Розв'язування мінімаксних задач

Розв’язування мінімаксних задач

Мінімаксні задачіМінімаксні задачі – це клас оптимізаційних задач, де метою є знайти таке рішення, яке мінімізує максимальне значення цільової функції для всіх можливих дій опонента. Ці задачі виникають у різних сферах, включаючи економіку, теорію ігор, штучний інтелект та інженерію.

Використання мінімаксних задач. Економіка;Інженерія;Штучний інтелект;Теорії ігор і т.д…

Використання в економіціМінімаксні задачі використовуються для моделювання поведінки фірм на ринку, де кожна фірма прагне максимізувати свій прибуток, враховуючи дії своїх конкурентів. Наприклад, задача про вибір ціни може бути сформульована як мінімаксна задача, де фірма намагається знайти ціну, яка максимізує її прибуток, враховуючи можливі реакції конкурентів.

Використання в інженеріїМінімаксні задачі використовуються для проектування систем, які стійкі до помилок та невизначеності. Наприклад, інженери можуть використовувати мінімаксні задачі для проектування електронних схем, які мінімізують вплив шуму.

Використання в штучному інтелектіМінімаксні задачі використовуються для розробки агентів штучного інтелекту, які можуть приймати оптимальні рішення в складних середовищах. Наприклад, алгоритм minimax використовується для створення шахових програм, які можуть обчислювати найкращі ходи, враховуючи всі можливі ходи опонента.

Використання в теорії ігор. Мінімаксні задачі є основою теорії ігор, яка вивчає стратегії прийняття рішень у конфліктних ситуаціях. Наприклад, у класичній грі в шахи кожен гравець намагається зробити хід, який мінімізує максимальну перевагу свого опонента.

Методи розв'язання мінімаксних задачІснує декілька методів розв'язання мінімаксних задач, вибір методу залежить від розміру та складності задачі. Деякі з найпоширеніших методів: Прямий перебір: Цей метод полягає в переборі всіх можливих рішень та виборі того, яке мінімізує максимальне значення цільової функції. Метод лінійного програмування: Цей метод використовується для розв'язання мінімаксних задач, які можна сформулювати як задачі лінійного програмування. Метод лінійного програмування гарантує знаходження оптимального рішення, якщо задача має оптимальне рішення. Методи стохастичного пошуку: Ці методи використовуються для розв'язання задач, які занадто складні для прямого перебору або лінійного програмування.

Пропоную розглянути математичний метод рішення деяких рівнянь методом знаходження мінімального і максимального значень правої і лівої частин рівняння. Такий принцип не вивчається в шкільному курсі математики , і найчастіше не викладається у вищих закладах освіти. Метод мінімакса – це нестандартний підхід до розв’язання рівнянь, тому і є цікавим.

Розглянемо загальний випадок, коли даний принцип використовується для розв’язання рівнянь виду f(x) = g(x), де f(x) ≥ a, g(x) ≤ a. Тоді будемо мати систему: 𝑓𝑥≥𝑎𝑔𝑥≤𝑎 , і при таких умовах рішення буде тільки в тому випадку, якщо 𝑓𝑥=𝑎𝑔𝑥=𝑎 , або min f(x) = max g(x). Отже, необхідно знайти такі «х», щоб вони були одночасно і точками мінімуму ф-її f(x), точками максимуму ф-її g(x). 

Один із методів розв'язання мінімаксних задач полягає у використанні похідних. Цей метод ґрунтується на наступному принципі: Максимум функції досягається в точках, де її похідна дорівнює нулю або не існує. Отже, для розв'язання мінімаксной задачі за допомогою похідних можна виконати наступні кроки: Сформулювати задачу. Це означає чітко визначити дану функцію, яку потрібно мінімізувати, а також обмеження, яким повинне відповідати шукане значення. Знайти критичні точки функції. Критичні точки – це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Їх можна знайти, прирівнявши похідну до нуля і розв'язавши отримане рівняння. Оцінити значення даної функції в критичних точках. Для цього потрібно підставити кожну критичну точку в задану функцію і обчислити її значення. Знайти мінімальне значення функції. Це буде мінімальне з значень, отриманих на кроці 3. Перевірити, чи відповідає знайдене значення обмеженням задачі. Якщо так, то воно є розв'язком задачі. Якщо ні, то потрібно повторити кроки 2-4, розглядаючи інші критичні точки або інші допустимі значення.

Приклад 1. Мінімізація максимального значення функції Задача: Знайти такі x, щоб мінімізувати максимальне значення функції f(x) = 𝑥2− 4𝑥+5 Розв’язання: Розв’язання: Знайти критичні точки функції f (x):f′(x)=2x−4 Розв’язуємо рівняння f′(x)=0:2x−4=0 ⟹ x = 2 Знайти значення функції в критичних точках:f(2) = 22−4⋅2+5=4−8+5=1 Дослідити поведінку функції на краях інтервалу: У цьому випадку ми не маємо заданого інтервалу, але для задачі можна взяти інтервал x ∈[−∞,∞]. При дуже великих або дуже малих x, f(x)→∞. Таким чином, мінімальне максимальне значення f(x) досягається в точці x=2 і дорівнює 1. 

Приклад 2. Максимізація мінімального значення функції Задача: Знайти такі x, щоб максимізувати мінімальне значення функції g(x)=−𝑥2+4x−3. Розв’язання: Знайти критичні точки функції g(x):g′(x)=−2x+4 Розв’язуємо рівняння g′(x)=0:−2x+4 = 0 ⟹x=2 Знайти значення функції в критичних точках:g(2)=−(2)2+4⋅2−3=−4+8−3=1 Дослідити поведінку функції на краях інтервалу: Знову ж таки, якщо інтервал x ∈[−∞,∞], то при дуже великих або дуже малих x, g(x)→−∞. Отже, максимальне мінімальне значення g(x) досягається в точці x=2 і дорівнює 1. 

Приклад 3. Мінімізація максимального значення функції на обмеженому інтервалі Задача: Знайти такі x на інтервалі [0,3], щоб мінімізувати максимальне значення функції h(x)=𝑥3−3𝑥2+3x+1. Розв’язання: Знайти критичні точки функції ℎ(x):h′(x)=3𝑥2−6x+3 Розв’язуємо рівняння h′(x)=0:3 𝑥2 −6x+3=0 ⟹ 𝑥2 −2x+1=0 ⟹(x−1) 2 =0 ⟹x =1 Знайти значення функції в критичних точках і на кінцях інтервалу:h(0)= 03 −3⋅ 02 +3⋅0+1=1ℎ(1)= 13 −3⋅ 12 +3⋅1+1=1−3+3+1=2ℎ(3)= 33 −3⋅ 32 +3⋅3+1=27−27+9+1=10 Отже, максимальне значення h(x) на інтервалі [0,3] становить 10, а мінімальне з можливих максимальних значень досягається на інтервалі. 

Дані приклади демонструють використання похідної для розв’язання мінімаксних задач, досліджуючи критичні точки та поведінку функцій на заданих інтервалах. Похідні даної функції описують, як вона змінюється при малих змінах вхідних даних. Цю інформацію можна використовувати, щоб знайти точку, в якій функція досягає мінімуму для будь-якого значення дії. Висновки