Розв'язування задач на застосування теореми синусів.

Тема уроку. Розв'язування задач на застосування теореми синусів.

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати теорему синусів до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13], посібник [14].

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему синусів до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування

1. Сформулюйте теорему синусів.
2. У трикутнику ABC (рис. 29) сторони дорівнюють а, b, с, а кути дорівнюють α, β, γ. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R. Виберіть правильні твердження.

а) ; 

б) ; 

в) a² = b² + c² – 2bcsinγ;

г) b = 2Rsinα.

3. У трикутнику ABC відомо, що A = 60°, B = 45°. Радіус кола, описаного навколо цього трикутника, дорівнює см. Які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними?

а) ВС = 2sinB см;   б) АС = см; 

в) ВС = 3 см;    г) АВ = 2sin70° см.

2. Перевірити правильність виконання домашніх вправ за запи­сами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв'язання задачі

а) ; ; β 21°;

  γ = 180° - α – β 180° - 120° - 21° = 39^o;

 ; c = .

  Відповідь, β 21°, γ 39°, с 8,7.

б) ; ; β 6°;

     γ = 180° - α - β 180° - 164° - 6° = 10°;

  ; с = .

Відповідь. β 6°, γ 10°, с 21,4.

II. Розв'язування задач

Використовуючи теорему синусів, доведіть, що:

а) у трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона;

б) проти більшої сторони лежить більший кут.

Наводимо зразок оформлення доведення теореми.

а) Дано: 0° < α < 90°, 0° < β < 90°, α > β (рис. 30). Довести, що а > b.

Доведення

Оскільки α > β, то sinα > sinβ. Ураховуючи, що , маємо: а > b.

б) Дано: 90° < α < 180° (рис. 31). Довести, що а > b.

Доведення

Оскільки 90° < α < 180°, то 0° < 180° - α < 90°, 180° - α > β (як зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом β. Тому sinα = sin(180°- α) > sinβ. Ураховуючи, що , маємо: а > b.

в) Дано: а > b. Довести, що α > β.

Доведення

Припустимо, що α < β. Якщо α = β, то а = b, що суперечить умові а > b. Якщо α < β, то а < b, що суперечить умові а > b. Отже, припущення неправильне, тоді α > β.

Усне розв'язування задач

1. У трикутнику ABC A = 32°, B = 63°. Яка зі сторін три­кутника є:

а) найбільшою;  б) найменшою?

2. У прямокутному трикутнику ABC (C = 90°) B = 18°. Який із катетів трикутника є:

а) більшим;  б) меншим?

3. У трикутнику ABC АВ = 5 м, ВС = 6 м, АС = 7 м. Який із ку­тів трикутника є:

а) найбільшим;  б) найменшим?

4. У трикутнику ABC АВ = АС = 10 см, ВС = 12 см. Які кути трикутника рівні? Який кут цього трикутника є найбільшим?

Колективне розв'язування задач

1. Доведіть, що коли в трикутнику є тупий кут, то протилежна йому сторона є найбільшою.
2. Що більше: основа чи бічна сторона рівнобедреного трикутни­ка, якщо прилеглий до основи кут більший від 60°?

Розв'язання

Нехай АС = ВС (рис. 32), CAB > 60°, тоді CBA > 60°, АСВ = 180° -      - (CAB + CBA) < 60°. Оскільки ACB < CAB = CBA, то АВ < СА = СВ, тобто бічна сторона більша від основи.

Відповідь. Більшою є бічна сторона.

3. У трикутнику ABC кут С тупий. Доведіть, що коли точка X лежить на стороні АС, то ВХ < АВ.

Доведення

Якщо в трикутнику ABC (рис. 33) кут С тупий, то кут А є гострим.

AXB > ACB (за властивістю зовнішнього кута трикут­ника). Тоді в трикутнику AXB маємо: AXB > XAB, отже, АВ > ВХ, що і треба було довести.

4. У трикутнику ABC кут С тупий. Доведіть, що коли точка X лежить на стороні АС, а точка Y — на стороні ВС, то XY < АВ.

Доведення

Згідно з результатами задачі 3, із трикутника ABC (рис. 34) маємо ХВ < АВ. (1)

Із трикутника ХСВ (кут С тупий) аналогічно знаходимо: XY < XB. (2)

Ураховуючи нерівності (1) і (2), одержуємо: XY < ХВ < АВ. Отже, XY < АВ, що і треба було довести.

ІІІ. Самостійна робота

Самостійну роботу навчального характеру можна провести, скориставшись посібником [14], тест 3 «Теорема синусів та її наслідки».

IV. Домашнє завдання

Розв'язати задачі.

1. У трикутнику ABC A = 40°, В = 60°, C = 80°. Яка із сто­рін трикутника є найбільшою, яка — найменшою?
2. У трикутнику ABC сторони АВ = 5,1 м, ВС = 6,2 м, АС = 7,3 м. Який із кутів трикутника є найбільшим, який — найменшим?
3. На стороні АВ трикутника ABC позначено точку D. Доведіть, що відрізок CD менший за одну із сторін: АС або ВС.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1. Сформулюйте теорему про співвідношення між кутами три­кутника і протилежними сторонами.
2. У трикутнику дві сторони дорівнюють 3 см і 4 см. Чи може кут, протилежний стороні 3 см, бути тупим?