Міністерство освіти і науки України

НВК: загальноосвітня школа І-ІІ ступенів №34 –

економіко-правовий ліцей «Сучасник» - ДЮЦ

 

 

 

 

Розв’язки завдань

частини №3

зовнішнього тестування

 

 

 

 

 

                                                                               Вчитель математики,

                                                                                        інформатики та економіки

                                                                                  НВК Костюкевич П.П.

 

 

Кіровоград - 2019

Варіант 1 (2006 рік)

 

37. Дано правильний шестикутник зі стороною 2см. Знайдіть:

а) площу шестикутника;

б) значення параметра , при якому вектори і перпендикулярні;

в) довжину вектора , де точки - середини сторін відповідно.

Розв’язання:

а) , де - сторона шестикутника. .

б) Введемо прямокутну декартову систему координат: центр – точка ; вісь абсцис співпадає з напрямком вектора ; вісь ординат така, що вектор лежить в першій чверті. В цій системі координат маємо: , тоді . Необхідно, щоб (необхідна умова перпендикулярності векторів).

.

в) Запишемо координати точок та , тоді . .

. .

Відповідь: а) ;  б) ; в) .

 

38. Задано функцію . Знайдіть:

а) область визначення функції;

б) нулі заданої функції;

в) усі розв’язки нерівності .

Розв’язання:

а) Область визначення знаходимо, розв’язавши систему: , де . Графічно розв’язок системи зображено на малюнку 1.

 

 

 

 

 

 

 

.

б) Маємо рівняння: . Останнє рівняння підносимо до квадрату: . Очевидно, що , отже, це значення не потрапляє в ОДЗ.

в) Позначимо: . Нерівність еквівалентна сукупності систем: . Графічно розв’язки систем показано на малюнках 2. 3. Розв’язками будуть інтервали, на яких збігаються розв’язки нерівностей. (На графіку – накладання).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь: а) ; б) ; в) .

Варіант 2 (2006 рік)

 

37. Основою чотирикутної піраміди є квадрат . Ребро перпендикулярне до площини основи піраміди. Точка - середина ребра . Площина утворює з площиною основи піраміди кут . Знайдіть площу трикутника , якщо довжина ребра дорівнює .

 

    Розв’язання:

Розглянемо піраміду , в якій , - середина . Площина , оскільки містить перпендикуляр, проведений до основи. Проведемо , тоді і . Проведемо , тоді за теоремою про три перпендикуляри і (лінійний кут двогранного кута). З : . - середня лінія , тому . В основі піраміди лежить квадрат, тому . Шукана площа: .

Відповідь: .

 

38. Задано нерівність .

а) Знайдіть множину допустимих значень та .

б) Побудуйте у прямокутній декартовій системі координат множину точок , координати яких задовольняють задану нерівність.

в) Знайдіть площу фігури з пункту б).

Розв’язання:

а) . Це множина точок площини, які лежіть поза кругом з центром в точці (0;0) і радіусом .

б)                                                                                                               в)  

                                                                           Відповідь: в)     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Варіант 3 (2006 рік)

37. Основа висоти трикутної піраміди , проведеної із вершини , збігається з точкою перетину висот трикутника . Відомо, що .

1. Доведіть, що бічні грані піраміди є прямокутними трикутниками.
2. Знайдіть відношення площ граней і .

Розв’язання:

a) Нехай - висота піраміди, - ортоцентр . , але - проекція на . За теоремою про три перпендикуляри . Аналогічно, .

В площині через точку проведемо , тоді . Пряма (- прямокутний, оскільки ). За ознакою перпендикулярності прямої і площини . Аналогічно доводиться . Для цього в площині треба провести через точку пряму паралельно до .

b)

Відповідь: b) 0,75

 

38. Задано рівняння .

1. Розв’яжіть рівняння при .
2. Знайдіть усі значення параметра , при яких дане рівняння не має коренів.

Розв’язання:

a) При рівняння має вигляд . Розділимо на . Маємо: . Нехай , тоді рівняння набуває вигляду:

. Отже, дане рівняння розв’язків немає.

b) Розглянемо квадратне рівняння . Якщо це рівняння не буде мати коренів або вони будуть недодатними, то дане рівняння не буде мати коренів.

В першому випадку необхідно і достатньо, щоб .

Якщо , то один з коренів обов’язково додатній і дане рівняння корені має.

Якщо , то . Отже, - розв’язок.

Якщо , то звернемось до геометричної інтерпретації.

Умову задачі задовольняє система . Обидві нерівності виконуються при .

Відповідь: .

 

Варіант 4 (2006 рік)

37. Трикутник , сторона якого дорівнює 4см і кут дорівнює , вписано в коло радіуса см. Знайдіть:

1. Довжину сторони ;
2. Довжину середньої лінії трикутника, яка паралельна ;
3. Відстань між точками кола, у яких пряма, що містить середню лінію трикутника , паралельну до сторони , перетинає коло.

Розв’язання:

  a)  З (теорема синусів): см

  b) Нехай - середина ; - середина , тоді . Знаходимо за теоремою косинусів з ;

; , тоді .

c) Нехай , де - точки на колі, відстань між якими треба знайти. Скористаємось властивістю хорд, що перетинаються в колі. . Віднімаємо від другого рівняння перше. . З першого рівняння системи ;.

.

Відповідь: а) 6см;  b) см;   с) см.

 

   38. Задана нерівність .

1. Обчисліть площу фігури, яка визначається розв’язками нерівності при .
2. Знайдіть значення , при яких геометрична фігура має лише одну спільну точку з віссю ординат.
3. Визначте максимальне значення параметра , при якому вісь абсцис ділить задану фігуру на дві частини, площі яких відносяться як 1 : 7.

Розв’язання:

а) При маємо квадрат, який зображено на мал.1. Його площа .

 

 

 

 

 

 

 

 

               Мал. 1                                       Мал. 2                                      Мал. 3

b) На малюнку 2 зображено два можливих положення квадратів, при якому вони мають лише одну спільну точку з віссю ординат. Цим положенням відповідають значення .

с) Якщо положення квадрата при прийняти за початкове і почати збільшувати , то квадрат починає рухатись вліво і вгору, не змінюючи своїх розмірів. Вісь абсцис розбиває квадрат на дві фігури, причому кожному значенню відповідає єдине відношення площ цих фігур. Для того, щоб це відношення дорівнювало 1 : 7, необхідно, щоб . Це можливо за умови , тоді і .

Відповідь: а) 2;   b) ;    с) .

Варіант 5 (2006 рік)

37. У прямокутну трапецію вписано коло. Бічна сторона ділиться точкою дотику на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть:

а) висоту трапеції;

б) відношення довжин відрізків, на які центр кола ділить середню лінію трапеції;

в) кут, під яким видно сторону із центра кола.

