Розвязування рівнянь,що містять модуль

Урок-семінар з теми: "Розв’язування рівнянь,що містять модуль»

“При вивченні наук, приклади не менше повчальні, чим правила”(Ньютон)“Приклади повчають більше, ніж теорія”(Ломоносов)

Мета уроку: узагальнення і систематизація знань учнів за рішенням рівнянь, що містять знак модуля, розвиток навичок розв'язання рівнянь. Сприяти розвитку логічного мислення, пам’яті, уваги, пізнавальних інтересів. Виховувати позитивне ставлення до навчання, відповідальність за виконану роботу. Обладнання уроку: таблиця “Модуль”, плакати з зображенням рівнянь,що містять модуль.

План   семінару Вступне слово вчителя. Відомості про рівняння. Деякі способи розв’язування рівнянь,що містять модуль. (Повідомлення учнів). а)Метод інтервалів. б) Графічний метод. в) Розкриття модуля за означенням. г) Спосіб заміни сукупністю систем. д) Спосіб піднесення до квадрату. є) Спосіб граф.4. Розв’язування рівняння, в якому під знаком модуля знаходиться вираз, що містить також знак модуля. Підведення підсумків семінару.

Абсолютна величина в курсі середньої школи. Суттєвою характеристикою числа, як в дійсній, так і в комплексній області є поняття його абсолютної величини (модуля). Це поняття має широке поширення в різних відділах фізико-математичних наук. Так, в математичному аналізі одне з перших і фундаментальних понять - поняття межі - у своєму визначенні містить поняття абсолютної величини числа. У теорії наближених обчислень першим, найважливішим поняттям, є поняття абсолютної похибки наближеного числа. У механіці основним початковим поняттям є поняття вектора, найважливішою характеристикою якого служить його абсолютна величина (модуль). У практиці викладання математики в середній школі та інших середніх навчальних закладах поняття абсолютної величини числа (модуля числа) зустрічаються неодноразово. У VI класі, в курсі наближених обчислень, при з'ясуванні поняття абсолютної похибки наближеного числа формується поняття абсолютної величини числа. У другому півріччі VI класу вводиться визначення абсолютної величини числа, за допомогою цього поняття формулюються правила дій над раціональними числами. У VIII класі при розгляді властивостей арифметичного квадратного кореня знаходить своє новий додаток поняття абсолютної величини числа. У VIII класі при розгляді властивостей арифметичного квадратного кореня знаходить своє новий додаток поняття абсолютної величини числа. Наприклад:   та ін.

У X класі в темі "Степінь з раціональним і дійсним показником" розглядаються властивості коренів n - го степеня, де також використовується поняття абсолютної величини числа; так, наприклад, , якщо m – парне; якщо m – непарне. У XІ класі поняття абсолютної величини числа зустрічається при вивченні межі функцій, при дослідження функцій на обмеженість, де поняття абсолютної величини отримує свій подальший розвиток у більш загальній числовий області. Таким чином, у всіх класах, відповідно до навчальної програми, слід включати і розглядати вправи, що містять знак абсолютної величини числа. У VI класі можна розв'язувати рівняння виду:k * |x| + b = k1 * |x| + b1 і |k*x+b|=a.

У VII класі є можливість розглядати рішення рівнянь виду |k*|x|+b|=c; |kx+b|=ax+c і т.д., систем рівнянь виду:|2x-y|=1|x+2y|=2x-4а так побудова графіків функцій виду:y=k*|x|+b; y=|k*x+b|; y=|k*|x|+b|; y=1/|x| та ін. У VIII та ІХ класах додатки поняття абсолютної величини поширюються на квадратні рівняння, графік квадратного тричлена та ін. Можна розв'язувати рівняння виду: ax2+b*|x|+c=0; Можна розглянути побудову графіків функцій:y=ax2+b*|x|+c;y=|ax2+bx+c|;y=|ax2+b*|x|+c|;y=||||x|-2|+1|-3| та ін.

