                       f(x) = 3 – 2x.                   f(x) = 2x – 2cos2x.                               

2

 Найти  загальний вигляд первісної  для функції:     

                                                                                                    x                                                       1

a) f(x) = 2x – 4;                 a) f(x) = 4x3 + cos 2 +3;              а) f(x) = (3x +2)4 - x6 + 7;

 

3

 Для функції  f   найти   первісної  F, яка приймає дане значення в відповідній точці: 

3

x 2

 , F(

π

3

а) f(x) = 2      x , F(1) =9.         б)f(x) = 2 sin5x+ 3cos                  )=0.  

 


УРОК № 5  ТЕМА «ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГАЛ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ»

I. Повторення теоретичного матеріалу проведемо у вигляді розв´язування кросворду

3.  Операція знаходження первісних.

4.  Вчені, які знайшли формулу для обчислення площі криволінійної трапеції. 5. Інтерпретація основної властивості первісної.

6.  Назва функції F(x) для f(x).

7.  Сукупність всіх первісних.

8.  Величини, які знаходять з допомогою визначеного інтеграла.

По вертикалі

1.Тема, яку вивчаємо

II.        Перевірка домашнього завдання:

МЕТОД «НАВЕДИ ПОРЯДОК »

Записуємо на дошці розв’язання домашніх вправ з пропусками. Два учні заповнюють пропуски і пояснюють хід міркувань. Під час розгляду розв’язання завдань зошити в учнів закриті. Після закінчення пояснення учні відкривають зошити, кожен перевіряє свою роботу за зразком, підкреслює помилки.

РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ:

 

1

Довести, що функція  F є первісна  для функції f на   R  

а)

б)

F(x) = (3x x2)= 32

    

F(x) = (x2 s         2xi 1n)= ⊗x 2c    ox

 

2

 Найти загальний вигляд первісної  для функції:     

а)  б

в)

F(x) = x4x + ⊗

  

)

F(x)= x+ 2s       xi n+⊗x +C

 

F

 

3

 Для функції  f   найти первісної  F, яка приймає дане значення в відповідній точці: 

а) F(x)=⊗ x +⊗

б)

F

 

                                                         

Встановити відповідність:

(Кожна правильна відповідь оцінюється  в один бал)

1

4

 x     xdx

1

Т

π4

                         −   3

                  64         

2

dx

Н

9 3

3

π

(x2 + 2s i nx)d

0

Ь

3

547

4

d x

Ф

4,5

5

2                d x

2   2x + 5

О

4

6

3π dx

∫    2 x    

0 cos

9

Ю

                

 

 

 

III.     ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

 

 

III. Актуалізація опорних знань, умінь і навиків.

                                               Інтерактивні технології  

«Ажурна пилка» КАРТКА ДЛЯ    ГРУПИ №1( Додаток  №2 )

Рівн

і

 

ЗАВДАННЯ

 

Бали

 

 

2

=

1.Доведіть, що функція:  F(x) = s i n2 x +1 є первісною  для  функці sin2x,          якщо  х R.  

ї

 

1

   2.Знайти  загальний  вигляд  первісної  для  функції:

а)  f (x) = 3 + х2; б)  f (x) = 2х + 4с о .  

 

 

2

 

 

 

3

 

   3.Розв’язати  задачу:

-          швидкість  прямолінійного  руху  точки  змінюється  за  законом υ(t) = 3t 2 2t .  

-          Знайти  закон  руху  точки,  якщо  при  t=1 c  x(t)=4м  (2 бали).

:

 

1

 4. Обчислити  інтеграл: 2 dxx ;         б)   .            

а)  3

1

 

 

2

 

 

 

4

 

5.Обчислити площу заштрихованої фігури:

 

 

3

КАРТКА ДЛЯ  ГРУПИ  №2

Рівні

ЗАВДАННЯ

БАЛИ

 

 

2

1.Доведіть, що  функція:   F(x) = x32 +1    є  первісною  для  функції  f (x) = − 63 на  проміжку   (−∞;0).   

x

 

1

  2.Знайти загальний  вигляд  первісної  для  функції:

 

2

 

 

                                      а)  f (x) = x x42 ;   б)      f (x) =1+ 13 s i n3x .

 

 

 

 

 

3

б

3.Розв’язати  задачу:

-          швидкість  прямолінійного  руху  точки  змінюється  за  законом υ(t) =1 0t 2 .

-          Знайти  закон  руху  точки,  якщо  при  t=3 c  x(t)=8м.

:

 

1

4.Обчислити інтеграл:

                                                  1                                                                                          dx .

а)  d x;         б)  

4

 

 

2

 

 

 

4

 

5. Обчислити площу заштрихованої фігури:

 

 

 

                   КАРТКА ДЛЯ  ГРУПИ №3  Картка для більш підготовлених учнів.