 

Розв’язання:

а) Позначимо точки дотиків кола до сторін трапеції через відповідно. (як відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки). Розглянемо . Для нього , тоді .

б) (радіус вписаного кола), тоді ; ;  . Отже, .

в) З ;

 з . Тоді для трикутника маємо: , тобто для цього трикутника виконується теорема Піфагора .

Відповідь: а) 12 см;    б) 12:13;      в) .

 

38. Задано функції: і . Знайдіть:

а) найбільше і найменше значення функції ;

б) найбільше і найменше значення функції ;

в) корені рівняння найбільше і найменше значення функції .

Розв’язання:

а) Оскільки , то .

б) Знаходимо ОДЗ: . Далі, .

, отже .

в) Оскільки , то рівняння еквівалентне системі .

Відповідь: а) ;  б) ;  в) .

Варіант 6 (2006 рік)

 

37. У трикутній піраміді три бічні ребра і - діляться точками у відношеннях               1 : 4, 1 : 3, 2 : 3, починаючи від вершини , відповідно. Знайдіть:

1. Відношення площ трикутників і .
2. Відношення об’ємів пірамід і .

Розв’язання:

a) Нехай .   .

Отже, .

b) Побудуємо площину . В цій площині проведемо та . Крім того, Трикутник подібний до трикутника , причому .

 

Відповідь: a) ;    b) .

 

38. Задано функцію , де . Знайдіть:

1. Рівняння дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою .
2. Площу трапеції, утвореної дотичною з пункту а) і прямими .
3. У якій точці графіка функції треба провести дотичну, щоб площа трапеції з пункту b) була найбільшою.

Розв’язання:

 a) Загальне рівняння дотичної: .

; .

(1)

b) Довжини основ трапеції – це значення функції (1) в точках та відповідно.

Висота трапеції дорівнює 1. Отже, (2).

с) Досліджуємо функцію на максимум. точка максимуму.

Відповідь: a) ; b) ;  c)

Варіант 7 (2006 рік)

37. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник зі стороною . Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи і також є рівностороннім трикутником. Навколо піраміди описана куля. Знайдіть:

1. Довжину висоти піраміди, обґрунтувавши її положення.
2. Радіус кулі, описаної навколо піраміди.

Розв’язання:

1. Бічна грань , тому містить висоту піраміди. Оскільки - правильний, то його висота і є висотою піраміди. .
2. Нехай - центр описаної кулі, тому точка рівновіддалена від проекція точки на точка - центр кола, описаного навколо . Крім того, точка рівновіддалена від точок , тому . З маємо:

Відповідь: a) ;   b) .

 

38. Задано тригонометричне рівняння . Укажіть:

1. При яких значеннях параметра рівняння має розв’язки.
2. Найменший додатний розв’язок рівняння для найбільшого значення параметра , при якому рівняння має розв’язки.

Розв’язання:

1. Запишемо рівняння у вигляді або

, отже, для існування розв’язків необхідно .

2. При маємо рівняння . Найменший додатний розв’язок отримаємо при .

Відповідь: a) ;    b) .

 

Варіант 8 (2006 рік)

37. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом . У піраміду вписано куб так, що одна його грань лежить у площині основи піраміди, а чотири вершини протилежної грані – на бічних ребрах піраміди. Знайдіть:

а) відношення об’ємів піраміди та куба;

б) значення , при якому відношення об’ємів піраміди і куба буде найменшим.

Розв’язання:

a) Нехай - сторона основи правильної чотирикутної піраміди , тоді ( - точка перетину діагоналей основи). З : . Об'єм піраміди: .

Нехай - ребро куба. З : , тоді або . Таким чином, . Об'єм куба: . Шукане відношення: .

б) Нехай . Розглянемо функцію . Досліджуємо її на мінімум. . - точка мінімуму, отже .

Відповідь: а) ;    б)  .

 

38. Розв’яжіть нерівність: .

Розв’язання:

Знаходимо ОДЗ: . Якщо , то ; якщо , то . Отже, ОДЗ .

Запишемо нерівність у вигляді: . Нехай . .

При нерівність очевидно виконується. Для піднесемо нерівність до квадрату. . Розв’язок нерівності відносно : . Повертаємось до змінної : або . Остання нерівність еквівалентна системі: , де . Отже, . Отримана множина є підмножиною ОДЗ.

Відповідь: .

 

 

 

Варіант 9 (2006 рік)

 

37. У правильній трикутній піраміді кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює . Сторона основи дорівнює . - висота піраміди.

1. Побудуйте переріз піраміди, який проходить через точку паралельно ребрам і .
2. З’ясуйте, якою геометричною фігурою є цей переріз (відповідь обґрунтуйте).
3. Знайдіть площу перерізу.

   Розв’язання:

a) Оскільки піраміда правильна, то точка - це точка перетину медіан трикутника . Проведемо медіану ( - середина ). . В площині проведемо , . Через точку в площині проводимо . В площині проводимо . В площині проводимо . З’єднуємо та . Переріз - шуканий.

b) Трикутники та подібні за двома кутами (- спільний, як відповідні) і оскільки - точка перетину медіан, то . З подібності пар трикутників та , враховуючи коефіцієнт подібності та паралельність, маємо: - паралелограм Далі, . Відрізок містить проекцію похилої , тому за теоремою про три перпендикуляри . . Таким чином, паралелограм є прямокутником.

с) ; .

Відповідь: переріз є прямокутником, площа якого .

38. Знайдіть усі цілі значення параметра , при яких рівняння має дійсні корені. Знайдіть ці корені.

Розв’язання:

.

Відповідь: якщо , то .

Варіант 10 (2006 рік)

 

37. Переріз площиною правильної чотирикутної піраміди, у якої бічне ребро дорівнює стороні основи, зроблено так, що отриманий многокутник має максимальну кількість сторін, а всі його вершини, крім однієї, є серединами ребер піраміди. Знайдіть:

1. Кількість сторін многокутника, що є перерізом піраміди.
2. Косинус кута нахилу площини перерізу до основи піраміди.
3. Відношення площі перерізу до площі основи піраміди.

Розв’язання:

а) Розглянемо правильну чотирикутну піраміду , - основа, - висота. Проводимо - середню лінію та - середню лінію . Нехай . Проводимо до перетину з . - переріз піраміди, який має п’ять сторін.

b) Нехай - косинус якого треба знайти. .

З трикутника : , тоді . З трикутника : . Отже, .

с)   Нехай , тоді - рівнобедрений. , тоді .

Знаходимо площу п’ятикутника , який є ортогональною проекцією перерізу.

, тоді

Відповідь: а) 5;  b) ;    с) .

 

38. Задано функцію . Знайдіть:

1. Область визначення функції.
2. Нулі функції.
3. Усі розв’язки нерівності .