При побудові графіків доцільно користуватися методом перетворення графіків (Паралельний перенос, симетрія та ін.). У IX-X класі рішення рівнянь, систем рівнянь, нерівностей та побудова графіків функцій, аналітичні вирази яких містять знак абсолютної величини, розглядаються для трансцентдентних функцій та рівнянь, що вивчаються в школі. У даний час підібрані рішення лише таких питань, пов'язаних з поняттям абсолютної величини, які можуть бути розглянуті в середній школі.

Хід уроку

Вступне слово вчителя. Математика за 2500 років свого існування накопичила багатющий інструмент для дослідження оточуючого нас світу. Однак, як зауважив один з провідних математиків, кораблебудівників академік Крилов, людина звертається до математики не потім, щоб милуватися незліченними скарбами, йому, насамперед, необхідно ознайомитися зі столітніми випробуваними інструментами, навчиться ними майстерно володіти. Суттєвою характеристикою дійсного числа є абсолютна величина. Це поняття має широке поширення в різних відділах фізико-математичних і технічних наук. Так в математичному аналізі одне з перших і фундаментальних понять - поняття межі - у своєму визначенні містить поняття абсолютної величини числа. У теорії наближених обчислень першим найважливішим поняттям є поняття абсолютної похибки наближеного числа. У механіці основним початковим поняттям є поняття вектора, найважливішою характеристикою якого служить його абсолютна величина. При розв'язанні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, найчастіше застосовуються такі методи: 1) розкриття модуля за визначенням, 2) зведення обох частин у квадрат, 3) метод розбиття на проміжки, 4) графічний метод ...

Повідомлення №1. Рівняння. Записувати і розв'язувати рівняння почали араби в першому тисячоліття нашої ери. До тих пір рішення завдань було виключно арифметичним - з багатьох дій. У той момент, коли з'явилася блискуча ідея знаходити невідоме з цих співвідношень, народилася алгебра. Слово "алгебра" - арабського походження; великий учений арабського світу Аль-Хорезмі називав перенесення членів з однієї частини рівності в іншу так, щоб вони стали позитивними, слово "аль-джебр" (відновлення), а словом "аль-мукабала" (протиставлення), зниклим нині з математичної мови, називалося приведення подібних членів, в результаті якого в рівнянні для кожного ступеня невідомого залишається тільки один позитивний член. У ті часи не було ще загальноприйнятих тепер позначень змінних буквами, а дій - знаками. Рівняння записувалися словами. Але і в такій "словесній формі" рівняння істотно полегшували життя. Арифметика (як і класична геометрія) не знала спільних підходів до розв'язання завдань, але для кожної нової задачі потрібно було підбирати нове рішення. Застосування рівнянь спрощує розв'язання завдань; але саме чудове те, що одним і тим же рівнянням можуть описуватися зовсім різні ситуації. Навчившись розвязувати певний тип рівнянь, можна тим чином впораться з цілими класами завдань,які описуються рівняннями цього типу.

Повідомлення№2 “Деякі способи розв’язування рівнянь,що містять модуль” Нагадаємо спочатку означення модуля х: Приведемо також основні властивості модуля,які часто застосовуються при розв’язуванні рівнянь.1)|ab|=|a||b|;2) |a|n=|an|;3)4)|x|=0, якщо x=0

Метод інтервалів. Нехай маємо рівняння або нерівність ,що містять один або декілька модулів. Першим чином потрібно відокремити критичні точки. Під цим ми розуміємо всі значення змінної,при яких один із модулів дорівнює нулю. Наносимо одержану множину значень на вісь даної змінної, наприклад Ox. Пряма розіб’ється на декілька кінечних і два безкінечних інтервали. Кожен інтервал відповідає знакопостійністю підмодульних виразів. Розглянемо стільки випадків розв’язків, скільки одержалось інтервалів. При цьому розкривати модулі потрібно перевіряючи знак підмодульного виразу. Та змінювати його на протилежний, якщо вираз від’ємний і залишати його таким же,якщо він додатній. Важливо не забути, що частковою відповіддю в кожному із одержаних випадків є перетин інтервала і знайденого розв’язку. Об’єднати одержані на кожному інтервалі відповіді в одну.

