Розвязування задач на підрахунок імовірності за допомогою формул комбінаторики

Задачі достатнього рівня № 16.25 Маємо пять відрізків, довжини яких: 1 см, 2 см, 4 см, 7 см, 9 см. Навмання вибираємо три з них. Знайдіть ймовірність того, що з них можна скласти трикутник. 

Розвязаня. Скласти трикутник можна з відрізків а, в, с таких, що а+в ˃ с. Таких варіантів – один (а=4 см, в= 7 см, с= 9 см). Отже, m = 1 – сприятлива подія.   n  – всього подій. Тому р.

Відповідь: р.

№ 16.26 єЄ пять карток із числами 1, 3, 5, 7, 9. Навмання вибираємо три з них. Яка ймовірність того, що з них можна утворити арифметичну прогресію?

Розвязання. Арифметичну прогресію можна утворити з трійок: 1,3,5; 3,5,7; 5,7,9 (d = 2) ; 1,5,9 (d = 4). Отже, m = 4 – сприятливі події.

 n  – всього подій. Тому р.

Відповідь: р.

№ 16.27 З ящика, що містить 6 пронумерованих кульок, навмання виймають одну за одною всі кульки. Знайдіть імовірність того, що всі вийняті кульки будуть йти за порядком нумерації.

Розвязання. Загальна кількість способів вийняти одну за одною всі кульки дорівнює Р₆ = 6! =720 = n. Сприятлива подія (кульки йдуть за порядком нумерації) – лише одна. Тому  m = 1.

Отже, р.

Відповідь: р.

№ 16.288З літер розрізної абетки складено слово «буква». Потім літери слова  перемішують і навмання беруть одну за одною. Знайдіть ймовірність того, що буде складено початкове слово.

Розвязання. Загальна кількість способів вийняти одну за одною всі букви дорівнює Р₅ = 5! = 120 = n. Сприятлива подія (букви утворюють слово «буква») – лише одна. Тому  m = 1.

Отже, р.

Відповідь: р.

№ 16.29 На картках записано числа від 1 до 20. Навмання беруть дві з них. Яка ймовірність того, що сума чисел на картках дорівнюватиме 15?

Розвязання. Загальна кількість способів вибрати дві картки з 20 дорівнює n =  – всього подій. Сприятливі події (сума чисел на картках

дорівнюватиме 15): 1)1+14=15; 2)2+13=15; 3)3+12=15; 4)4+11=15; 5)5+10=15; 6)6+9=15; 7)7+8=15. Тому  m = 7. Отже, р.

Відповідь: р.

№ 16.30 На картках записано числа від 1 до 15. Навмання беруть дві з них. Яка ймовірність того, що модуль різниці чисел на картках дорівнюватиме 2?

Розвязання. Загальна кількість способів вибрати дві картки з 15 дорівнює n =

. Сприятливі події (модуль різниці чисел на картках

дорівнюватиме 2): 1) 15-13=2; 2) 14-12=2; 3) 13-11=2; 4) 12-10=2; 5) 11-9=2; 6) 10-8=2; 7) 9-7=2;  8) 8-6=2; 9) 7-5=2; 10) 6-4=2; 11) 5-3=2; 12) 4-2=2; 13) 3-1=2 і стільки ж, різниця яких дорівнює -1. При цьому модуль дорівнює також 1. Тому 

m = 13·2=26. Отже, р

Відповідь: р.

Задачі високого рівня

№ 16.31 Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число кратне 5?

Розвязання. 1. Знайдемо кількість сприятливих подій (двоцифрове число кратне 5). На місце одиниць маємо дві можливості(0;5), а на місце десятків – девять(1;2;3;4;5;6;7;8;9). За правилом добутку  загальна кількість подій дорівнює 9·2=18. Отже,  m =18.

2.                 Знайдемо загальну кількість двоцифрових чисел. На місце одиниць маємо десятьможливостей(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9), а на місце десятків – девять

(1;2;3;4;5;6;7;8;9). За правилом добутку  загальна кількість подій дорівнює 9·10=90. Отже,  n = 90

3.                 Знайдемо ймовірність шуканої події(двоцифрове число кратне 5):  р(А) = .

Відповідь: р.

№ 16.32 Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове непарне  число кратне 7?

Розвязання. 1. Знайдемо кількість сприятливих подій (двоцифрове число кратне 7). Чисел, кратних семи – 14( 7·1=7, 7·2=14, 7·3=21,…, 7·13=91, 7·14=98). З яких двоцифрових  13, а непарних – 6.  Отже,  m =6.

2.                 Знайдемо загальну кількість непарних двоцифрових чисел. На місце одиниць маємо пять можливостей(1;3;5;7;9), а на місце десятків – девять

(1;2;3;4;5;6;7;8;9). За правилом добутку  загальна кількість подій дорівнює 9·5=45. Отже,  n = 45.