Розв’язання:

а)

b) . Піднесемо до квадрату. ; . Перше значення не потрапляє в ОДЗ, друге – сторонній корінь рівняння, що розглядається.

. Перше значення не потрапляє в ОДЗ.

с) Розглянемо нерівності: ; ; . Для того, щоб мала місце нерівність необхідно, щоб одночасно виконувались всі три нерівності або щоб виконувалась лише одна. Скористаємось геометричною інтерпретацією . На малюнку виділено розв’язки кожної з нерівностей.

Перший випадок (тобто, коли одночасно виконуються всі нерівності) не має місце при всіх .

Залишається записати об’єднання проміжків, на яких виконується лише одна нерівність.

 

Відповідь: а) ; b) ;  с) .

 

Варіант 11 (2006 рік)

37. Об'єм правильної трикутної призми дорівнює . Кут між діагоналями двох бічних граней, що проведені із однієї вершини, дорівнює . Знайти сторону основи призми.

Розв’язання:

Нехай - сторона основи правильної трикутної призми . Проводимо діагоналі бічних граней. . - рівнобедрений, оскільки призма правильна, то її бічні грані рівні прямокутники, у яких рівні діагоналі. Проведемо медіану , яка є висотою і бісектрисою.

 З .

З . Об'єм призми: . .

Відповідь: .

38. Задано рівняння .

1. Розв’яжіть рівняння при .
2. Розв’яжіть рівняння при всіх значеннях параметра .

Розв’язання:

1. При маємо .
2. При за умови переходимо до еквівалентного рівняння: (1).

Якщо , то .

Якщо , то розділимо рівняння (1) на . Отримаємо:

. Це квадратне рівняння відносно . . Для існування розв’язків квадратного рівняння необхідно, щоб . Тоді .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то ; .

 

Варіант 12 (2006 рік)

 

37. Знайти перетин множин ; .

Розв’язання:

Для множини А: ; . Якщо , то . Отже, розв’язків немає. (*).

Для множини В: необхідно, щоб . За цієї умови (**).

Залишається з множини (*) вибрати ті значення, що потрапляють в (**).

;

, бо .

.

Відповідь: .

 

38. В правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює . Знайти повну поверхню вписаного конуса, якщо радіус вписаної в піраміду кулі дорівнює .

Розв’язання:

Розглянемо правильну трикутну піраміду . Множина точок, рівновіддалених від бічних граней – це висота піраміди , тому центр вписаної кулі (точка О) лежить на висоті. Проведемо апофему бічної грані . проекція на площину основи, отже (лінійний кут двогранного кута). Центр вписаної кулі рівновіддалений від всіх граней, тому точка О належить бісектрисі .

1. 
2. 
3. 

Відповідь:

 

Варіант 13 (ЗНО - 2006 рік)

 

37. Основою прямого паралелепіпеда є квадрат зі стороною 3см. Бічне ребро дорівнює 4см. Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через вершину перпендикулярно до прямої .

Розв’язання:

Проводимо . В грані через точку проводимо . Паралелограм - шуканий переріз. Доведемо, що цей паралелограм є прямокутником. , проекція на площину . За теоремою про три перпендикуляри , отже - прямокутник.

Нехай . Якщо , то . Отже, подібний до за двома кутами.

 З .

З . З подібності трикутників:

. . Шукана площа:

.

Відповідь: .

38. Розв’яжіть рівняння , якщо .

Розв’язання:

. Покладемо , отримаємо рівняння ; ; . Повертаємось до змінної .

.

Для першого рівняння сукупності ; для другого .

Відповідь: якщо , то ;

 якщо , то ;

якщо , то ; .

Варіант 14 (2007 рік)

36. Основою піраміди є квадрат . Грань - правильний трикутник, площина якого перпендикулярна площині основи. Знайдіть кут нахилу грані до основи.

Розв’язання:

Розглянемо піраміду . - квадрат. Грань - правильний трикутник, , де - висота трикутника . Проведемо , оскільки , то . - похила, - її проекція, тоді за теоремою про три перпендикуляри . - шуканий кут (лінійний кут двогранного кута). Нехай . З : . З : .

Відповідь: .

37. Побудувати графік функції: .

Розв’язання:

Необхідно: .

Якщо , то .

Якщо , то .

 

38. Знайдіть всі значення параметра , при яких нерівність виконується для всіх дійсних значень .

Розв’язання:

Зробимо заміну . Розглянемо функцію .

 Необхідно знайти всі , при яких для всіх . (1)

Якщо , то умова (1) не виконується.

Якщо , то . Умова (1) не виконується.

Нехай . За умови умова (1) виконується. Отже, .

Якщо , то при для всіх ;

 при   для всіх . Отже, - розв’язки.

Якщо , то графік функції має дві точки перетину з віссю абсцис. На малюнку зображено ситуацію, при якій виконується умова (1). Цьому малюнку відповідає система: .

Відповідь: .

Варіант 15 (2008 рік)

36. Дано пряму чотирикутну призму , в основі якої лежить ромб зі стороною і гострим кутом . Висота призми дорівнює . Точки і лежать на сторонах і відповідно, причому . Точка - точка перетину діагоналей призми. Через точки проведено переріз призми. Знайти його площу.

Розв’язання:

та подібні за двома сторонами і спільним кутом . Нехай , оскільки як діагоналі ромба і . Через точки і  проводимо пряму до перетину з . Отримаємо точку через яку проводимо , де ; . Через точку в площині діагонального перерізу проводимо , де ; . Шестикутник - переріз призми, площу якого треба знайти. Цей шестикутник складається з двох рівних між собою трапецій, тому . З , тоді ; ; .                                             З , отже шукана площа .

Відповідь:

37. Побудувати графік рівняння .

Розв’язання:

Область допустимих значень: . На ОДЗ рівняння еквівалентне наступному . Графіком рівняння буде коло з центром в точці (2;-3) і радіусом , з якого вилучено точки (0;0) і точки перетину цього кола з колом, яке має центр в точці (0;0) і   радіус 1. Відстань від центра кола (точки (2;-3)) до прямої дорівнює , отже пряма є дотичною до кола, тому нерівність виконується.

 

38. При всіх значеннях параметра розв’язати нерівність. Знайти всі , при кожному з яких розв’язком нерівності є відрізок довжини 2.

Розв’язання:

Необхідними є умови .

Якщо , то нерівність виконується при . Тому необхідно, щоб . . Таким чином, на множині .

Якщо , то нерівністьвиконується. Тому розв’язком даної нерівності буде відрізок .

Необхідно знайти всі для яких довжина цього відрізка дорівнює 2. Отже, ; ; .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то . При розв’язком нерівності буде відрізок довжини 2.

 

Варіант 16 (2008 рік)

36. Дано куб . Точка є серединою ребра . Знайдіть площу перерізу куба площиною, яка проходить через точки , якщо ребро куба дорівнює .

