Тема уроку. Розв'язування задач на знаходження кутів у просторі.

Мета уроку: формування вмінь учнів знаходити кути у просторі.

Обладнання: стереометричний набір, модель куба.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні відтворюють розв'язування задач № 48 (2) 49 (1) на дошці.

2. Фронтальне опитування.

1) Сформулюйте теорему про площу ортогональної проекції много­кутника.

2) Знайдіть площу ортогональної проекції квадрата з діагоналлю 4 см, якщо кут між площиною квадрата і його проекцією дорівнює:              а) 60°; б) 45°.

3) Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 2 см. Укажіть, які з наведе­них тверджень правильні, а які — неправильні:

а) кут між прямою C₁D і площиною АВС дорівнює 30°;

б) кут між прямою B₁D і площиною АВС дорівнює 45°;

в) площина АСВ₁ утворює з площиною АВС кут, тангенс якого дорівнює ;

г) площа перерізу куба площиною, яка проходить через ребро АВ і утворює з площиною АВС кут 30° , дорівнює см².

3. Перевірка правильності розв'язання задач № 48 (2), 49 (1), що від­творили учні на дошці.

4. Самостійна робота.

Варіант 1

1) Кут між площинами α і β дорівнює 60° . Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від площини β на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до лінії перетину площин. (4 бали)

2) Через центр О квадрата ABCD проведено до його площини перпе­ндикуляр SO. Кут між прямою SC і площиною квадрата дорівнює 60°. АВ = 18 см. Знайдіть кут між площинами ASC і DSC. (8 балів)

Варіант 2

1) Кут між площинами α і β дорівнює 60°. Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від площини β на 12 см. Знайдіть від­стань від проекції точки А на площину β до лінії перетину пло­щин. (4 бали)

2) Через вершину D тупого кута ромба ABCD проведено до його площини перпендикуляр DM довжиною 9,6 см. Діагоналі ромба дорівнюють 12 і 16 см. Знайдіть кут між площинами АВС і МВС. (8 балів)

Варіант З

1) Кут між площинами α і β дорівнює 30°. Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від лінії перетину площин на 12 см. Знай­діть відстань від точки А до площини β. (4 бали)

2) Через центр О квадрата ABCD проведено до його площини перпе­ндикуляр SO. Кут між прямою SC і площиною квадрата дорівнює 60°, АВ = 18 см. Знайдіть кут між площинами АВС і BSC. (8 балів)

Варіант 4

1) Кут між площинами α і β дорівнює 30°. Точка А, яка лежить у площині α, віддалена від лінії перетину площин на 12 см. Знай­діть відстань від проекції точки А на площину β до лінії перетину площин. (4 бали)

2) Через вершину D тупого кута ромба ABCD проведено до його пло­щини перпендикуляр DM. Діагоналі ромба дорівнюють 12 і 16 см. Знайдіть кут між площинами AMD і CDM. (8 балів)

Відповідь.  Варіант 1. 1) 8 см. 2) arctg .  Варіант 2. 1) 4 см. 2) 45°.

Варіант 3. 1) 6 см.  2) arctg . Варіант 4.1) 6 см. 2) π – arccos .

II. Закріплення та осмислення знань учнів

Формування вмінь учнів знаходити куги між прямою і площиною, між площинами

Розв'язування задач

1. Кут між прямою а і площиною α дорівнює 45° . Через точку їх пе­ретину в площині α проведено пряму b. Кут між прямими а і b до­рівнює 60°. Доведіть, що кут між прямою b і проекцією прямої а на площину α дорівнює 45°.

2. Через сторону AC рівностороннього трикутника АВС проведено пло­щину α. Кут між висотою BD трикутника і цією площиною дорів­нює φ. Знайдіть кут між прямою АВ та площиною α. (Відповідь, arcsin .)

3. Через центр О правильного трикутника АВС проведено до його пло­щини перпендикуляр МО. АВ = а. Кут між прямою МА і пло­щиною трикутника дорівнює 45°. Знайдіть кут між площинами: 1) АМО і ВМО; 2) ВМС і АВС.

(Відповідь. 1) 60°; 2) arctg 2.)

4. Площини рівносторонніх трикутників АВС і ABD перпендикулярні. Знайдіть кут: 1) між прямою DC і площиною АВС; 2) між площинами ADC і BDC.

(Відповідь. 1) 45°; 2) arccos.)

III. Домашнє завдання

Повторити розділ «Вектори» із планіметрії та розв'язати задачу № 63 (с. 59).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Дайте означення кута між мимобіжними прямими.

2) Дайте означення кута між прямою і площиною.

3) Дайте означення кута між площинами.