Розв'язування ірраціональних рівнянь

10 клас. Розв'язування ірраціональнихрівнянь.

Рівняння, що містять змінну під знаком кореня називають ірраціональними. Наприклад: 3𝑥−1=𝑥2+1 𝑥+4=3 Перед розв'язанням ірраціонального рівняння перш за все потрібно знайти ОДЗ даного рівняння. Наприклад: 2𝑥+3=𝑥−1 ОДЗ: 2х+3 ≥ 0 та х -1 ≥ 0 2х ≥ -3 х ≥ 1 х ≥ - 1,5 х ≥ 1 2𝑥+3=𝑥−12𝑥+32=𝑥−122𝑥+3=𝑥−1𝑥=−4 Відповідь: немає розвʼязків.-4-1,51

У розвʼязанні ірраціональних рівнянь нам допоможуть такі теореми: Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримане рівняння буде рівносильне даному. Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримане рівняння є наслідком другого.

№7.2.° Розв'язати рівняння : 1) 𝟒𝟐х −𝟐 = 2 (𝟒𝟐х −𝟐)𝟒 = 𝟐𝟒 2х – 2 = 162х = 18 Х = 9 ОДЗ: 2х -2 ≥ 0 2х ≥2 х ≥ 1 Відповідь: 9.2) 𝟑х −𝟒 = 2 (𝟑х −𝟒)𝟑 = 𝟐𝟑 Х - 4 = 8 Х = 12 Відповідь: 12.

3) 𝟓х −𝟔 = -3 (𝟓х −𝟔)𝟓 = (−𝟑)𝟓 Х – 6 = - 243 Х = - 237 ОДЗ: 2х -2 ≥ 0 2х ≥2 х ≥ 1 Відповідь: -237.4) 𝟑 х𝟑−𝟐х+𝟑 = х (𝟑 х𝟑−𝟐х+𝟑)𝟑 = х𝟑 х𝟑−𝟐х+𝟑= х𝟑х𝟑 - 2х - х𝟑 = -3-2х = -3 Х = 1,5 Відповідь: 1,5.

№7.4. Розв'язати рівняння :1) 𝟕𝟐х −𝟏 = 𝟕з −х 2х – 1 = 3 – х2х + х = 3 + 13х = 4 Х = 1𝟏𝟑 Відповідь: 1𝟏𝟑  2) 𝟐х −𝟏 = 𝟏 −𝟐х ОДЗ: 2х -1 ≥ 0 2х ≥1 х ≥ 0,5 1 - 2х ≥ 01 ≥2х х ˂ 0,5 Відповідь: 0.5

3)𝟐х−𝟏= х−𝟑 2х – 1 = х – 32х - х = -3 + 1х = -2 Х = -2 ОДЗ: 2х -1 ≥ 0 2х ≥1 х ≥ 0,5 х −𝟑≥ 0х ≥ 3 Відповідь: немає розвʼязків.4) х2−36 = 2х−1 х𝟐 - 36 = 2х -1х𝟐 - 2х – 36 +1 = 0х𝟐 - 2х – 35 = 0 ОДЗ: х𝟐 - 36 ≥0 х𝟐 ≥36 Х≥6 та Х˂-6   2х -1 ≥ 0 2х ≥1 х ≥ 0,5 Звідси Х ≥6  Відповідь: 7. За т Вієта:𝒙𝟏+𝒙𝟐= 2 𝒙𝟏 = 7𝒙𝟏·𝒙𝟐= -35 𝒙𝟐 = -5 

5) 2 х+𝟓 = х + 2  (𝟐х+𝟓)𝟐 = (х + 2)𝟐4(х +5) = х𝟐 +4х+44х +20 = х𝟐 +4х+4 𝒙𝟏 = 4𝒙𝟐 =- 4 ОДЗ: х+𝟓≥ 0 х ≥ -5 №7.6. Розв'язати рівняння: Відповідь: -4; 4.х𝟐 +4х+4 – 4х -20 =0 х𝟐 - 16=0х𝟐 = 16