Розв’язання:

Побудуємо переріз. В площині проводимо прямі та . Отримаємо . В площині проводимо пряму. Отримаємо . - за умовою; - як вертикальні і трикутники прямокутні). Отже, і оскільки , то - середня лінія трикутника . Таким чином, точка - середина . Чотирикутник - переріз, площу якого треба знайти. Він складається з двох трикутників: та .

Введемо прямокутну декартову систему координат: центр – точка ; вісі координат збігаються з напрямками векторів відповідно. В цій системі . Тоді .

Точка , тоді . .

Шукана площа: .

 

Відповідь: .

37. Побудуйте графік функції: .

Розв’язання:

Якщо , то функція невизначена.

Якщо , то .

Якщо , то .

 

38. Розв’яжіть нерівність: .

Розв’язання:

ОДЗ:. Очевидно, що при . Необхідно, щоб . Отже, при .

При . Необхідно, щоб .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то .

Варіант 17 (2008 рік)

36. Дано правильну трикутну піраміду , причому - вершина, трикутник - основа. Нехай сторона основи дорівнює , бічне ребро . Через сторону основи проведено переріз найменшої площі . Знайдіть:

1. Відношення ;
2. Площу перерізу;
3. Кут між площиною перерізу і площиною основи цієї піраміди.

Розв’язання:

1.           Нехай . Трикутник - рівнобедрений, тому медіана є висотою. Очевидно, що найменша площа буде тоді, коли відстань від точки до буде найменшою, тобто . Нехай кут при основі рівнобедреного трикутника , тоді .  З , тоді і .
2.           , тоді .                                                                                              З   .
3.           З .

Відповідь: a);   b)  ;    c) .

37. Побудувати графік функції .

Розв’язання:

Якщо , то функція невизначена.

Якщо , то .

Якщо , то .

.

 

 

38. Розв’язати систему рівнянь: .

Розв’язання:

Якщо , то система має два розв’язки: (0;-2),(0;2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо (мал. a), то .

Далі, . Пари (0;-2),(0;2) будуть розв’язками системи для довільних  .

Припустимо, що система має деякий розв’язок , тоді в силу парності обох рівнянь відносно обох змінних, система буде мати розв’язки . На малюнках b, c показано ситуації при та відповідно.

Нехай . З другого рівняння , тоді в першому рівнянні , тоді .

Відповідь: при : (0;-2), (0;2); при : ; при : ; ; ; ; (0; -2); (0; 2).

Варіант 18 (2008 рік)

36. Бічне ребро правильної трикутної піраміди удвічі більше за сторону основи і дорівнює . Через центр основи паралельно одній із бічних граней проведено площину.

1. Побудуйте цей переріз та з’ясуйте, якою геометричною фігурою він є.
2. Знайдіть кут між площиною основи піраміди та перерізом.
3. Знайдіть площу перерізу.

Розв’язання:

 

1. a) Нехай - правильна трикутна піраміда, - вершина; - основа; - центр основи (проекція вершини на основу). Проведемо апофему бічної грані . В площині через точку проведемо () . В гранях та проводимо та відповідно. Точки лежать на одній прямій, оскільки . Рівнобедрений трикутник - шуканий переріз. Причому подібний і .
2. Оскільки , то шуканий кут дорівнює куту нахилу бічної грані до основи. . (радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною ); , отже .
3. Оскільки подібний і коефіцієнт подібності , то .

Відповідь: a) рівнобедрений трикутник, подібний бічній грані з коефіцієнтом і паралельний їй;  b) ;   с)  .

37. Побудуйте графік функції .

Розв’язання:

ОДЗ: . Функція парна. Зробимо перетворення: .   

 

 

 

 

 

38. Розв’яжіть нерівність: .

Розв’язання:

Покладемо . ;  ; .

Якщо , тобто , то .

Якщо , тобто , то .

При нерівність розв’язків немає.

Відповідь: якщо , то ; якщо , то ;

якщо , то .

Варіант 19 (2008 рік)

36. Основою прямого паралелепіпеда є квадрат зі стороною 2 см. Бічне ребро паралелепіпеда дорівнює 6 см. Знайдіть кут між медіаною трикутника , проведеною з вершини , і діагональним перерізом паралелепіпеда .

Розв’язання:

Проведемо медіану . В площині проведемо . Площини та перпендикулярні, тому . проекція похилої на площину . Таким чином, .

З .

З .

.

Відповідь: .

37. Побудувати графік рівняння:

Розв’язання:

38. Розв’яжіть рівняння: .

Розв’язання:

Оскільки і , то рівняння можна записати у вигляді: . З другого рівняння маємо .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то ; .

Варіант 20. (ЗНО – 2007)

36. У правильній чотирикутній піраміді (- вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника , проведеною з вершини , та середньою лінією трикутника , що паралельна основі піраміди.

Розв’язання:

- правильна чотирикутна піраміда. Нехай , тоді .

за трьома сторонами, тому (відповідні елементи рівних фігур – рівні).

З . .

З .

- середня лінія , тому .

Нехай (шуканий кут), тоді з рівнобедреного

Відповідь:

37. Побудуйте графік функції:

Розв’язання:

ОДЗ: .

Якщо , тобто , то .

Якщо , то .

 

 

 

 

 

 

38. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання:

Необхідно:

Якщо , то .

Якщо , то . Необхідно, щоб . , тоді остання нерівність має розв’язки: .

Якщо , то , бо . Необхідно, щоб   .

Відповідь: при нерівність невизначена; при ; при ; при .

 

Варіант 21 (ЗНО – 2008)

34. У правильній трикутній піраміді з основою бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки і є серединами ребер і відповідно. Через пряму , паралельно до ребра , проведено площину . Знайдіть кут між площиною і площиною .

Розв’язання:

Нехай , де - висота

В гранях та проводимо та відповідно. Площина - це площина, в якій лежить чотирикутник . Точка - точка перетину площини з висотою піраміди. Ребро , отже, шуканий кут - це кут нахилу бічного ребра до основи. Покладемо - сторона основи, тоді , тоді .

Відповідь: .

35. Розв’яжіть систему нерівностей:

Розв’язання:

Розв’язуємо першу нерівність. .

Розв’язуємо другу нерівність. Для неї

ОДЗ: . На ОДЗ друга нерівність еквівалентна наступній:. Підносимо до квадрату. .

Враховуючі ОДЗ і «картинку-розв’язок» для першої нерівності, отримаємо:

Відповідь: .

36. Задано функцію .

1. Знайдіть проміжки зростання та спадання функції, екстремуми функції.
2. Побудуйте ескіз графіка функції .
3. Знайдіть кількість коренів рівняння , залежно від значень параметра .