 

                   Інтерактивна вправа: « Знайди помилку»

1.                                                                             

2.   l4e2nxd = 12e2x ll 34x= nn12(e2l 4 en 2l 3) =n12(el 11 nel 91 )6=n 12(11 19) = − 12(617 ) = 27 

       l 3          n

 

Вправа «Рюкзак»

Завдання

1.Відповісти на запитання

                                                 2.Скласти відповіді у рюкзак

Сьогодні на уроці

Я взнав:  

1. _________________________________________

2.__________________________________________  

3.__________________________________________

4.__________________________________________

5.__________________________________________ Я навчився:

1.____________________________________________

2.____________________________________________

3.____________________________________________

4.____________________________________________

5.____________________________________________

VI. Рефлексія

Учням пропоную висловитися з питання

         1.Розвитку яких рис характеру сприяв урок (самостійності, спостережливості, відповідальності).

2.Які пізнавальні процеси були задіяні на уроці найбільше (мислення, пам’ять, увага, уява)?

3.Якого життєвого досвіду ви набули (володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі).

4.Чи отримали ви задоволення від власної праці?

5.Чи є бажання повторити свої відчуття?

VII. Домашнє завдання

§10, п.1-2 , контрольні запитання №1-4                   задачі № 207(10,11);215.

1.Видатний учений Ісак Ньютон сказав: ,, У математичних питаннях не можна нехтувати й найменшими помилками “. Спробуйте знайти помилку у висловлюванні ( запис на дошці ). Один громадянин писав про себе: ,, Пальців у мене двадцять п’ять на одній руці, стільки ж на другій, на ногах десять…” Чому він такий потворний?

2.Практичне завдання:

Швидкість  прямолінійного руху  точки задається формулою:    а)V(t) = t – 3t + 2.               

б) v(t) =4 cos (3t -   .

Написати формулу залежності її прискорення  а і координати x від часу t в початковий

момент часу (t =0) і при  t =

, коли координата  x =

; х= - 5.         

2

 

 

 

УРОК № 6  ТЕМА «РОЗВ´ЯЗУВАННЯ ВПРАВ»

 

I.ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО   ЗАВДАННЯ

                           Інтерактивна вправа « МІКРОФОН»:

Питання вправи:

1.      Що називаємо первісною для функції f(x)?

2.      Чи правда що F(x) = x2 є первісною для функції f(x) = 2x.

3.      Яка теорема показує, як пов’язані між собою всі первісні даної функції?

1

4.      Чи вірно, що первісна функції f(kx+b) дорівнює k F(kx+b)?

5.      Що ми називаємо невизначеним інтегралом?

6.      Яка первісна функції ех (F(x) = )?

7.      Чи є функція F(x) = 3x2+x-2 первісною для f(x)=6х+1?

8.      Чи є функція F(x) = 5 – 3x первісною для функції f(x) = –3 ?

9.      Що являє собою загальний вигляд первісної для f(x) = ?

10.  Чи вірно, що  + C

                        МЕТОД «МЕТЕОРИТНИЙ ДОЩ»

Записуємо на дошці розв’язання домашніх вправ з пропусками. Два учні заповнюють пропуски і пояснюють хід міркувань. Під час розгляду розв’язання завдань зошити в учнів закриті. Після закінчення пояснення учні відкривають зошити, кожен перевіряє свою роботу за зразком, підкреслює помилки.

Завдання

Рішення

 

Відповідь

207(10)

Знаходимо межі  інтегрування:

x =3 x , x3 = x2 , x2(x 1) = 0 x1 = , x2 = , тоді

S= (          )

1 3 x xd =⊗3xx4 − ⊗3 x2  10 = ⊗4 − ⊗2 =⊗

          0                                                

 

S=

 

 

207(11)

Знаходимо межі  інтегрування:

 

 

S = 4 1

2

 

 

x2 = 2 x, x2 +x2 = 0, x1 =⊗, x2 =⊗

,тоді

 

S=

1

(2 x x2)d

2

x=

xx− ⊗3 

⊗       2        3

2 1 1 + 4 + 2 8= ⊗

      2    3               3

215

Якщо

T(t)

-температура рідини змінюється від часу і швидкості нагрівання, то приріст функціїT(t)на проміжку[1;4]буде

 

 

o

C

 

дорівнювати:

 

 

4  ⊗t2t 2t 14 = 2 − ⊗ − 234+ 2 = ⊗ T(4)T(1) = (x 2)d =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

САМОСТІЙНА РОБОТА 

ВИКОРИСТОВУЮЧИ ТВЕРДЖЕННЯ, ПЕРЕВІР СЕБЕ

 

 

 

Рівні

 

 

Завдання

 

 

Бали

 

 

 

1

 

1. Побудуйте схематично фігури, площі яких виражаються такими інтегралами:

            2                                               2                                               π2                                 3 dx

a)  xdx ;     б) 2dx ;    в) xdx;    r x .

