Тема: Розв’язування логарифмічних рівнянь

Мета: закріплення й усвідомлення раніше засвоєного матеріалу формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифміч­ного рівняння до алгебраїчного; метод потенціюван­ня; зведення логарифмів до однієї і тієї самої осно­ви; метод логарифмування та графічний метод;

 розвивати математичну мову учнів і бажання пізнавати нове;

 виховувати охайність, увагу, наполегливість.
Тип уроку: формування та вдосконалення вмінь і навичок

Наочність та обладнання: підручники, зошити,  ноутбуки,  проектори, презентації, TB Portable, програма My Test

Перебіг  уроку

І. Організаційний етап

Вітання  з класом

ІІ.  Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань

13 грудня православні християни відзначають свято на честь святого апостола Андрія Первозванного.
Андрій — один із дванадцяти апостолів, який перший був покликаний Христом в його апостоли, тому в православній традиції й називається Первозваним. 
За церковними легендами, святий Андрій Первозванний під час своєї останньої місійної подорожі проповідував християнство у Скіфії й дійшов аж до Києва, де на одному із пагорбів встановив хрест. 

Презентація учнів про вчених математиків на ім’я Андрій

1.     Усне розв'язування логарифмічних рівнянь з використанням таблиці  для усних обчислень «Логарифмічні рівняння».

Логарифмічні рівняння

ІІІ. Мотивація навчання, повідомлення теми і мети уроку
Математика – велика книга людського досвіду. На сьогоднішньому уроці ви дізнаєтесь тільки про одну сторінку цієї великої книги, тема якої «Розв’язування логарифмічних рівнянь».
Після уроку ви зможете  розв’язувати логарифмічні рівняння різними способами:

1.   Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного
2.   Метод потенціювання.
3.   Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.
4.   Метод логарифмування.
5.   Графічний метод розв'язування логарифмічних рівнянь.

IV. Сприймання і усвідомлення різних методів розв'язу­вання логарифмічних рівнянь.

Метод «Шпаргалка»
Учням демонструю основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь, учні роблять аналіз розв’язку і записують коротеньку шпаргалку

Випереджувальне індивідуальне завдання

1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log х – 3log₂ x = 4.

Розв'язання

Позначимо log₂ x  через у. Дане рівняння набере вигляду:

у² – 3y = 4;  у² – 3у – 4 = 0;  у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂ x = 4,  log₂ x =-1;

      x = 2⁴;          x = 2^-1;

      x = 16,           x =     .

Перевірка:  1) log 16 – 3 log₂ 16 = 16 – 12 = 4;

2) log – 3 log₂ =  -1 + 3 = 4.

Відповідь: 16; .

2. Метод потенціювання.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log₅(x – 1) + log₅(x – 2) = log₅(x + 2).

Розв'язання

Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:

log₅((x – 1)(х – 2)) = log₅(x + 2);   (х – 1)(х – 2) = х + 2;   x² – 2х – х + 2 = х + 2;

x² – 4х = 0;   х(х – 4) = 0;  х = 0 або х = 4.

Перевірка:

1.     Значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log₅(x – 1) і log₅(x – 2) не мають смислу при х = 0.
2.     log₅(x–1) + log₅(x–2) = log₅(4–1) + log₅(4–2) = log₅3 + log₅2 = log₅(2·3) = log₅6.

log₅(x + 2) = log₅(4 + 2) = log₅6.

Отже, х = 4 — корінь.

Відповідь: 4.

3. Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.

Приклад. Розв'яжіть рівняння log₃ х – 2х = 3.

Розв'язання

log₃ x – 2x = 3;  log₃ х – 2 · = 3;

log₃ x – 2· = 3;  log₃ x + 2log₃ x = 3;

3log₃ x = 3;   log₃ x = 1;   x = 3.

Перевірка: log₃ 3 – 23 = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.

Відповідь: 3.

4. Метод логарифмування.

Приклад. Розв'яжіть рівняння х ^lgx  = 100х.

Розв'язання

 Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0), одержимо:

lgx ^lgx = lg(100x);  lgx lgx = lg 100 + lgx; lg²x – lg x – 2 = 0.

Замінимо lg х = у. Рівняння прийме вигляд: у² – у – 2 = 0; y₁ = 2, y₂ = -1.

Тоді: 1) lg х = 2; х = 10²; х = 100.  2) lg x = -1; x = 10^-1; x = 0,1.

Перевірка: 1) x^lgx = 100 ^lg100 = 100² ; 100х = 100 · 100 = 100².

Отже, x = 100 — корінь.

2) x^lgx = 0,1^lg0,1 = 0,1^-1 = = 10; 100х = 100 · 0,1 = 10.

Отже, x = 0,1 — корінь.

Відповідь: 100; 0,1.

5. Графічний метод розв'язування логарифмічних рівнянь.

Приклад. Розв'яжіть рівняння lg x = 1 – х графічно.

Розв'язання

В одній і тій самій системі коорди­нат будуємо графіки функції у = lg x і у = 1 – х (рис. 165). Абсциса точки пере­тину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.

Відповідь: 1.

V. Застосування знань, умінь і навичок

1.Виконання завдань в програмі Me Test

2. «На замітку абітурієнту»

В цій рубриці представленні завдання, які були на ЗНО попередніх років
1 . Розв’яжіть рівняння log_0,4(5х²-8)= log_0,4(-3х). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть їхню суму.

При розв’язуванні логарифмічного рівняння важливо правильно знайти область визначення, тоді з двох коренів квадратного рівняння, що ми отримаємо при порівнянні підлогарифмічних виразів, до області визначення буде входити лише один: -1,8. 1 не входить до області визначення, бо вираз праворуч від знаку рівності не існує при додатніх х.

Відповідь: -1,6

2. Розв’яжіть рівняння log₆(х- 3)+ log₆(х-8)= 2

  Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь; якщо воно має два корені, то у відповідь запишіть їх суму.

Відповідь: 12.

VI. Підведення підсумків уроку.

Оцінювання учнів

VII. Домашнє завдання: Повторити  §17, п.17.1,  виконати №2 (3,4), №4 (4), №5 (3)