Розв’язання:

1. Знаходимо похідну:

2. Проводимо прямі і «знімаємо» з графіка функції відповідь.

      Відповідь: 1) та - проміжки спадання; та - проміжки зростання; та - точки мінімуму; - точка максимуму.

                3) - розв’язків немає;

       - один розв’язок;

             - два розв’язки;

             або - три розв’язки;

           - чотири розв’язки.

Варіант 22 (пробне ЗНО – 2009)

31. Основою піраміди є рівносторонній трикутник зі стороною . Одна з бічних граней перпендикулярна до площини основи, а дві інші – нахилені до основи під кутом . Знайдіть об'єм піраміди.

Розв’язання:

Розглянемо трикутну піраміду , у якої . Отже, - висота і медіана рівнобедреного трикутника є висотою піраміди. Проводимо , - похила, - її проекція, тому (теорема про три перпендикуляри). (лінійний кут двогранного кута).

1. 
2. 
3. З
4. З
5. Підставляємо 2) та 4) в 1):

Відповідь:

32. На лузі біля річки треба обгородити ділянку прямокутної форми, що прилягає до прямолінійного берега річки (з боку річки огорожа не встановлюється). Завезено 200 погонних метрів огорожі. Якими повинні бути розміри відповідного прямокутника, щоб його площа була найбільшою?

Розв’язання:

Позначимо , тоді . Розглянемо функцію: , яку досліджуємо на максимум.

- критична точка

- точка максимуму.

Відповідь: 50; 50 та 100

 

 

33. Задано функцію . Знайдіть:

1. Область визначення функції .
2. Нулі функції .
3. Усі розв’язки нерівності

Розв’язання:

1. Необхідно:
2. За умови отримаємо рівняння-наслідок . Зауважимо, що перше рівняння сукупності розв’язків не дає , бо за умови маємо .
3. Користуючись пунктом б), запишемо нерівність у вигляді: . На ОДЗ маємо . Тому для виконання нерівності необхідно і достатньо: . На малюнку зображено дугу, яка відповідає останній нерівності.

 

Відповідь:

1. 
2. 
3. 

 

Варіант 23 (ЗНО – 2009)

31. Радіус основи конуса , твірна нахилена до площини основи під кутом α. Через вершину конуса проведено площину під кутом φ до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Розв’язання:

Розглянемо конус, в якому проведено переріз . Цей переріз – рівнобедрений трикутник , як твірні конуса). , де - центр основи конуса ( - проекція   на площину основи). Проведемо , тоді - це кут між площиною перерізу і висотою конуса ( - проекція на цю площину).

1. З
2. З
3. - прямокутний ( - проекція на основу, , тоді за теоремою про три перпендикуляри ). За теоремою Піфагора:                   
4. Шукана площа:

Відповідь:

32. Задано функції і .

1. Знайдіть абсциси точок перетину графіків функцій і . У прямокутній системі координат зобразіть фігуру, обмежену цими графіками.
2. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій  і .

Розв’язання:

1. Для знаходження абсцис точок перетину розв’язуємо рівняння: .
2. 

Відповідь:  1) - абсциси точок перетину графіків; 2) - площа фігури, що обмежена графіками функцій.

 

33. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання:

1. 
2. 
3. Нерівність можна записати у вигляді:

 

 

4. 

. Отже, на цій множині розв’язків немає.

5. . Отже, розв’язком є множина:
6. - розв’язок даної нерівності.

:

 

Варіант 24 (пробне ЗНО – 2010)

35. Знайдіть найбільше значення параметра a, при якому рівняння   має чотири корені. Якщо такого значення не існує, то у відповідь запишіть число 100.

Розв’язання:

Будуємо графік функції . Проводимо прямі .

Відповідь: 6,25

 

 

 

36. У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює см². Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом 60. Знайдіть об'єм піраміди (у см³)

Розв’язання:

 Розглянемо піраміду PABCD. Висота піраміди PK. Центр вписаної сфери . – проекція на основу, тому (теорема про три перпендикуляри). (лінійний кут двогранного кута). Для  є бісектрисою . 

Площа сфери: , тому

З ; з .

Шуканий об'єм піраміди:

Відповідь: 324

 

 

Варіант 25 (ЗНО – 2010, І сесія)

35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює 30°. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу дорівнює: 3 см,  4 см,  2 см.

Розв’ьязання:

PABCD – дана піраміда. PO – висота піраміди, ОК – радіус основи (. ОК – проекція РК на основу, тому (теорема про три перпендикуляри). (лінійний кут двогранного кута).

З ;

З .

 

 

 

36. Розв’яжіть систему. Якщо система має єдиний розв’язок , то у відповідь запишіть суму ; якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків. 

Розв’язання:

В правій частині виділяємо повний квадрат: . Маємо: найбільше значення лівої частини співпадає з найменшим значенням правої.

 

Для другої системи:

Для третьої системи:

Відповідь: -12     10    14

 

 

Варіант 26 (ЗНО – 2010, ІІ сесія)

35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут – 30°. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом 45°. Знайдіть об’єм піраміди ( у см³).

Розв’язання:

Оскільки всі бічні ребра піраміди нахилені до основи під одним кутом, то вершина проектується в центр описаного кола. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника – середина гіпотенузи. АО = ОВ = .

З :

З

Відповідь: 12

36.            Розв’яжіть рівняння: . Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше, ніж один корінь, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Розв’язання:

Сума двох невід’ємних виразів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли кожен з них дорівнює нулю.

1.     2) 

Відповідь: -4,5

Варіант 27 (пробне ЗНО – 2011)

34. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із кутом 15°. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Радіус кулі, описаної навколо піраміди, дорівнює 6 см. Обчисліть об’єм піраміди ( у см³).

Розв’язання:

Оскільки всі бічні ребра піраміди нахилені до основи під одним кутом, то вершина піраміди проектується в центр описаного навколо основи кола. Це – середина гіпотенузи. Центр описаної кулі належить висоті PH піраміди. – рівносторонній, тому  

З , тоді

=

Відповідь: 40,5

 

 

35. Укажіть найменше значення , при якому рівняння має рівно один корінь.

Розв’язання:

Чисельник має один корінь, якщо

Знайдемо корені чисельника, за умови:

. Дане рівняння має один корінь, якщо або

1. 
2. 

Відповідь: -3,75

Варіант 28 (ЗНО – 2011)

32.                Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за 2 години 6 хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на скошування трави на цій ділянці другий робітник, якщо йому потрібно на виконання цього завдання на 4 години більше, ніж першому робітникові?

Розв’язання:

Нехай a годин треба першому робітнику, тоді (a + 4) годин треба другому робітнику. Працюючи разом вони витратять годин. Маємо рівняння:

;

Відповідь: 7

33.                У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 13 см і основами 8 см і 18 см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса ( у см²), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. У відповідь запишіть значення

Розв’язання:

В трапецію ABCD можна вписати коло, тому ; . Проводимо висоту .