3.                 Знайдемо ймовірність шуканої події(двоцифрове непарне  число кратне 7):  р(А) = .

Відповідь: р.

№ 16.33 У магазині 50 кавунів, з яких 40 стиглих. Купили два кавуни. Яка ймовірність того, що вони обидва стиглі?

Розвязання. Загальна кількість способів вибрати два кавуни з 50 дорівнює n =

. Вибрати з 40 стиглих два дорівнює m   =

= 39·20 = 780 – кількість сприятливих подій.

Отже, р

Відповідь: р.

р№ 16.34 Серед 40 деталей 36 – якісні. Яка ймовірність того, що серед трьох навмання взятих деталей немає бракованих ?

Розвязання. Загальна кількість способів вибрати три деталі з 40 дорівнює n = . Вибрати з 36 деталей три якісні дорівнює m =  5 = 7140 – кількість сприятливих подій.

Отже, р

Відповідь : р .

№ 16.35 У ящику 8 білих і 6 чорних кульок. Вибираємо навмання три з них. Яка ймовірність того, що: 1) всі  три кульки білі;

2) дві кульки білі та одна чорна; 3) серед кульок є як білі, так і чорні ?

Розвязання. 1. Загальна кількість способів вибрати три кульки з 8+6 = 14 кульок  дорівнює n 2·13·14=364. Вибрати 3 білі кульки з 8 дорівнює m = 

 – кількість сприятливих подій.

Отже, р

Відповідь : р.

2.  Загальна кількість способів вибрати три кульки з 8+6 = 14 кульок  дорівнює n=

. Вибрати 2 білі кульки з 8 дорівнює   28,

а вибрати одну чорну кульку з шести дорівнює  С¹₆ = 6. За правилом добутку загальна кількість сприятливих подій дорівнює m = 28·6 = 168.

Отже, р.

3.  Загальна кількість способів вибрати три кульки з 8+6 = 14 кульок  дорівнює n=

2·13·14=364. Якщо білих кульок дві, то чорних – одна, а кількість

способів їх вибрати дорівнює m₁= С²₈· С¹₆= 28·6 = 168. Якщо біла кулька одна, то чорних – дві, акількість способів їх вибрати дорівнює m. За правилом суми загальна кількість сприятливих подій дорівнює m = m₁+ m₂= =168+120 = 288.

Отже, р.

Відповідь : р.

№ 16.36 У шухляді 7 синіх і 3 червоні  ручки. Вибираємо навмання дві з них. Яка ймовірність того, що: 1) обидві ручки сині;

2) ручки різних кольорів.                                                                                                      

Розвязання. 1. Загальна кількість способів вибрати дві ручки з 7+3=10 ручок  дорівнює n 9·5=45. Вибрати дві сині ручки з 7 дорівнює m = 

3·7 = 21 – кількість сприятливих подій.

Отже, р.

Відповідь : р.

2. Загальна кількість способів вибрати дві ручки з 7+3=10 ручок  дорівнює n =

9·5=45. Вибрати одну синю і одну червону ручки можна  7·3 = 21

способом. 

Отже, р.

Відповідь : р.

№ 16.37 Вибирають навмання три літери слова «павутина». Яка ймовірність того, що з вибраних трьох літер можна скласти слово «пан»? 

Розвязання. Оскільки порядок вибору літер не важливий, то загальну кількість способів вибору трьох літер з восьми, що містяться у слові «павутина», знайдемо за формулою: 7·8=56. Сприятливих подій m = 2(оскільки у слові дві літери «а»). Отже, р.

Відповідь : р.

№ 16.38 Вибирають навмання чотири літери слова «козак». Яка ймовірність того, що з них можна скласти слово «коза»? 

Розвязання. Оскільки порядок вибору літер не важливий, то загальну кількість способів вибору чотирьох літер з пяти, що містяться у слові «козак», знайдемо за формулою: n 5. Сприятливих подій m = 2(оскільки у слові дві літери

«к»). Отже, р.

Відповідь : р.

№ 16.39 По черзі вибирають три літери слова «тринадцять». Яка ймовірність того, що вибрані три літери в послідовності складуть слово «три»?

Розвязання. Оскільки порядок вибору літер важливий, то загальну кількість способів вибору трьох літер з десяти, що містяться у слові «тринадцять»,  знайдемо за формулою: n. Сприятливих подій m=2

(оскільки у слові дві літери «т»). Отже, р.

Відповідь : р.

№ 16.40 По черзі вибирають три літери слова «двадцять». Яка ймовірність того, що вибрані три літери в послідовності складуть слово «два»?

Розвязання. Оскільки порядок вибору літер важливий, то загальну кількість способів вибору трьох літер з десяти, що містяться у слові «тринадцять»,  знайдемо за формулою: n 6·7·8=336. Сприятливих подій m=2 (оскільки у слові дві літери «д»). Отже, р.

Відповідь : р.

о