Розв'язування задач на застосовування теореми косинусів і наслідків з неї.

Про матеріал
Тема уроку. Розв'язування задач на застосовування теореми косинусів і наслідків з неї. Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів і наслідки з неї до розв'язування задач.
Перегляд файлу

 

 

Тема уроку. Розв'язування задач на застосовування теореми косинусів і    

                       наслідків з неї.

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів і наслідки з неї до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13], посібник [14].

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему косинусів до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та від­повісти на запитання, які виникли в учнів при їх розв'язуванні

Розв'язування задач

  1. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ; с2 =144 + 64 – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ = 208 – 96 = 112;
    с = 10,6.

a2 = b2 + c2 2bccosα; 144 = 64 + 112 28 10,6cosα; 169,6cosα = 32;

cosα 0,19; α 79°.

Тоді β = 180° - α - γ 180° - 60° - 79° = 41°.

Відповідь. с = 10,6, α 79°, β 41°.

  1. a2 = b2 + c2 – 2bccosα; 16 = 49 + 25 – 70cosα; 70cosα = 58; cosα =0,829; α 34°.

b2 = a2 + c2 – 2accosβ; 25 = 16 + 49 – 56cosβ; 56cosβ = 40; cosβ = 0,714; β 44°.

Тоді γ = 180° - α - β 180° - 34° - 44° = 102°.

Відповідь. α 34°, β 44°, γ 102°.

  1. Нехай у трикутнику ABC АВ = с, AC = b. BC = a (рис. 15).
    Проведемо висоту CD (два випадки).

За наслідком із теореми косинусів маємо:

а2 = b2 + с2 ± 2с npcb = b2 + c2 ± 2cAD. Звідси AD = .

Із трикутника ACD за теоремою Піфагора маємо:

CD = = = .

Відповідь. .

 

ІІ. Самостійна робота

Самостійну роботу навчального характеру можна провести, скориставшись посібником [14], тест 2 «Теорема косинусів та її наслідки».

 

III. Формування вмінь і навичок учнів

Застосування теореми косинусів

Користуючись теоремою косинусів, можна довести кілька важливих теорем.

Наприклад: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Доведемо цю теорему, використовуючи теорему косинусів.

Нехай ABCD — паралелограм, AB = CD = a, AD = BC = b, AC = d1, BD = d2 (рис. 16).

За теоремою косинусів із трикутника ABD маємо:

BD2 = AB2 + AD2 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cosA,

= a2 + b2 2abcosA.         (1)

За теоремою косинусів із трикутника ABC маємо:

АС2 = АВ2 + ВС2 2 ∙ AB ∙ BC ∙ cosB, або

АС2 = АВ2 + ВС2 2 АВВС ∙ cos(180°- A),

АС2 = АВ2 + ВС2 + 2АВ ВС cosA, = a2+ b2 + 2abcosA.   (2)

Додавши рівності (1) і (2) почленно, одержимо: + = 2(а2 + b2), що і треба було довести.

 

Розв'язування задач

  1. Сторони паралелограма дорівнюють 23 см і 11 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 2 : 3. (Від­повідь. 20 см і 30 см.)
  2. Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 см і 14 см, а різни­ця сторін становить 4 см. Знайдіть сторони паралелограма. (Відповідь. 7 см і 11 см.)
  3. Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 6 см. Знайдіть третю сторону.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 17) АВ = 7 см, ВС = 11 см, BD — медіана (AD = DC), BD = 6 см.

  

Продовжимо медіану BD і відкладемо на продовженні відрі­зок DF так, що DF = BD. Чотирикутник ABCF — це паралелограм (оскільки діагоналі АС і BF точкою перетину діляться навпіл), тоді AC2 + BF2 = 2 ∙ (AB2 + BC2).

Звідси AC2 + 122 = 2(72 + 112), тоді АС2 + 144 = 340; АС2 =196; АС = = = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

 

  1. Доведіть, що в опуклому чотирикутнику сума квадратів діа­гоналей у 2 рази більша від суми квадратів відрізків, які спо­лучають середини протилежних сторін.

Доведення

Нехай у чотирикутнику ABCD (рис. 18) AN = NB, BF = FC, CK = KD, DM = = AM. Оскільки NF = MK= AC, MN = KF = BD і чотирикутник MNFK — паралелограм, то, скориставшись теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма, маємо: NK2 + MF2 = 2(MK2 + MN2) = 2=     = (AC2 + BD2) або AC2 + BD2 = 2 ∙ (NK2 + MF2), що і треба було довести.

 

  1. За трьома сторонами а, Ь, с трикутника ABC знайдіть його медіани та, тb, тса, тb, тс —медіани, проведені до сто­рін а, b, с відповідно).

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 19) ВС = а, АС = b, АВ = с, АК — медіана, АК = та. Продовжимо медіану АК так, що AK = KD. Тоді ABDC — паралелограм, у якому діагональ AD = 2ma. Оскільки сума квадратів діагоналей паралелогра­ма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, то AD2 + BC2 = 2(AC2 + + АВ2). Звідси (2та)2 + а2 = 2(b2 + с2). Із останньої рівності знаходимо, що та: та = .

Міркуючи аналогічно, знаходимо медіани тb і тс:

тb = ; mс = .

Відповідь. та = ; тb = ; тс =

  

 

  1. За трьома медіанами та, тb, тс трикутника ABC знайдіть його сторони a, b, c (та, тb, тс — медіани, проведені до сто­рін а, b, с відповідно).

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC AN = ma, ВМ = тb, СК = тс (рис. 20). Позначимо довжини сторін, які треба знайти, та­ким чином: ВС = а, АС = b, АВ = с. Продовжимо одну із медіан, напри­клад AN, так, що ON = DN. Сполучимо точку D із точками В і С, одержимо паралелограм BOCD, у якого сума ква­дратів діагоналей дорівнює сумі квадра­ тів його сторін, а саме: ВС2 + OD2 = 2(ОВ2 + ОС2) (1). Підставимо в формулу (1): ВС = а, OD = та, ОВ = тb, ОС = тс, одержимо:

.

Звідси знаходимо а: =.

Міркуючи аналогічно, одержимо формули для сторін b і с:

b = ; с = .

Відповідь. a = ; b = ; с = .

 

IV. Домашнє завдання

Розв'язати задачі.

  1. Дано паралелограм з діагоналями с і d і кутом α між ними. Знайдіть сторони паралелограма.
  2. Знайдіть медіани трикутника, сторони якого дорівнюють 5 м, 6 м і 7 м.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

  1. Сформулюйте теорему про суму квадратів діагоналей пара­лелограма.
  2. Діагоналі паралелограма дорівнюють 2 см і 2 см, а кут між ними становить 30°. Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними.

а) Сторона паралелограма, що лежить проти кута в 30°, до­рівнює 1 см.

б) Менша діагональ утворює з меншою стороною паралело­грама кут у 120°.

в) Сума квадратів усіх сторін паралелограма становить 20 см2.

г) Більша сторона паралелограма дорівнює см.

 

Ро

doc
Додано
3 січня
Переглядів
52
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку