«Середня лінія трикутника та її властивості»

Вчитель: Венжега Марія Олександрівна

Урок Геометрії у 8 класі

Тема: «Середня лінія трикутника та її властивості»

Мета:

Навчальна: формування в учнів поняття про середню лінію трикутника, ознайомлення з її властивостями, формування вміння застосовувати ці знання для розв'язання задач, виконувати зображення середніх ліній трикутника; застосовувати знання з теми на практиці; формувати вміння правильно і чітко висловлювати влас­ні думки, формулювати математичні твердження.

Розвивальна: Розвивати логічне мислення, просторову уяву, вміння аналізувати, систематизувати та узагальнювати інформацію, формулювати гіпотези та обґрунтовувати їх.

Виховна: Виховувати інтерес до геометрії, наполегливість у досягненні мети, культуру математичного спілкування, вміння працювати в команді.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь та навичок.

Обладнання та матеріали:  комп’ютер, мультимедійна презентація, набір трикутників, лінійка, олівець, картки з завданнями для самостійної  та групової роботи (різного рівня складності).

Хід уроку

1. Організаційний момент (2 хв).

Привітання вчителя з учнями.

Перевірка присутніх, перевірка готовності до уроку.

Оголошення теми та мети уроку.

Мотивація навчальної діяльності: навести приклади використання знань про середню лінію  трикутника в житті (наприклад, в архітектурі, будівництві, дизайні).

2. Перевірка домашнього завдання ( 5 хв).
3. Актуалізація опорних знань ( 7 хв).

1.               Повторення понять: трикутник, чотирикутник та їх види, середина відрізка, медіана, теорема Фалеса.
2.               Розв'язування усних вправ (за допомогою презентації):

Знайдіть довжини сторін трикутника, та обчислити його периметр.

Сторони трикутника дорівнюють 7см, 5см та 9см. Знайдіть середини його сторін.

Які трикутники називаються рівносторонніми, рівнобедреними?

4. Вивчення нового матеріалу (10 хв).

Цікаві факти:

Середня лінія трикутника – це геометрична концепція, яка в реальному житті використовується для спрощення складних об'єктів, створення точних вимірювань, побудови моделей та оптимізації. Вона допомагає знайти середину, паралельні лінії та зменшити масштаб, що корисно в інженерії, архітектурі, дизайні та навіть в аналізі зображень.

Як це працює в житті:

Спрощення та масштабування: розділяючи трикутник на менші частини, середня лінія допомагає спростити складні форми, що робить їх легшими для розуміння, проектування та виготовлення.

При розробці складних механізмів або конструкцій середні лінії допомагають визначати симетричні точки та точки балансу.

Означення:

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін.

Теорема (властивість середньої лінії трикутника). Середня лінія трикутника, що сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні та дорівнює її половині.

Дано: ∆ABC.

Довести: MN =

Доведення:

Нехай відрізок MN - середня лінія трикутника АВС (рис.). Доведемо, що MN || AC i MN = AC. На прямій MN позначимо точку Е так, що MN = NE. Сполучимо відрізком точки Е і С. Оскільки точка є серединою відрізка ВС, то BN = NC. Кути 1 і 2 рівні як вертикальні.

Отже, трикутники MBN i ECN piвні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси MB = EC i кут 3 = куту 4. Враховуючи, що АМ = ВМ, отримаємо: ЕС = AM. Кути 3 і 4 є різносторонніми при прямих АВ і ЕС та січній ВС. Тоді АВ|| ЕС. Таким чином, у чотирикутнику АМЕС сторони АМ і ЕС паралельні та рівні.

Отже, за теоремою 3.2 чотирикутник АМЕС є паралелограмом. Звідси МЕ || АС, тобто MN || AC. Також МЕ = AC. Оскільки MN = МЕ, то MN =AC.

Властивості середньї лінії трикутника

1. У будь-якому трикутнику можна провести 3 середніх лінії.

2. Якщо MN — середня лінія ΔАВС (М — середина АВ, N — середина ВС), то MN || AC, MN = AC.

3. Периметр трикутника, утвореного всіма середніми лініями трикутника, дорівнює половині периметра даного трикутника (РΔMNP =РΔAВС).

4. Три середні лінії трикутника ділять його на чотири рівних трикутники

Властивість медіан трикутника

Теорема. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2:1, починаючи від вершини трикутника.

Доведення

Нехай M – точка перетину медіан AK і CN трикутника ABC (мал).

1) Побудуємо чотирикутник LDTK, де D – середина AM, T – середина BM.

2) DT – середня лінія трикутника ABM, тому DT || AB і .

3) KL – середня лінія трикутника ABC, тому KL || AB і .

4) Отже, DT || KL і DT = KL. Тому DTKL – паралелограм (за ознакою).

5) M – точка перетину діагоналей TL і DK паралелограма DTKL, тому MT = ML, DM = MK. Але MT = BT, DM = AD. Тоді BT = TM = ML і AD = DM = MK. Отже, точка M ділить кожну з медіан AK і BL у відношенні 2 : 1, починаючи від вершин A і B відповідно.

6) Точка перетину медіан AK і CN має також ділити у відношенні 2 : 1 кожну медіану. Оскільки існує єдина точка – точка M, яка в такому відношенні ділить медіану AK, то медіана CN також проходить через цю точку.

7) Отже, три медіани трикутника перетинаються в одній точці й цією точкою діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

Точку перетину медіан ще називають центроїдом трикутника.

Типова задача

Доведіть, що середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма.

Доведення:

Нехай АВBCD - даний чотирикутник і M, N, P і К - середини його сторін (мал.1). Доведемо, що MNPK - паралелограм. Проведемо діагональ АС (мал.2). MN - середня лінія трикутника АВС. Тому MN|| AC  і MN = AC. КР - середня лінія трикутника ADC. Тому KP||AC i

KP= AC. Одержали: MN|| AC і КР || АС, звідси MN|| КР; MN= AC і КР = AC , звідси MN = КР. Отже, протилежні сторони MN і KP рівні й паралельні, тому чотирикутник  – паралелограм (за ознакою).

5. Формування первинних умінь.

Виконання усних вправ

1.   Відрізок DE — середня лінія трикутника ABC (рис. 2).

а) Визначте вид чотирикутника ADEC.

б) Назвіть медіану трикутника, що виходить з вершини А.

2.   Чи може середня лінія трикутника бути перпендикулярною до його сторони; до двох його сторін?

3.   Чи можуть середні лінії трикутника дорівнювати 3 см, 4 см і 10 см? Чому?

4.   У трикутнику ABC проведено середню лінію паралельно стороні АС. У якому відношенні вона ділить медіану ВМ; висоту ВH?

5.   Дві середні лінії трикутника рівні між собою і взаємно перпендикулярні. Який це трикутник? Відповідь поясніть.

Виконання графічних вправ

Накресліть трикутник ABC. Позначте на стороні АВ точки А1, А2 і А3 так, щоб вони ділили відрізок АВ на чотири рівні частини. Проведіть через ці точки прямі, паралельні стороні АС, і позначте точки їх перетину зі стороною ВС С1,С2 і С3 відповідно.

а) Виміряйте і порівняйте довжини відрізків, на які точки С1,С2 і С3 ділять сторону ВС.

б) Виділіть червоним кольором середню лінію трикутника ABC.

6. Фізкультхвилинка.
7. Закріплення вивченого матеріалу (20 хв).

Виконання письмових вправ

1.               За даними малюнків знайдіть х.

2.               Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Знайдіть сторони трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.
3.               Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію з бічними сторонами 3 м і 4 с і меншою основою 5 м. Знайдіть периметр трикутника.
4.               Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.
5.               Знайдіть Чи є відрізок МК середньою лінією трикутника АВС (рис.)? Обґрунтуйте вашу відповідь.

Розв'язування задач за підручником.

Середній рівень: № 9.6, 9.8, 9.10, 9.12.

Достатній рівень: № 9.14, 9.16, 9.17, 9.19, 9.20.

Високий рівень: № 9.24, 9.25.

Під час розв'язування задач, учні повинні пояснювати свої дії та обґрунтовувати їх, посилаючись на теорему про середню лінію трикутника та властивість медіан трикутника.

Задачі для закріплення

1.     Сума діагоналей чотирикутника дорівнює 28 см. Знайдіть периметр чотирикутника, вершини якого є серединами сторін даного чотирикутника.
2.     Вершинами чотирикутника є середини сторін ромба з діагоналями 8 см і 14 см. Визначте вид чотирикутника та знайдіть його сторони.
3.     Життєва математика. Обчисліть, скільки кубічних метрів повітря очистять за рік від автомобільних вихлопних газів 50 каштанів, посаджених уздовж дороги. Відомо, що одне дерево за рік очищує зону 100 м завдовжки, 12 м завширшки, 10 м заввишки.

8. Підсумки уроку (3 хв).

Повторення основних положень теореми про середню лінію трикутника, властивість медіан трикутника.

Оцінювання роботи учнів на уроці (активність, правильність розв'язання задач, вміння працювати в команді).

1. Що називають середньою лінією трикутника?
2. Скільки середніх ліній можна провести в трикутнику?
3. Які властивості має середня лінія трикутника?

Рефлексія: учням пропонується відповісти на запитання:

Що нового я дізнався на уроці?

Що мені було найцікавішим?

Де знадобляться отримання знання?

Що викликало труднощі?

9. Домашнє завдання (3 хв).

Опрацювати параграф 10, вивчити означення та теореми, їх доведення.

Розв'язати задачі за підручником (різного рівня складності):

Середній рівень: № 9.9, 9.13.

Достатній рівень: № 9.15, 9.18.

Високий рівень: № 9.23, 9.26.

За бажанням: скласти та розв'язати задачу практичного змісту, пов'язану із середньою лінією трикутника.

Smart-цілі:

1.               До кінця уроку учні повинні знати формулювання теореми про середню лінію трикутника та властивість медіан у трикутнику.
2.               До кінця уроку майже всі учні повинні вміти застосовувати теорему для розв'язування задач різної складності.
3.               До кінця уроку більшість учнів повинні вміти самостійно та в групі розв'язувати задачі на застосування теореми, зокрема й ті, що мають практичний зміст.

Додаткові завдання:

Підготувати презентацію або повідомлення на тему "Середня лінія трикутника в житті та її застосування".

Знайти цікаві факти про трикутники та їх кути (наприклад, історичні факти, цікаві задачі, практичне застосування).