З . Радіус основи вписаного конуса , тоді його твірна

Відповідь: 72

 

34.                На рисунку зображено графік функції , що визначена на проміжку і має лише три нулі. Розв’яжіть систему: . У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків системи.

Розв’язання:

Відповідь: 27

 

35.                Знайдіть найменше значення , при якому має розв’язки рівняння 

              .

Розв’язання:

, де  

Відповідь: -3,5

 

 

 

Варіант 29 (пробне ЗНО – 2012)

31. Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса 6 см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут 30°. Визначте об'єм призми.

Розв’язання:

Центр описаної кулі – точка , де – відрізок, що з’єднує центри нижньої та верхньої основ призми, причому О – середина , оскільки вона рівновіддалена від всіх вершин призми.

З

З

Відповідь: 121,5

 

32. Знайдіть усі значення параметра а , при яких добуток коренів рівняння   дорівнює 8. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповідь. Якщо таких значень більше одного, то у відповідь запишіть найменше з них.

Розв’язання:

Нехай .

Якщо – корені даного рівняння, то .

Для квадратного рівняння маємо:

Перевірка: 1)     2)

Відповідь: 1,5

Варіант 30 (ЗНО – 2012.Перша сесія)

31. Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є рівнобічна трапеція ABCD. Основа AD трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу ВС. Через бічне ребро СС₁ проведено площину паралельну ребру АВ. Знайдіть площу утвореного перерізу ( у см²), якщо

	І варіант	ІІ варіант	ІІІ варіант
Об'єм призми	672 см3	588 см3	756 см3
Висота призми	8 см	7 см	9 см

Розв’язання:

Нехай V – об'єм призми, h – висота призми. Проведемо , площу якого необхідно знайти.

1. 1) ; 2)
2. 3) ; 4) для , але
3. , тому
4. 
5. 4)
6. І варіант:
7. ІІ варіант:

ІІІ варіант:

Відповідь: 104     91    117

32.При якому найменшому цілому значенні параметра рівняння має лише два різні корені?

І варіант
ІІ варіант
ІІІ варіант

Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді

Один корінь рівняння має незалежно від значень параметра . Розглянемо рівняння   (*) . Будуємо графік функції

Отже, рівняння (*) має один корінь за умови . Цей корінь: . Необхідно, щоб . Найменше ціле значення, що задовольняє останню умову   -10.

Для другого варіанта: фіксований корінь . Другий корінь находимо з рівняння:

 

Для третього варіанта: фіксований корінь . Другий корінь знаходимо з рівняння:

Відповідь: -10    -11    -9

Варіант 31 (ЗНО – 2012. Друга сесія)

31. Основою прямої трикутної призми АВСА₁В₁С₁ є рівнобедрений трикутник АВС, де            АВ = ВС = 25 см, АС = 30 см. Через бічне ребро АА₁ проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми ( у см³), якщо площа утвореного перерізу

І варіант	ІІ варіант	ІІІ варіант
72 см2	96 см2	48 см2

Розв’язання:

Проведемо висоту ВМ до основи АС рівнобедреного трикутника АВС. Знаходимо площу основи. ВМ = 20 (числа 15, 20, 25 утворюють піфагорову трійку). . Об'єм призми: , де – висота призми.

І варіант:

ІІ варіант:

ІІІ варіант:

Відповідь: 900   1200   600

 

 

 

 

 

32. При якому найменшому значенні параметра рівняння має хоча б один корінь?

І варіант
ІІ варіант
ІІІ варіант

Розв’язання:

, тоді

Нехай .

І варіант.

Необхідно, щоб 

ІІ варіант.

=

Необхідно, щоб 

ІІІ варіант.

=

Необхідно, щоб 

Відповідь: 5,5   6,5    4,5

Варіант 32 (пробне ЗНО – 2013)

32. Основою прямої призми  є ромб , у якому більша діагональ = 17 см. Об'єм призми дорівнює 1020 см³. Через діагональ та вершину тупого кута верхньої основи призми проведено площину, яка утворює з площиною основи призми кут α. Знайдіть площу утвореного перерізу, якщо .

Розв’язання:

Більша діагональ основи АС лежіть проти тупого кута В. , як діагоналі ромба. – проекція на основу, тому (теорема про три перпендикуляри). – лінійний кут двогранного кута.

Нехай , тоді з ; . Але , .

.

33. Шукана площа:
34. Відповідь: 110,5
35. Знайдіть найменше ціле значення параметра , при якому рівняння має два корені.

Розв’язання:

. – корінь даного рівняння. Необхідно знайти найменше ціле значення параметра , при якому рівняння має корінь, причому . Розглянемо функцію .                                      Маємо: . Далі . Найменше ціле значення параметра, що задовольняє останню нерівність, дорівнює 11.

Відповідь: 11

Варіант 33 (ЗНО – 2013. Перша сесія)

32.Основою піраміди SABCD є трапеція ABCD (AD || BC), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро SB перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції ABCD. Знайдіть відстань від середини ребра SD до площини SBC (у см), якщо об'єм піраміди дорівнює V.

V

210 см3

240 см3

180 см3

Розв’язання:

ABCD – трапеція, площа якої .

Об'єм піраміди:

– середина . Проводимо переріз піраміди, що проходить через точку , паралельно основі ABCD. Перерізом буде трапеція подібна до трапеції ABCD. Коефіцієнт подібності дорівнює . Шукана відстань дорівнює довжині висоти трапеції .

Відповідь: 6,3     7,2      5,4

 

33.Знайдіть значення параметра , при якому корінь даного рівняння належить даному проміжку.

Рівняння
Проміжок

 

Розв’язання:

Оскільки , то . З іншого боку, .

Маємо: . Для першого рівняння:

І варіант:

 

IІ варіант: 1

ІІІ варіант:

Відповідь: -14,3    -14,7    -23,3

 

Варіант 33 (ЗНО – 2013. Друга сесія)

32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120°. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює h см.

h

4 см

3 см

5 см

Розв’язання:

PABCD – дана піраміда, ABCD – ромб, , .

Проведемо , BK – проекція похилої РК на основу, тому (теорема про три перпендикуляри), (лінійний кут двогранного кута)

З

З

33. Відповідь: 96  54  150

 

34. 33. При якому найбільшому від’ємному значенні параметра дане рівняння має один корінь?