11

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

3.        Запишіть за допомогою інтеграла площі фігур, зображених на малюнках

 (а-г):

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

3. Знайти первісну функцій, що задовольняють дану умову:

                1) f (x) = 13s    i n3x + 4c                        o4x,   F(π) = 3; 2) f (x) = 3 x2 + 34x ,

F(1) = 0 ;

                3) f (x) =                                   2x81 , F(0,5) = 7                  4) f (x) = 33x 50,2x ,

F(0) = 0.

 

 

 

3

II.   Приклади розв’язування задач                                       (з послідовним  коментарем)

                                                        Завдання 1

 

Знайти всі первісні функції  f1(x) = x2  , графіки яких дотикаються параболи  f2(x) = x2 +1.  

 

Рішення.

В точці дотику    F(x) =f2(x)  і    f1(x) = f2′(x) (за визначенням дотичної)

F(x) =   - загальний вигляд первісної для функції f1(x): f2′(x) =2x   і     x2 = 2x,  звідки    x =0 або     x =2.

1)  x=0,    C=1 отримаємо   F1(x) =            

2)  x =2 ,     ,   C =    отримаємо F2(x) =          .  

Відповідь: F1(x) =            ,   F2(x) =              .   

Завдання 2

Для функції  f(x) = s  i n2 x + c o2 x +ss  i n3x   знайти первісну , графік якої проходить через точку  

А (π6 ;)  

Рішення.

Перетворимо функцію f(x) = 1 + sin3x . Тоді   F(x) = x -  c o s3x + C  − c o +s C = ,       C = 0     отримаємо    F(x) = x  c o s3x   .  

Відповідь: F(x) = x  c o s3x   

 

ІII. Актуалізація опорних знань, умінь і навиків.                  

Самостійна робота по варіантам навчального характеру.

                    Таблиця варіантів

 

                 САМОСТІЙНА РОБОТА

                                    МЕТОД «ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИЙ ВИХОР»  Робота в малих групах дає змогу набути навичок спілкування та співпраці. Після об’єднання у малі групи ви повинні за певний час (15 хв.) виконати завдання та представити результати своєї роботи .

   Правила роботи в малих групах  див.   Додаток № 1

                                                     КАРТКА ДЛЯ  ГРУПИ №1  

№з\п

ЗАВДАННЯ

БАЛИ

  

2

 1. Доведіть,  що  функція:   F(x) = с os i ns x2x 7    є первісною                                                    для  функції  f (x) =−s i nx 2c o2x  на  проміжку   (−∞;).   

1

    2. Знайти загальний  вигляд  первіс

а)  f

ної для  функції:

   б)  f  .

 

2

3

  3. Розв’язати  задачу:

-                    швидкість  прямолінійного  руху

-                    Знайти  закон  руху  точки,  як

 точки  змінюється  за законом: υ(t) = 4t3 4

що при  t=2 c  x(t)=7м.

 

1

б  4.Обчислити  інтеграл:

                                               а) d x;         б)   .

 

2

  

4

5. Обчислити площу заштрихованої фігури:

  

    3

КАРТКА ДЛЯ  ГРУПИ  № 2 Картка для більш підготовлених учнів.

№з\п

ЗАВДАННЯ

БАЛИ

 

2

 1.Доведіть,  що  функція:       є первісною  для  функції                                   на  проміжку               

 

1

   2.Знайти  загальний  вигляд  первісної  для  функції:

                                        а)                                б)                                    

 

2

 

3

  3.Розв’язати  задачу:швидкість  прямолінійного руху  точки  змінюється  за ном: .  Знайти  закон  руху  точки,  якщо  при t=2 c  x(t)=5 м   

 

1

б 4. Обчислити  інтеграл:

а)                                         б)                                         

 

2

 

4

5. Обчислити площу заштрихованої фігури:

 

3

ВПРАВА «ВСТАНОВИ ВІДПОВІДНІСТЬ»

 

 

Виберіть правильне твердження для кожної фігури, з'єднайте прямими у      відповідності до малюнка.

 

 

 

VI.Рефлексія

Учням пропоную висловитися з питання

1.      Що тобі сподобалось на уроці?

2.      Що ти хотів би змінити під час уроку?

3.      Порівняйте свої знання на початку уроку і в кінці.

4.      Які пізнавальні процеси були задіяні на уроці найбільше (мислення, пам’ять, увага, уява)?

5.      Якого життєвого досвіду ви набули (володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі).

