Розв'язування задач за допомогою лінійних рівнянь. Рівняння як математична модель задачі

Тема. Розв'язування задач за допомогою лінійних рівнянь. Рівняння як математична модель задачі

Мета: розкрити технологію розв'язування текстових задач на знахо­дження невідомих доданків за сумою з допомогою рівнянь як матема­тичної моделі.

Тип уроку: систематизація знань, застосування вмінь.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Виконуємо перевірку, зібравши зошити й оцінивши письмові роботи учнів.

II. Робота з випереджальним домашнім завданням

 Взагалі, про використання рівнянь для розв'язування задач говори­лося раніше.(У 5 класі цьому було присвячено серію завдань, а потім у 6 класі в темі «Рівняння» та в інших темах розв'язування задач за допомогою рівнянь уже обговорювалося.)

Тому в роботі з випереджальним домашнім завданням слід акцентува­ти учнів на тому, що:

1. цю задачу можна було б розв'язати і за діями, але простіше скласти
   рівняння (більш зрозумілим буде розв'язання);
2. розв'язування задачі починається з того, що з'ясовують, які числа
   невідомі, і вибирають, яке з них (зазвичай це найменше з невідомих) по­
   значити буквою (цьому етапу в поясненнях відповідає перше речення:
   «Нехай х...»);
3. після вибору й позначення невідомого використовують умову задачі
   (співвідношення між невідомими та відомими величинами), щоб скласти
   рівняння (цьому етапу в поясненні до розв'язування задачі відповідає
   текст, що починається зі слів: «Тоді...» і закінчується «...маємо рівняння»);
4. розв'язання рівняння є лише одним з кількох етапів розв'язання
   задачі (і на цьому також слід акцентувати учнів), причому розв'язанням
   рівняння не закінчується розв'язання задачі;
5. останньою частиною розв'язання задачі за допомогою рівняння є пояснення (інтерпретація) знайдених у ході розв'язування рівняння чисел (частина тексту, що починається зі слів: «Отже,...»).

Наведені міркування можуть стати результатом або призведуть до того, що учні, виконавши певні дії з текстом, що дається їм для домашньої роботи, здобудуть такий результат:

III. Систематизація знань

 Після розбору випереджального домашнього завдання в основному робота з систематизації знань виконана. (План розв'язання задач за допомогою рівнянь, що склали в ході роботи з випереджальним домашнім завданням, учні записують у зошити). Але є ще два мо­менти, на які треба обов'язково звернути увагу:

1. рівняння є лише математичною моделлю задачі, тобто показує співвідношення між числовими значеннями величин, про які йдеться в задачі;
2. останній етап у ході розв'язування задач — інтерпретація знайдених
   коренів рівняння відповідно до умови задачі — є необхідним, бо можливий варіант, коли корінь рівняння, складеного за умовою задачі, не
   відповідає змісту задачі (див. нижче № 6).

IV. Застосування вмінь

Виконання усних вправ

Запишіть рівняння, що відповідає умові задачі:

1. сума двох чисел дорівнює 50, одне число х, а друге — у 4 рази менше;
2. сума двох чисел дорівнює 50, одне на 30 менше від іншого;
3. сума двох чисел дорівнює 50, одне становить 40 % від іншого;
4. сума двох чисел дорівнює 50, одне з них становить іншого;
5. сума трьох чисел дорівнює 50, одне з них на 10 більше від другого, а третє в 2 рази більше за друге.

Виконання письмових вправ

1. Бригада робітників за два тижні виготовила 356 деталей, причому за
   другий тиждень було виготовлено в 3 рази більше деталей, ніж за пер­
   ший. Скільки деталей було виготовлено за перший тиждень?

 Перед розв'язуванням задачі важливо, щоб учні здійснили порів­няння умови даної задачі із задачею, розібраною в попередньому пункті і, здійснивши порівняння, з'ясували, які спільні і відмінні риси мають умови задач, і звідси вийшли на спосіб розв'язування задачі (за планом, складеним під час розбору випереджального до­машнього завдання).

2. Дріт довжиною 456 м розрізали на 3 частини, причому перша частина
   в 4 рази більша від третьої, а друга — на 114 м довша за третю. Знайдіть
   довжину кожної частини.

 Так само, як і перед розв'язуванням задачі №1, порівняємо умову №2 з №1 і з'ясуємо, чим відрізняється умова №2 від №1 (кількість невідомих величин більша на одиницю) і чим схожі ці задачі (як і в №1, відома сума всіх невідомих величин). Після цього за планом розв'язуємо задачу.

3. Одна сторона трикутника в 3 рази менша від другої і на 2,3 дм менша від
   третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює
   10,8 дм.
4. За 3 ручки і 5 олівців заплатили 3 грн 16 к. Скільки коштує одна ручка
   й один олівець, якщо олівець дешевший від ручки на 98 к?
5. За три дні турист пройшов 128 км, причому другого дня він подолав відстані, яку пройшов за перший день, а третього — 40 % того, що за перший. Скільки кілометрів проходив турист щодня?

 Порівнюючи, звернути увагу на те, що в цій задачі дві невідомі вели­чини виражаються як частина від третьої, і тому, на відміну від розв'язування попередніх задач, за х буде простіше позначити саме ту невідому величину, через яку виражаються дві інші.

6. Чи можна розставити 158 книжок на трьох полицях так, щоб на першій
   полиці було на 8 книжок менше, ніж на другій, і на 5 книжок більше, ніж
   на третій?

 Принципово нова задача. По-перше, формулювання питання (оскільки учні не знайомі зі схемою доведення «від супротивного»), по-друге, тому що в цій задачі учні вперше зустрічаються з випад­ком, коли корінь рівняння не задовольняє умову задачі. Тому цю за­дачу треба ретельно обговорити й пояснити учням, що зміст питан­ня «Чи може виконуватись якесь твердження?» в математиці з'ясовується так: «Припустимо, що може, і подивимось, чи буде це відповідати дійсності».

Щоб встигнути розібрати таку велику кількість задач, можна організувати роботу учнів таким чином: оскільки основна мета — форму­вання вмінь формалізувати умову задачі та складати рівняння як матема­тичну модель задачі, то для № 1—5 можна скласти рівняння, а розв'я­зування рівнянь залишити для домашньої роботи.

V. Підсумки уроку

Один з варіантів — запропонувати учням узагальнити тип задач, що були розв'язані на уроці (знаходження доданків за відомою сумою).

VI. Домашнє завдання

№ 1. Розв'яжіть рівняння до задач № 1—5 (класна робота).

№ 2. У магазин завезли 425 кг картоплі, яку було продано за два дні, причому за перший день було продано в 4 рази більше картоплі, ніж за другий. Скільки картоплі було продано за третій день?

№ 3. Три 7-мі класи посадили разом 56 дерев. 7-Б клас посадив числа дерев, що посадив 7-А клас, а 7-В — 120 % того, що посадив 7-А клас. Скільки дерев посадив кожний клас?

№ 4. Чи можна 59 банок консервів розкласти в три ящики так, щоб у третьому було на 9 банок більше, ніж у першому, а в другому — на 4 бан­ки менше, ніж у третьому?