Розвязати рівняння методом інтервалів.|x + 2| + |x - 3| = 5

Нанесемо на числову пряму значення x, при якому x + 2 = 0 і значення x, при якому x – 3 = 0. Числова пряма розіб’ється на проміжки (-∞; -2), [-2; 3], (3; +∞). Розв’яжемо рівняння на кожному із цих інтервалів. Розглянемо перший проміжок, щоб визначити знак підмодульного виразу, візьмемо контрольну точку x = 3, підставимо її в наше рівняння –3 + 2 < 0 і -3 – 3 < 0. Аналогічно розглянемо знаки підмодульних виразів на другому та третьому проміжках. X(-∞;-2)-2;3(3;+∞)X+2-++X-3-- +-23

Розв’яжемо рівняння на кожному із цих проміжків, тобто розв’яжемо рівносильну рівнянню сукупність змішаних систем:1) 3)–х – 2 – х + 3 = 5–2х + 1 = 5–2х = 4 х + 2 + х – 3 = 5, х = –2 x = 3–2 3 Не може бути коренем.  Не може бути коренем. 2) х + 2 – х + 3 = 50х = 0x будь-яке число із [-2; 3]. Висновок: Розв’язування другої системи являється об’єднанням розв’язків 3-х систем. Відповідь:  [-2;3].

Повідомлення №3. Графічний метод. Цей спосіб вже не стільки універсальний,щоб ним неможливо було нехтувати,але він застосовується.. Часто рівняння або нерівність з модулем містить тільки лінійні вирази відносно змінної . В цьому випадку існує дуже простий рецепт побудови графіків з модулями,що часто істотно полегшує розв’язувати задачі. Він базується на простому зауваженні – графіки таких виразів складаються із кусків ліній, так як. являються ломаними. Метод полягає в наступному: Знайти,як і раніше, всі критичні точки і нанести їх на вісь абсцис. Знайти безпосередньо значення заданої функції в цих точках (це зручно робити за допомогою окремої таблиці) і нанести їх на координатну площину. В кожному із кінцевих інтервалів,одержуємо після розбиття критичними точками,являється графік прямої і може бути простим з’єднанням нанесених в попередньому пункті точок на координатній площині. Вибрати дві зручні для обчислення точки, розташовані в лівому і правому нескінченних інтервалах і аналогічно п.1 знайти значення функцій на них. З’єднуємо побудовану ділянку графіка з іншими двома точками, одержимо потрібний графік.

Розв'язати рівняння графічним методом |x+2|+|x-3|=5

Проілюструємо це на прикладі побудови графіка рівняння |x+2|+|x-3|=5. Побудуємо графік функціїу = |x + 2| + |x – 3| і y = 5х + 2 = 0 x –3 = 0x1 = –2 x2 = 3 Наносимо на вісь корні лінійних функцій,що стоять під знаком модуля. На кожному із трьох проміжків знаки цих лінійних функцій постійні і ми можемо позбавитися знака модуля. Якщо x < – 2, то y =-(x + 2) – (x – 3) = –2x + 1якщо –2 ≤ x ≤ 3, то y = +(x + 2) – (x – 3) = x + 2 – x + 3 = 5якщо x > 3, то y = +(x + 2) + (x – 3) = 2x – 1 При побудові графіка проводимо вертикальні прямі x = –2 і x = 3, які розіб’ють площину на три частини. В лівій частині треба провести пряму y = –2x + 1, в центральній полосі y = 5 і в правій y = 2x – 1: (для контролю треба слідити, щоб ломана була неперервною, тобто щоб значення в розділяючих точках ізгину, обчислені по сусіднім формулам, співпали). В нашому випадку при x = 2 значення функції y = –2x + 1 співпадає зі значенням y = 5, точно так же при x = 3 співпадають значення функції y = 5 і y = 2x – 1.-23