 

Розв’язання:

Розглянемо рівняння: . Побудуємо графічні образи (

Необхідно, щоб графік функції став дотичною до графіка функції . Це можливо за умови

, тобто саме в цій точці треба провести дотичну. Маємо:

Якщо , то

Відповідь: -1,625    -3,625     -5,625

 

 

Варіант 33 (пробне ЗНО – 2014)

   32. Основою піраміди SABCD є трапеція ABCD (BC || AD). Бічна грань SBC, площа якої дорівнює 24,4 см², перпендикулярна до площини основи піраміди. Точка М – середина ребра SB. Площина (MAD) перетинає ребро SC в точці N. Визначте довжину відрізка MN ( у см), якщо об'єм піраміди дорівнює 152 см³, а площа її основи 57 см².

Розв’язання:

1. 
2. 
3. MN – середня лінія , тому

Відповідь: 3,05

 

 

 

34.Знайдіть найменше значення параметра , при якому рівняння     має додатній корінь.

Розв’язання:

1. 
2. 
3. З пунктів 1) та 2) випливає, що рівняння має розв’язки тоді і тільки тоді, коли ліва частина набуває найменшого значення, а права найбільшого. Маємо систему:

. Корінь за умовою завдання повинен бути додатнім. Найменший такий корінь (а відповідно і найменше значення параметра) маємо при

Відповідь: -2,625

Варіант 34 (ЗНО – 2014)

33. 33. Через точки А і В, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину, паралельну осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює а = 2 см, а площа утвореного перерізу S = 60 см². Визначте довжину відрізка АВ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює см² (а = 2 см, S = 40 см², см² ,         а = см, S = 54 см², см²)

Розв’язання:

Нехай – радіус основи,  висота циліндра.

1)

2)

3)

4) Прирівнюємо праві частини з рівностей 2) і 3).

5. З

	І	ІІ	ІІІ
	10	25	100
	10	20	9
	2
	24 + 300 = 324	84 + 400 = 484	360 + 81 = 441
	18	22	21

Відповідь: 18   22     21

34. Знайдіть усі від’ємні значення параметра а, при яких система

 

 

ає єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповідь. Якщо таких значень декілька, то у відповідь запишіть їх суму.

Розв’язання:

Перепишемо дану систему у вигляді:

Розглядаємо окремо перше рівняння:

        

    

 

 

 

Друге рівняння запишемо у вигляді:

  - сукупність двох сімейств прямих.

Отримані множини зобразимо у прямокутній декартовій системі координат. Система має єдиний розв’язок, коли графіки мають єдину спільну точку.

1) ( -3 ; 2). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції , звідки

2) ( 3 ; 2).  Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції звідки – не розв’язок.

3) ( 0 ; -7). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції , звідки – не розв’язок

4) ( 0 ; -7). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції звідки .

Сума від’ємних значень: -8,5 + (-3,5) = -12

Для другого варіанту зміниться лише друге рівняння. Воно буде мати вигляд:

. Таким чином, для знаходження розв’язку підставимо координати точки: ( -3 ; 2) в рівняння , звідки , та координати (0; -7) в рівняння , звідки                     Сума від’ємних: -15

Відповідь: -12   -15  

 

Варіант 35 (демонстраційний варіант 2015)

35. Два кола радіусів і дотикаються у точці K. До цих кіл проведено спільну дотичну MN (M – належіть більшому колу).

1) Довести, що центри вказаних кіл та точка їхнього дотику лежать на одній прямій.

2) Знайти площу фігури, обмеженої відрізком MN та меншими дугами KN та KM.

Розв’язання:

1) Нехай О₁ – радіус кола з радіусом , О – центр кола з радіусом .

2) – трапеція

) . Проведемо . . .

З

Площа трапеції:

 

Знайдемо площі секторів та .

Нехай , тоді . Площу сектора знаходимо за формулою: .

Шукана площа:

Відповідь:

36. Для всіх значень параметра розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді: .

1) – корінь рівняння 

2) (*). Розглянемо геометричну інтерпритацію.

Якщо , то рівняння (*) має один корінь, який знаходимо з умови . Враховуємо ОДЗ: . .

Якщо , то розв’язком рівняння (*) будуть всі , але при цьому необхідно, щоб .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

Варіант 36 (пробне ЗНО - 2015)

35. У трапеції ABCD (BC||AD) діагональ АС є бісектрисою гострого кута А. Ця діагональ перетинає середню лінію трапеції в точці Р.

1. Доведіть, що
2. Обчисліть площу трапеції ABCD, якщо ВС = 5 см, AD = 13 см, площа трикутника АРВ дорівнює 5 см²  

Розв’язання:

1) – бісектриса , тому ; (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих та січній ). Таким чином, – рівнобедрений. Оскільки (середня лінія), то – медіана , а отже і висота. .

2) З вершини А проводимо . Відрізок – висота трапеції ABCD, а також висота .

. З іншого боку: .

Відповідь: 36 см²

36. Знайдіть усі значення параметра , за яких рівняння має єдиний корінь.

Розв’язання:

Розглянемо праву частину рівняння.

. 

Використаємо геометричну інтерпритацію. Права частина – це півколо з центром в точці (9; 0) та радіусом 3. Ліва частина – це множина прямих, які проходять через точку А(0; -3) та змінюють свій кутовий коефіцієнт в залежності від значення параметра .

Точка В(6; 0). . Точка С(12; 0). . Зауважимо, що при  рівняння має два корені.

Розглянемо пряму АК (дотична до кола). В цьому випадку рівняння також має один корінь. Дане рівняння підносимо до квадрату: ;

. Для того, щоб рівняння мало один корінь необхідно, щоб . . При маємо пряму , яка очевидно не має точок перетину з півколом.

:

Варіант 37 (ЗНО - 2015)

35. У прямокутному трикутнику АВС точка М є серединою гіпотенузи АВ, довжина якої дорівнює 26 см. Точка О віддалена від вершин В і С на 15 см, а від сторони ВС – на см. З точки О на катет ВС опущено перпендикуляр ОК, точка К належить відрізку ОМ.

1. Доведіть, що чотирикутник КМАС – трапеція.
2. Визначте площу трапеції КМАС.

Розв’язання:

1) За умовою , отже, – рівнобедрений, тому висота є медіаною. – середина , – середина . Таким чином, середня лінія , – трапеція.

2) З . Точка М – середина АВ, тому ВМ = .

З (5, 12, 13 – піфагорова трійка)

, тоді

Відповідь: 90 см²

36. При яких значеннях параметра рівняння на проміжку [0; 1] має рівно два різні корені?

Розв’язання:

Знаменник:

Розглянемо рівняння: . Корінь належить данному відрізку за умови ,

Квадратичне рівняння . .

Необхідно, щоб .

Обмеження:  

Відповідь:

Варіант 38 (пробне ЗНО - 2016)

31. Знайдіть найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання:

1) Знаходимо похідну:

2) Знаходимо критичні точки з умови . Єдина критична точка, що належить відрізку – це точка

3) Знаходимо значення функції в знайденій критичній точці і на кінцях відрізка.