 

V.Домашнє завдання

§10, п.1-2 , контрольні запитання №1-4                   задачі № 200(6-9),204(1-2)

 

1.Практичне завдання:

ЗАВДАННЯ

1. Побудуйте схематично фігури, площі яких виражаються такими інтегралами:

 

a) 

в)

;     б) xdx;     r)

;     .

cos

0

3 dx

x

1

2. Знайти первісну функцій, що задовольняють дану умову:

 

1)

 2)

3) 4)

 

;         

;

) = 0.

 

УРОК № 7  ТЕМА «ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛА»

                    I. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

                     Повторимо теоретичний матеріал, розгадавши кросворд.  

  Кросворд

 

1.Ключове  слово: як називається  функція F(x)?

2.  Що є графіком функції у = ах+b?

3.  Найменша учнівська оцінка.

4.  Який урок звичайно проходить до заліка? 5. Синонім слова дюжина?

6.  Він є в кожному слові, у рослин  і можливо є в рівнянні .

7.  Що можливо розрахувати за допомогою інтеграла?

8.  Одне із важливих понять математики.

9.  Форма урока, на якому проводять перевірку знань.

10.Німецький вчений, в честь якого названа формула, що  з’єднує  площу криволінійної трапеції  і інтеграл. 

11. Множина точок площини з координатами (x, f(x)), де х пробігає область  визначення функции f. 

12.Відповідність між множинами Х и Y, при якій   кожному значенню  із множени  Х поставлено  в відповідність  одне значення із множени Y, носить назву ....

                                                                                                         Метод « Метеоритний дощ »

Записуємо на дошці розв’язання домашніх вправ з пропусками. Два учні заповнюють пропуски і пояснюють хід міркувань. Під час розгляду розв’язання завдань зошити в учнів закриті. Після закінчення пояснення учні відкривають зошити, кожен перевіряє свою роботу за зразком, підкреслює помилки.

ЗАВДАННЯ

1. Знайти первісну функцій, що задовольняють дану умову:

1)

2)

 3)

4)

F(x) = −c    ox + ss i xn+ 3,5

 

,

F(x)= 3 x(0,6x+⊗)6,

F(x)=⊗ 2x1+⊗

F(x) = 33x 50,2x +      5

                ln3        ⊗         ln0

ІНТЕРАКТИВНА ВПРАВА «МОЗКОВИЙ ШТУРМ»

№з\п

Завдання

Бали

1

Похідна функції F(x) дорівнює . Знайдіть функцію F(x).

1

2

Знайдіть загальний вид первісних для функцій:  а) y=2; б) y=-5x+3;   в) y=2(4x+1);   г) y=3x.

1

3

а) y= x2  б) y=3x2 +2x  в) y=x3x3   г) y=x2 5x4

1

4

а) y=sin x; б) y=3sin x;  в) y = c o s x π3   г) y = sin22 x

1

5

а) y= (x2)4 б) y=(2x+5)5 в) y= (27x)1 0 г) y=2(2x+5)4

1

6

а) y=2sin 2x  б) y = c o s22 3x в) y = s i n1,5x(+ 2) + 2 г) y = 2s i nxc o sx

 

1

7

Швидкість прямолінійного руху точки змінюється за законом v(t) = 3t 2 2t . Знайдіть закон руху точки.   

 

1

8

Тіло рухається по прямій зі швидкістю v(t) = 4t + 2 (t – час у секундах, v – швидкість у метрах за секунду). Знайдіть довжину шляху, пройденого тілом за перші 3 с.

 

1

9

Знайдіть шлях, пройдений точкою за перші 5 с, якщо швидкість точки змінюється за законом v(t) =1 02t (t – час у секундах, v – швидкість у метрах за секунду).

 

1

10

                                                              1 xdx   б) 2                         dx   в) 2 x dx   г)π                xdx

Обчисліть інтеграли:    а)

0

 

1

11

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=x, y=0 і x=3.         

1

12

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=2x, x=a та x=b, де a>0, b>a.     

1

 

                                     ВЗАЄМОПЕРЕВІРКА- 5 хвилин

 Учням пропонується після розв’язання прикладів помінятися зошитами  і перевірити самостійну  роботу у сусіда по парті за зразком, який буде спроектовано на екрані. Оцінку за роботу поставити в зошит та лист самооцінки відповідно до критеріїв оцінювання.

                                        

                                                                                                    

ПЕРЕВІРНА РОБОТА №1

Варіант №1

Варіант №2

Найти визначений інтеграл:

          1)1                   s i nd ;

     2)                      d x;    3)                      .

1

         1) 0 x c oxsd          2)d x;    3)

;

d x.

Варіант №3

Варіант №4

 

Найти визначений інтеграл:  

1)                                     d ;

0

π

4

2)                                  s i n2x c o s2x d ;   

0

2

3)                                  d x.

0

1)    (1 x2+ 3c            ox s2)d ;

3

2)    2cos2 3xdx;         3)       d x.