Будуємо графіки та y = 51) y = –2x + 1 2) y=5 3) y=2x-1 Графіки y = |x + 2| + |x – 3| і y = 5 перетинаються на проміжку, якщо x належить [–2; 3]Відповідь: [–2; 3]x-3-4y79x45y793-20xy5

Повідомлення №4 Розкриття модуля за означенням. |2x – 3| = x + 1

Розв’яжемо рівняння |2x – 3| = x + 11 спосіб. Це рівняння може бути розв’язано за означенням. При розв’язуванні одержимо рівносильну рівнянню наступну сукупність змішаних систем. 1) 4 являється коренем рівняння2)2/3  являється коренем рівняння. Відповідь: 2/3; 4. 2спосіб. Розв’язуємо рівняння за означенням модуля. |2х-3| = х+1 | х+1≥0, х≥ -1 1.2х-3=х+1 2.2х-3=-х-1 2х-х=1+3 2х+-х=-1+3 Х=4 3х=2 Х=2/3  Відповідь: 2/3; 4.

Повідомлення №5 Розвязування рівнянь методом піднесення до квадрату 1. |х+3|=5 2. |2х-5| = 5-3х

1. |х+3|=5 Підносимо обидві частини рівняння до квадрату. (|х+3|)² = 5² х²+6х+9 = 25 х²+6х+9-25 = 0 х²+6х-16=0 х=-8 або х=2 Відповідь: -8 ; 2 2. |2х-5| = 5-3х 5-3х≥0, х≤5/3 (|2х-5|)²=(5-3х)² 4х²-20х+25=25-30х+9х² 5х²-10х=0 5х(х-2)=0 х=0 або х=2- не корінь Відповідь : 0.

Повідомлення №6 Розвязування рівнянь, що містять модуль під знаком модуля. | |х-1|-5|=2

Повідомлення №7 Застосування модуля при розв'язанні рівнянь.1. √х²-4х+4 + |х | = 8-2х2. Скільки коренів має рівняння залежно від параметра а. |х+2| -3= а

1.√х²-4х+4 + |х | = 8-2х √(х-2)² + |х| = 8-2х |х-2| + |х| = 8-2х Розв’язуємо рівняння методом інтервалів.1. Знаходимо нулі підмодульних виразів. х-2=0 х=0 х=2  1). х<0 -х+2-х=8-2х -х+2х=8-2 Х=6-не корінь, так як. 6 не належить проміжку (-∞;0)2). 0 ≤ х≤2-х+2+х=8-2х2х=6 Х=3-не корінь, так як. 3 не належить проміжку (0;2)3). х>2х-2+х=8-2хх+х+2х=8+24х=10 Х=2,5-корінь так як. 2,5 належить проміжку (2;+∞)Відповідь:2,5.02

2. Скільки коренів має рівняння в залежності від параметра а.   |х+2| -3= а 1 . Побудуємо графіки лівої і правої частини рівняння. а) у=|х+2|-3 Будуємо графік у=|х│ за допомогою паралельного переносу осей: ОХ на 3 одиниці вгору ,а вісь ОУ на 2 одиниці вправо. б) у=а Графіком є пряма ,паралельна осі ОХ.  Відповідь:1) два кореня при а>-3, 2) один корінь при а=-3, 3) немає коренів при а<-3yx011y=a

Підведення підсумків семінару. Сьогодні ми розглянули наступні види розв’язування рівнянь,що містять модуль :за означенням модуля, метод граф,піднесення обох частин рівняння до квадрату, методом інтервалів, графічний метод. Це дозволить нам вибирати раціональний спосіб розв’язування такого виду рівнянь.

Дякуємо за увагу!