Відповідь:

32. У правильній чотирикутній піраміді SABCD з точки О, яка є основою висоти SO, до бічного ребра SA проведено перпендикуляр ОМ довжиною . Двогранний кут при бічному ребрі піраміди дорівнює 120°.

1. Доведіть, що пряма
2. Знайдіть об'єм піраміди SABCD

Розв’язання:

1) Нехай .

(як діагоналі квадрата), пряма містить проекцію на основу . Тому (за теоремою про три перпендикуляри).

З

.

З : ;

.

З :

З (за теоремою косинусів):

. Розглянемо чисельник:

; .

(ознака перпендикулярності прямої та площини)

2) (лінійний кут двогранного кута). – рівнобедрений, тому висота МО є бісектрисою.

З

З , тоді

З :

Відповідь: 972

33. Розв’яжіть нерівність  при всіх значеннях параметра .
Розв’язання:

ОДЗ:

1) (випливає безпосередньо з ОДЗ)

2)

3) . Розглянемо функцію: .

– критична точка. При переході через точку 0 похідна змінює знак з «+» на «-», отже, – точка максимуму.

Розглянемо геометричну інтерпритацію.

Побудуємо графік функції .

Далі, проводимо прямі .

а) . При

б) . При

в) . При , де – корені рівняння  . Підносимо до квадрата.

. Останнє рівняння підносимо до квадрата.

Відповідь: якщо , то ; якщо , то ;

якщо , то

Варіант 39 (ЗНО - 2016)

31. Побудуйте графік функції . Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.

Розв’язання:

 

 

32. Основою піраміди SABCD є ромб ABCD, більша діагональ якого АС = 30. Грань SBC є рівнобедреним трикутником (SB = SC) і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро SC нахилено до площини основи піраміди під кутом 30°. Визначте кут між площинами  (SAD) і (ADC), якщо висота піраміди дорівнює 5.

Розв’язання:

За умовою (SBC) (ABC), тому висота SO рівнобедреного трикутника SBC є висотою піраміди. .

Проведемо (за теоремою про три перпендикуляри, OK проекція похилої SK).

 - лінійний кут двогранного кута, тобто кут між площинами  (SAD) і (ADC).

З трикутника SOC: , тоді .

Діагоналі ромба перпендикулярні і точкою перетину M діляться навпіл, тому з трикутника ВМС: .

Запишемо площу ромба: , звідки .

З трикутника SOK:

Відповідь:

33. Розв’яжіть рівняння в залежності від значень параметра .

Розв’язання:

1)

;

2) При рівняння не визначене, бо не існує на множині дійсних чисел

3)

4)

;

;

Відовідь: якшо , то рівняння не має змісту; якщо , то ; якщо ,то ; якщо , то ; якщо , то

Варіант 40 (пробне ЗНО – 2017)

31. Задано функцію

1. Розв’яжіть рівняння:
2. Спростіть вираз
3. Побудуйте графік функції
4. Користуючись графіком, визначте область значень цієї функції.

Розв’язання:

1)

2)

3)           

 

 

 

 

 

 

 

4)

32. Основою піраміди SABCD є паралелограм ABCD з гострим кутом А. Ребро SB перпендикулярне до прямих АВ і ВС. Проекцією ребра SD на площину основи є відрізок довжини 10 см, який утворює зі стороною AD кут 30°. Визначте кут між площинами (SAD) і (АВС), якщо SD = 15 см.

                               Розв’язання:

Проведемо – проекція на площину (АВС). За теоремою про три перпендикуляри, . SKB = φ – шуканий (лінійний кут двогранного кута).

(катет лежить проти кута 30°)

Відповідь:

    33. Розв’яжіть рівняння   залежно від значень параметра .

Розв’язання:

ОДЗ:

Відповідь: якщо , то ;

якщо то ;

якщо , то

Варіант 41 (ЗНО – 2017)

31. Задано функцію .

1. Визначте координати точок перетину графіка функції з осями координат.
2. Побудуйте графік функції .
3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції .
4. Обчисліть площу фігури. Обмеженої графіком функції та осями і .

Розв’язання:

1)

Відповідь: перетин з віссю абсцис: (3 ; 0) , перетин з віссю ординат: (0 ; 9).

2)

3) Відповідь:

4)

Відповідь: 9

32. Основою правильної призми АВСА₁В₁С₁ є рівносторонній трикутник АВС. Точка К – середина ребра ВС. Площина, що проходить через точки А, К та В₁ , утворює з площиною основи призми кут α . Визначте об’єм призми АВСА₁В₁С₁ , якщо відстань від вершини А до грані ВВ₁С₁С дорівнює .

Розв’язання:

– проекція похилої , (за теоремою про три перпендикуляри)

(лінійний кут двогранного кута)

Відстань від  А до грані ВВ₁С₁С – довжина відрізка АК.

1)

2)

3)

4)

5)

Відповідь:

33. Розв’яжіть систему рівнянь   залежно від значень параметра .

Розв’язання:

1) , але з другого рівняння . Розв’язків немає.

2) . З другого рівняння:

;

;

Необхідно:

Необхідно:

Відповідь: якщо , то ; якщо , то розв’язків немає; якщо , то

Варіант 43 (ЗНО – 2018)

31. Задано функції і

1. Побудуйте графік функції
2. Побудуйте графік функції
3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій і
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій і

Розв’язання:

 3)

; 

Значення

. Від’ємних коренів немає.

4)

32. У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи ABCD дорівнює с, а бічне ребро SA утворює з площиною основи кут α. Через основу висоти піраміди паралельно грані ASD проведено площину β.

1. Побудуйте переріз піраміди SABCD площиною β.
2. Обгрунтуйте вид перерізу.
3. Визначте периметр перерізу.

Розв’язання:

1) Нехай точка О – основа висоти піраміди (точка перетину діагоналей квадрата ABCD, що є основою піраміди). Через точку О проводимо EF || AB. PE  та PF – апофеми (висоти бічних граней) піраміди. В площині (PEF) через точку О проводимо OT || PE       ( T Є PF). В площині (PBC) через точку T проводимо NM || BC. В площині (АВС) через точку О проводимо KL || BC. Чотирикутник KLMN – шуканий переріз.

2) NM || BC, KL || BC NM || KL, отже, KLMN – трапеція. NK – середня лінія , ML – середня лінія .

 

KLMN – рівнобічна трапеція.

3)

Відповідь:

 

 33. Розв’язати нерівність:

Розв’язання:

ОДЗ:

Розглянемо тричлен

;

На ОДЗ:

1) . Розв’язок даної нерівності отримаємо із графічного зображення. Розв’язком будуть ті множини додатних , де графіки функцій лежать по різні боки від осі абсцис. – розв’язок для всіх допустимих значень параметра.

2) . 

3)

Відповідь: якщо , то ; якщо , то ;

якщо , то