Теореми про ознаки паралелограма

Тема. Теореми про ознаки паралелограма

Мета: сформувати в учнів свідоме розуміння змісту та схеми дове­дення теореми, що виражає ознаки паралелограма.

Формувати вміння:

• відтворювати ознаки та їхні доведення;
• застосовувати вивчені ознаки для доведення того, що даний чотири­кутник є паралелограмом.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Наочність та обладнання: конспект «Паралелограм».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Домашнє завдання перевіряємо за зразком взаємоперевіркою.

III. Формулювання мети й завдань уроку

З метою створення мотивації навчальної діяльності учнів та усвідомлення ними логіки побудови вивчення геометричних фігур (озна­чення -> властивості -» ознаки) підводимо учнів до розуміння необхід­ності вміти знаходити серед чотирикутників паралелограми. Постає питання: чи існує відповідна ознака? Якщо так, її треба сформулювати та довести — це і є основна дидактична мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань

З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння учнями змісту ознак паралелограма сліз, активізувати знання і вміння учнів щодо змісту поняття «ознака», ознак рівності трикутників, паралельності прямих, властивостей вертикальних кутів, а також означення паралелограма.

Для цього учні мають розв'язати вправи.

Виконання усних вправ за готовими рисунками

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Зміст поняття «ознака» паралелограма.
2. Теорема ознаки паралелограма: формулювання і доведення.
3. Приклади застосування ознак паралелограма.

 На відміну від традиційного підручника геометрії (під ред. О. В. Погорєлова), в якому ознаки паралелограма розглядають­ся у формі опорних задач, та від інших під ручників (в яких ознаки були розглянуті як окремі теореми), новий підручник містить усі основні ознаки паралелограма (за двома протилеж­ними сторонами, за парами протилежних сторін та за діагона­лями) у вигляді однієї теореми. Такий підхід до викладання ма­теріалу мас логічне обґрунтування, оскільки всі ознаки паралелограма мають однакому схему доведення:

• спочатку доводиться рівність трикутників (здобутих у результаті проведення однієї або двох діагоналей паралелограма);
• із рівності трикутників випливає рівність відповідних елементів цих трикутників (які у свою чергу є елементами паралелограма);
• на основі доведеної рівності певних елементів паралелограма із ви­користанням означення (а потім доведеного попереднього твер­дження) доводиться той факт, що даний чотирикутник — парале­лограм.

Оскільки схеми доведення всіх трьох ознак майже однакові (від­мінність тільки в застосуванні різних ознак рівності трикутників та ви­користанні або означення паралелограма, або вже доведеної ознаки паралелограма за двома протилежними сторонами), то роботу з дове­дення ознак можна організувати так: ознаку паралелограма за двома протилежними сторонами доводить учитель за участі учнів, складає план доведення, а потім пропонує учням самостійно довести наступні ознаки за складеним планом.

Усі вивчені на уроці ознаки паралелограма поміщені в конспект «Паралелограм».

VI. Формування первинних умінь та навичок

Виконання усних вправ

1. Діагоналі чотирикутника DEFK перетинаються в точці О, причому      DO = OF, EO = OK. Назвіть паралельні сторони чотирикутника і по­ясніть, чому вони паралельні.
2. У чотирикутнику KLMN KL || MN і KL = MN. Назвіть рівні кути чо­тирикутника і поясніть, чому вони рівні.
3. У чотирикутнику PRSQ PR =SQ, PQ=RS. Знайдіть суму кутів R і S.
4. У чотирикутнику ABCD AB = CD. Яке співвідношення між сторонами чоти­рикутника необхідно додати до умови задачі, щоб довести, що ABCD — па­ралелограм? Наведіть усі можливі варіанти відповіді.
5. На рисунку  1 точка О — спільна середина відрізків AD, CH, BE. Які з чотирикутників є паралелограма­ми? Чому?

Виконання графічних вправ

Проведіть дві паралельні прямі. Відкладіть на одній із них відрізок AD, а на другій прямій — відрізок ВС, що дорівнює AD, так, щоб відрізки АВ і CD не перетиналися. Побудуйте відрізки АВ і CD.

а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом.

б) Позначте точку М так, щоб чотирикутник АВМС був паралело­грамом. Чи лежать точки М, С і D на одній прямій?

Виконання письмових вправ

1. Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці О. Чи є да­ний чотирикутник паралелограмом, якщо АО = 4 см, ОС = 40 мм,
   BD = 1,2 дм, OD= 6 см? Відповідь обґрунтуйте.
2. За даними рисунка 2 доведіть, що чотирикутник ABCD — па­ралелограм.
3. У чотирикутнику ABCD сторо­ни АВ і CD паралельні. Знай­діть периметр чотирикутника, якщо АВ = CD = 9 см, АО = 4см.

Після засвоєння змісту теорем і формування первинних умінь за­стосовувати ознаки у стандартних ситуаціях розв'язуємо задачу з де­тальним поясненням.

Задача. У паралелограмі ABCD точки М і N — середини сторін АВ і CD відповідно (рис. 3). Доведіть, що чотирикутник MBND — пара­лелограм.

Виконання письмових вправ

1. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О. Точ­ки В₁ і D₁ — середини відрізків ВО і DO відповідно. Доведіть, що чотирикутник AB₁CD₁ — паралелограм.
2. За даними рисунка 4 доведіть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

Під час розв'язування письмових вправ слід зробити акцент на тому, що ці задачі передбачають застосування властивостей паралело­грама, але оскільки в умові цього не дано, то план розв'язування задач має бути таким:

• спочатку, використовуючи ознаки паралелограма, довести, що да­ний чотирикутник — паралелограм;
• після доведення того, що даний чотирикутник є паралелограмом, використати властивості паралелограма.

Зміна порядку виконання дій є логічною помилкою і суперечить логіці побудови геометрії.

VII. Підсумок уроку

Тестове завдання

Діагоналі чотирикутника MNPQ (див. рис.) в точці пере­тину діляться навпіл. Одна з його сторін дорівнює 4 см. Чому дорівнює протилежна їй сторона?

1) 3 см; 2) 4 см;  3) 5 см; 4) 6 см.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити формулювання і доведення теореми про ознаки парале­лограма.

Розв'язати задачі.

1. Накресліть трикутник ABC і проведіть його медіану ВО. На промені
   ВО побудуйте відрізок OD, що дорівнює ВО. Сполучіть точку D
   з точками А і С.

а) Поясніть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом.

б) Позначте точку М так, щоб чотирикутник ABDM був паралело­грамом. Чи лежать точки М, С і D на одній прямій?

2. За даними рисунка 5 дове­діть, що чотирикутник ABCD — паралелограм.

3. У чотирикутнику ABCD AB = CD,    AD = BC. Знайдіть кути чотирикутника, якщо кут А втричі більший за кут В.
4. За даними рисунка 6 доведіть, що чотири­кутник ABCD — паралелограм.