Урок 11

Тема уроку.   Розв'язування задач на ознаку паралельності та ознаку 

                       мимобіжності двох прямих.

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати ознаку паралельності та ознаку мимобіжності двох прямих до розв'язування задач.

Обладнання: стереометричний набір, модель тетраедра.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування.

1)Як можуть розташовуватися дві різні прямі в просторі?

2) Які прямі в просторі називаються паралельними?

3) Сформулюйте ознаку паралельності прямих.

4) Які прямі називаються мимобіжними?

5) Сформулюйте ознаку мимобіжності прямих.

2. Перевірку виконання задачі № 27 можна провести шляхом бесіди, користуючись рис. 36 із підручника, за такими питаннями:

1) Чому DC ║ D₁C₁ ?

2) На підставі чого можна стверджувати, що DC = D₁C₁ ?

3) Згідно з якою ознакою чотирикутник CDD₁C₁ є паралелограмом?

4) Яке взаємне розміщення прямих AD₁ і АВ? Чому?

5) Яке взаємне розміщення прямих DC і AD₁? Чому?

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Розв'язування задач

1. Точка S не лежить у площині трикутника АВС, точки Μ, Ν і Ρ — середини відрізків SA, SB і SC відповідно, точка Κ лежить на відрізку BN. Яке взаємне положення прямих: a) NS і АВ; б) РК і ВС; в) MN і АВ; г) МР і АС; д) KN і АС; е) KN і АС; є) MS і ВС? Відпо­відь обґрунтуйте.

2. Через точку А, що не лежить на прямій а, проведено дві прямі, які не мають спільних точок з прямою а. Доведіть, що хоча б одна з прямих і пряма а будуть мимобіжними прямими.

3. Через вершину А ромба ABCD проведена пряма а, паралельна діаго­налі BD, а через вершину С — пряма b, яка не лежить в площині ромба. Доведіть, що: а) прямі а і CD перетинаються; б) прямі a і b — мимобіжні прямі.

4. Точка С ділить відрізок АВ у відношенні АС : СВ = т : n. Пара­лельні прямі, які проходять через точки А, С, В, перетинають деяку площину в точках A₁, С₁, В₁. Знайдіть відношення A₁B₁ : А₁С₁, якщо відомо, що відрізок АВ не перетинає даної площини.

5. Через кінець А відрізка АВ проведено площину α . Через кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетина­ють площину α в точках В₁ і С₁. Знайдіть довжину відрізка СС₁, якщо: а) АС : СВ = т : n і   ВВ₁ = а; б) АС₁ : C₁Β₁ = т : n і ВВ₁ = b; в) АВ : ВВ₁ = т : n і АС = с .

6. Через вершину D паралелограма ABCD проведено площину, яка не перетинає його, а через точки А, В, С — паралельні прямі, які пе­ретинають цю площину в точках А₁, В₁, С₁ відповідно. Знайдіть ВВ₁, якщо АА₁ = а, СС₁ = с.

7. Задача № 8* із підручника (с. 18).

8. Нехай О — точка перетину діагоналей паралелограма ABCD, а α — площина, яка перетинає паралелограм. Через точки А, В, С, D, О проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках Α₁, B₁, С₁ D₁, O₁ відповідно. Доведіть, що:

а) АА₁ + ВВ₁ + СС₁ + DD₁ = 4 · ОО₁; б) АА₁ + СС₁ = ВВ₁ + DD₁.

9. Задача № 12* із підручника (с. 19).

Розв'язання

Точки Μ, Ν, К, L, S, Ρ — середини відрізків АВ, ВС, AC, AD, BD, CD відповідно (рис. 41). Чотирикутник MLPN — паралелограм (оскільки MN ║ AC, MN = AC, LP ║ AC ,   LP = AC), отже, ΜΡ і LN — його діагоналі, які перетина­ються в точці О і діляться в цій точці пополам.

Чотирикутник LSNK — паралелограм (оскільки LS || АВ, LS = АВ,

NK || АВ , NK = АВ), отже, його діагоналі SK і LN перетинаються в точці О і діляться в цій точці пополам. Тобто, прямі, які з'єднують сере­дини відрізків   АВ і CD, AC і BD, AD і ВС, перетинаються в одній точці.

III. Домашнє завдання

Підготуватися до тематичної атестації та розв'язати наступну задачу.

Дано трикутник АВС і площину α , яка не перетинає його. Через вершини трикутника АВС і точку Μ — середину медіани AD цього три­кутника — проведені паралельні прямі, які перетинають площину α в точках А₁, B₁, C₁ і М₁ відповідно. Знайдіть довжину відрізка ММ₁, якщо АА₁ = а, BB₁ = b, СС₁ = с.

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Вкажіть можливі випадки розташування двох прямих у просторі.

2) Сформулюйте ознаку паралельності прямих у просторі.

3) Сформулюйте ознаку мимобіжності прямих у просторі.